Вращательное движение твердого тела

Вращательное движение твердого тела

Движение твердого тела называется вращательным, если во время движения все точки тела, расположенные на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными (рис. 2.15).

Положение тела при вращательном движении принято определять углом поворота тела , который измеряется как двугранный угол между неподвижной и подвижной плоскостями, проходящими через ось вращения. Причем, подвижная плоскость связана с вращающимся телом.

Вращательное движение твердого тела

Введем в рассмотрение подвижную и неподвижную системы координат, начало которых разместим в произвольной точке О оси вращения. Ось Oz, общую для подвижной и неподвижной систем координат, направим по оси вращения, ось Ох неподвижной системы координат направим перпендикулярно оси Oz таким образом, чтобы она лежала в неподвижной плоскости, ось Ох1 подвижной системы координат направим перпендикулярно оси Oz таким образом, чтобы она лежала в подвижной плоскости (рис. 2.15).

Если рассматривать сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения, то угол поворота &#&66; можно определять как угол между неподвижной осью Ох и подвижной осью Ох1 . неизменно связанной с вращающимся телом (рис. 2.16).

Вращательное движение твердого тела

Принято направление отсчета угла поворота тела &#&66; против хода часовой стрелки считать положительным, если смотреть с положительного направления оси Oz.

Равенство &#&66; = &#&66;(t). описывающее изменение угла &#&66; во времени, называется законом или уравнением вращательного движения твердого тела.

Быстрота и направление изменения угла поворота твердого тела характеризуются угловой скоростью. Абсолютное значение угловой скорости принято обозначать буквой греческого алфавита &#&69; (омега). Алгебраическое значение угловой скорости принято обозначать . Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота:

Единицы измерения угловой скорости равны единицам измерения угла, деленным на единицу измерения времени, например, град/мин, рад/ч. В системе СИ единица измерения угловой скорости рад/с, но чаще наименование этой единицы измерения записывается в виде 1/с.

Если > 0, то тело вращается против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Если < 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Быстрота и направление изменения угловой скорости характеризуются угловым ускорением. Абсолютную величину углового ускорения принято обозначать буквой греческого алфавита e (эпсилон). Алгебраическую величину углового ускорения принято обозначать . Алгебраическая величина углового ускорения равна первой производной по времени от алгебраического значения угловой скорости или второй производной от угла поворота:

Единицы измерения углового ускорения равны единицам измерения угла, деленным на единицу измерения времени в квадрате. Например, град/с 2. рад/ч 2. В системе СИ единицей измерения углового ускорения является рад/с 2. но чаще наименование этой единицы измерения записывается в виде 1/с 2 .

Если алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют один знак, то угловая скорость с течением времени увеличивается по модулю, а если разный, то уменьшается.

Если угловая скорость постоянна (&#&69; =const), то принято говорить, что вращение тела равномерное. В этом случае

где &#&66;0 — начальный угол поворота.

Если постоянно угловое ускорение (e=const), то принято говорить, что вращение тела равноускоренное (равнозамедленное). В этом случае

где 0 — начальная угловая скорость.

В остальных случаях для определения зависимости &#&66; от и необходимо интегрировать выражения (2.33), (2.34) при заданных начальных условиях.

На рисунках направление вращения тела иногда показывают изогнутой стрелкой (рис. 2.17).

Вращательное движение твердого тела

Часто в механике угловая скорость и угловое ускорение рассматриваются как векторные величины и . Оба эти вектора направляются по оси вращения тела. Причем вектор направляют в одну сторону с ортом, определяющим направление оси координат, совпадающей с осью вращения, если >0, и в противоположную, если
<0. Аналогично выбирают направление вектора (рис. 2.18).

Вращательное движение твердого тела

При вращательном движении тела каждая из его точек (кроме точек, расположенных на оси вращения) перемещается по траектории, представляющей собой окружность с радиусом, равным кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения (рис. 2.19).

Поскольку для окружности касательная в любой ее точке составляет угол 90° с радиусом, то вектор скорости точки тела, совершающего вращательное движение, будет направлен перпендикулярно радиусу и лежать в плоскости окружности, являющейся траекторией движения точки. Касательная составляющая ускорения будет лежать на одной прямой со скоростью, а нормальная будет направлена по радиусу к центру окружности. Поэтому иногда касательную и нормальную составляющие ускорения при вращательном движении называют соответственно вращательной и центростремительной (осестремительной) составляющими (рис. 2.19)

Вращательное движение твердого тела

Алгебраическая величина скорости точки определяется выражением

где R=OM – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

Алгебраическая величина касательной составляющей ускорения определяется выражением:

Модуль нормальной составляющей ускорения определяется выражением

Вектор ускорения точки при вращательном движении определяется по правилу параллелограмма как геометрическая сумма касательной и нормальной составляющих. Соответственно модуль ускорения может быть определен по теореме Пифагора:

Если угловая скорость и угловое ускорение определены как векторные величины ,, то векторы скорости, касательной и нормальной составляющих ускорения могут быть определены по формулам:

где – радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки оси вращения (рис. 2.20).

Решение задач на вращательное движение одного тела обычно не вызывает никаких трудностей. Используя формулы (2.33)-(2.40), можно легко определить любой неизвестный параметр.

Определенные сложности возникают при решении задач, связанных с исследованием механизмов, состоящих из нескольких взаимосвязанных тел, совершающих как вращательное, так и поступательное движение.

Вращательное движение твердого тела

Общий подход к решению подобных задач заключается в том, что движение от одного тела к другому передается через одну точку – точку касания (контакта). Причем у соприкасающихся тел равны скорости и касательные составляющие ускорений в точке контакта. Нормальные составляющие ускорения у соприкасающихся тел в точке контакта различны, они зависят от траектории движения точек тел.

При решении задач такого типа удобно в зависимости от конкретных обстоятельств использовать как формулы, приведенные в разделе 2.3, так и формулы для определения скорости и ускорения точки при задании ее движения естественным (2.7), (2.14) (2.16) или координатным (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) способами. При этом если движение тела, к которому принадлежит точка, вращательное, траектория движения точки будет представлять собой окружность. Если движение тела прямолинейное поступательное, то траектория движения точки будет представлять собой прямую линию.

Пример 2.4. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота тела изменяется по закону &#&66; = &#&60;·t 3 рад. Для точки, находящейся на расстоянии OM=R=0,5 м от оси вращения, определить скорость, касательную, нормальную составляющие ускорения и ускорение в момент времени t1 =0,5 с. Показать направление этих векторов на чертеже.

Рассмотрим сечение тела плоскостью, проходящей через точку О перпендикулярно оси вращения (рис. 2.21). На этом рисунке точка О -точка пересечения оси вращения и секущей плоскости, точки Мо и M1 -соответственно начальное и текущее положение точки М. Через точки О и Мо проведем неподвижную ось Ох. а через точки О и М1 подвижную ось Ох1 . Угол между этими осями будет равен

Вращательное движение твердого тела

Закон изменения угловой скорости тела найдем, продифференцировав закон изменения угла поворота:

В момент t1 угловая скорость будет равна

Закон изменения углового ускорения тела найдем, продифференцировав закон изменения угловой скорости:

В момент t1 угловое ускорение будет равно

Алгебраические величины векторов скорости, касательной составляющей ускорения, модуля нормальной составляющей ускорения и модуля ускорения найдем по формулам (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

Так как угол &#&66;1 >0, то откладывать его от оси Ох будем против хода часовой стрелки. А так как > 0, то векторы будут направлены перпендикулярно радиусу OM1 таким образом, чтобы мы видели их вращающимися против хода часовой стрелки. Вектор будет направлен по радиусу OM1 к оси вращения. Вектор построим по правилу параллелограмма на векторах &#&64; и .

Пример 2.5. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 х = 0,6t 2 – 0,18 (м) определить скорость, а также касательную, нормальную составляющую ускорения и ускорение точки М механизма в момент времени t1 . когда путь, пройденный грузом 1, равен s=0,2 м. При решении задачи будем считать, что проскальзывание в точке контакта тел 2 и 3 отсутствует, R2 = 1,0 м, r2 =0,6 м, R3 = 0,5 м(рис. 2.22).

Вращательное движение твердого тела

Закон прямолинейного поступательного движения груза 1 задан в координатной форме. Определим момент времени t1 . для которого путь, пройденный грузом 1, будет равен s

Продифференцировав по времени уравнение движения, найдем проекции скорости и ускорения груза 1 на ось Ох:

В момент t = t1 проекция скорости груза 1 будет равна:

то есть будет больше нуля, как и проекция ускорения груза 1. Следовательно, груз 1 будет в момент t1 двигаться вниз равноускоренно, соответственно, тело 2 будет вращаться равноускоренно в направлении против хода часовой стрелки, а тело 3 — по ходу часовой стрелки.

Тело 2 приводится во вращение телом 1 через нить, намотанную на малый барабан. Поэтому модули скоростей точек тела 1, нити и поверхности малого барабана тела 2 равны, также равны будут и модули ускорений точек тела 1, нити и касательной составляющей ускорения точек поверхности малого барабана тела 2. Следовательно, модуль угловой скорости тела 2 можно определить как

Модуль углового ускорения тела 2 будет равен

Определим модули скорости и касательной составляющей ускорения для точки К тела 2 — точки контакта тел 2 и 3:

Так как тела 2 и 3 вращаются без взаимного проскальзывания, модули скорости и касательной составляющей ускорения точки К- точки контакта у этих тел будут равны.

Тело 3 совершает вращательное движение, поэтому модули скоростей и касательных составляющих ускорения всех точек его поверхности равны, поэтому:

Модуль угловой скорости тела 3 будет равен:

Модуль нормальной составляющей ускорения точки М будет равен:

Модуль ускорения точки М будет равен

Так как тело 3 совершает вращательное движение, то вектор нормальной составляющей ускорения точки М направим по радиусу к оси вращения – точке О3 , векторы скорости и касательной составляющей ускорения направим перпендикулярно радиусу в сторону вращения тела, так как тело 3 вращается равноускоренно

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Кинематика вращательного движения

При поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения. Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Вращательное движение тела нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Различают следующие виды вращательного движения: вращение вокруг неподвижной оси, вращение вокруг свободных осей, вращение вокруг неподвижной точки – полюса (гироскопы, волчки), плоское движение (качение шара, цилиндра по горизонтальной поверхности).

Будем рассматривать только вращение тела вокруг неподвижной оси. В этом случае ось вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

Вращение твердого тела описывается углом поворота &#&66;(t), на который повернулось тело за время t.

Угловая скорость w векторная величина, характеризующая быстроту вращения тела, которая равна производной от угла поворота тела j по времени t:

где dj – угол поворота тела за малое время dt .

Угловая скорость является псевдовектором. Вектор угловой скорости может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси, так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1).

Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость &#&69; = const, то вращательное движение называется равномерным.

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов n и периодом вращения T .

Частота оборотов nравна числу оборотов, сделанных за единицувремени ,

где N – число оборотов за время t .

Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2p, то

Период вращения Tэто время, за которое тело совершает один оборот.

Уравнение равномерного вращения имеет вид

В частном случае, когда начальный угол поворота

Угловую скорость равномерно вращающегося тела

можно выразить и так: &#&69; = 2&#&60; /T ,

где: T – период вращения тела;

&#&66; = 2&#&60; – угол поворота за один период.

Неравномерное вращение (угловая скорость изменяется со временем) характеризуется угловым ускорением e.

Угловое ускорение 1 — вектор, равный производной от угловой скорости w по времени t ,

. где d &#&69; – изменение угловой скорости за время dt.

Векторы и направлены по оси вращения тела. При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны (рис. 2).

Вращательное движение твердого тела

Если угловое ускорение &#&49; = const, то вращательное движение называется равнопеременным. Равнопеременное вращение характеризуется следующими уравнениями:

w0 и j0 – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент t0 = 0,

w и j – в момент времени t. При ускоренном вращении в этих уравнениях выбирается знак «+», а при замедленном – знак «–».

Связь линейных и угловых характеристик

Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии r. то за время dt она проходит путь

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки

Нормальное ускорение точки тела

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

Момент инерции — скалярная величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J .

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно этой оси. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Момент инерции элементарной (точечной) массы mi , отстоящей от оси на расстоянии ri , равен:

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja . равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

ri — расстояние от i -й точки до оси.

— масса малого элемента объёма тела ,

— расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Ось проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

Вращательное движение твердого тела

где — полная масса тела (рис. 3).

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают момент силы относительно центра (точки — полюса) и относительно оси.

Если имеется материальная точка О, к которой приложена сила . то момент силы относительно этой точки равен векторному произведению радиус-вектора . соединяющего точку О и точку приложения силы, на вектор силы :

Вращательное движение твердого телаМомент силыаксиальный вектор[4] . Он направлен вдоль оси вращения.
Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M (рис.4).

Модуль момента силы:

где: M – момент силы (Ньютон метр),

F – приложенная сила,

/r – расстояние от центра вращения до места приложения силы,

.l = r .sin &#&45; – плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы,

&#&45; — угол, между вектором силы F и вектором положения r .

Момент силыотносительно оси величина алгебраическая, равная проекции на эту ось вектора М момента силы относительно любой точки О оси.

Пользуясь понятием момента силы можно по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси. Это условие называется правилом моментов:

если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю :

Считают момент силы положительным, если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным в противоположном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, согласно рис.5, силам F1 и F2 следует приписать положительный момент, а силе F3 — отрицательный.

Вращательное движение твердого тела

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Моментом импульсаLматериальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектораrэтой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульсаp ( рис. 6):

где r – радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p – импульс частицы.

Вращательное движение твердого тела

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси z, представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела Lz относительно этой оси (Lz – скалярная величина).

Суммирование производим по всем элементарным массам mi (имеющим линейную скорость vi и радиус вращения ri ), на которые разбивается тело. Так как vi =&#&69;ri. где &#&69; — угловая скорость вращения тела, а I =∑miri 2 — момент инерции тела относительно данной оси, тогда момент импульса тела относительно оси z равен:

В случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, векторы L и &#&69; имеют одинаковое направление и тогда:

Продифференцируем выражение (1) по времени:

Таким образом, производная по времени от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси:

Из уравнения (3) видно, что если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.

Если M = 0, то: dL/dt = 0 ⇒ L = const. (4)

Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса:

момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. В случае нарушения авторского права напишите сюда.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

1. Абсолютное твёрдое тело. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями вращающегося твёрдого тела.

2. Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

3. Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера. Свободные оси.

4. Момент силы. Момент импульса.

5. Уравнение моментов. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

6. Гироскопы. Гироскопический эффект.

1. Абсолютно твёрдое тело.Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Вращательнымназывается такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения .

Введём понятие угловой скорости и углового ускорения. Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной в данной системе отсчёта оси и за время совершает бесконечно малый поворот (рис. 3.1).

Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором . модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью . причём так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора .

Вращательное движение твердого тела

Из рис. 3.1 следует, что . Вектор как бесконечно малую величину можно считать по модулю равным соответствующей дуге окружности . его направление соответствует правилу правого винта по отношению к векторам и

Разделим обе части на :

Производная угла поворота по времени называется угловой скоростью.

Вектор совпадает по направлению с вектором . Изменение векторасо временем характеризуют вектором углового ускорения :

Из выражения * получаем связь линейнойи угловой скоростей:

То есть скорость любой точки А твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . равна векторному произведению на радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения.

Если выбрать в качестве точки отсчёта для радиус-вектора центр окружности вращения (точка О), при неизменном радиусе окружности выражение (**) можно записать в скалярном виде:

Продифференцируем это выражение по времени: . отсюда получаем связь тангенциального и углового ускорений:

Нормальное ускорение можно представить как

Модуль полного ускорения:

2. Момент инерции тела.Определим кинетическую энергию вращения твёрдого тела (рис. 3.2). Разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки ( ). Обозначим массу i -го элемента . а скорость этого элемента .

Кинетическая энергия этого элемента

Просуммировав кинетическую энергию всех элементов, получим кинетическую энергию вращательного движения тела:

Линейная скорость связана с угловой скоростью вращения тела ( постоянна для всех точек тела).

Определение. Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси вращения :

Определение. Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси z называется сумма моментов инерций материальных точекотносительно данной оси.

В соответствии с этими определениями:

(Сравните с выражением для кинетической энергии поступательного движения . очевидно соответствие ).

Физический смысл момента инерции. Момент инерции во вращательном движении играет такую же роль, как масса при поступательном движении. характеризует меру инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее при прочих равных условиях привести его во вращательное движение. Момент инерции определяется не только массой, но и тем, как эта масса распределена относительно оси вращения .

Соотношение является приближённым, причём тем более точным, чем меньше элементарные массы . Задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию .

(Интегрирование ведётся по всей массе тела ).

3. Вычисление моментов инерции. 1. Кольцо (полый цилиндр ) (рис. 3.3). В случае достаточно тонких стенок вся масса сосредоточена на расстоянии от центра.

Относительно оси, проходящей через центр кольца:

2. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Дано: радиус диска, масса диска.

Найти: момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска.

Разобьём диск (рис. 3.4) на кольца с радиусом . толщиной . По определению момента инерции . Пусть поверхностная плотность диска . тогда масса кольца . где площадь кольца, . Интегрируя по радиусу, находим момент инерции диска:

3. Тонкий однородный стержень

Дано: масса стержня, длина стержня.

Найти: (момент инерции относительно оси ОО, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему) (рис. 3.5).

Вращательное движение твердого тела

Ввиду одномерного характера задачи выражение можно заменить на . где . тогда .

Теорема Штейнера (без вывода)

Постановка задачи. Известен момент инерции произвольного тела массой относительно оси, проходящей через его центр тяжести (рис. 3.6). Требуется найти. каков момент инерции относительно какой-либо оси . параллельной первой и находящейся на расстоянии от неё.

Теорема. Момент инерции тела относительно произвольной осиzравен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела С и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями a :

Пример применения теоремы Штейнера.

Требуется найти момент инерции тонкого однородного стержня массой и длиной относительно перпендикулярной к нему оси . проходящей через центр стержня (рис. 3.7).

Вращательное движение твердого тела

Воспользуемся полученным ранее выражением для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец:

. Используя теорему Штейнера, получаем:

Определение. Ось вращения тела, положение которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной .

Можно доказать. что в любом теле существует три взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела. Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней. Вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим (экстремальными) моментами инерции оказывается устойчивым. а вращение вокруг оси со средним моментом – неустойчивым. Этот факт является достаточно важным при проектировании конструкций с вращающимися частями.

4. Момент силы. Пусть О – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы. Обозначим радиус-вектор, проведённый из этой точки к точке приложения силы (Рис. 3.8).

Вращательное движение твердого тела

Определение. Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на силу :

Раскрывая векторное произведение, получим где плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы).

В соответствии с определением векторного произведения вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и в соответствии с правилом правого винта (буравчика).

Определение. Момент силы относительно оси . проходящей через точку О, есть проекция на эту ось вектора момента силы относительно точки, лежащей на этой же оси.

как проекция на ось является скалярной величиной.

Пусть материальная точка массой движется со скоростью относительно точки О, а радиус-вектор этой материальной точки, проведённый из точки О (рис. 3.9).

Определение. Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на вектор импульса :

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и . в соответствии с правилом правого винта, например момент импульса электрона, двигающегося по круговой орбите в боровской модели атома.

Свяжем момент импульса с моментом инерции и угловой скоростью. Пусть радиус-вектор некоторой частицы массой лежит в плоскости рис. 3.10, скорость перпендикулярна ей («от нас»), частица движется по окружности радиусом .

Модуль момента импульса . Линейную скорость можно связать с угловой относительно оси как . тогда . Проекция вектора на ось вращения равна

. Как видно из рис. 3.10, . т.е.

Для системы материальных точек (твёрдого тела) выражение связи . и формально такое, как и для материальной точки:

Но под здесь подразумевается сумма моментов инерции материальных точек системы:

Можно показать (см. например, в [1]), что для однородного тела. симметричного относительно оси вращения, суммарный момент импульса тела . Он направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и . т.е.

(Для несимметричного тела в общем случае не совпадает по направлению с вектором ).

5. Уравнение моментов. В дальнейших преобразованиях условимся для упрощения записи индекс 0 у . и других величин не писать, но подразумевать, что он есть.

Продифференцируем выражение для момента импульса материальной точки: . .

Учтём, что . а .

Рассмотрим первое слагаемое (см. в лекции № 1 «Векторное произведение»).

= (так как угол между и равен нулю).

Второе слагаемое в выражении для

(по определению момента силы).

В результате получаем:

Уравнение моментов (оно связывает момент импульса с моментом силы).

Производная по времени момента импульса материальной точки относительно точки О равна моменту действующей силы относительно точки О.

Вращательное движение твердого тела. Угловая и линейная скорости вращения

Вращательное движение вокруг неподвижной оси — еще один частный случай движения твердого тела.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости. которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4 ).

Вращательное движение твердого тела

В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов.
Угловая скорость . Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О. движется по окружности, и различные точки проходят за время Вращательное движение твердого тела разные пути. Так, Вращательное движение твердого тела. поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5 ). Но радиусы окружностей поворачиваются за время Вращательное движение твердого тела на один и тот же угол Вращательное движение твердого тела. Угол Вращательное движение твердого тела — угол между осью ОХ и радиус-вектором Вращательное движение твердого тела. определяющим положение точки А (см. рис.2.5).

Вращательное движение твердого тела

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью. Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол Вращательное движение твердого тела. а другое — на угол Вращательное движение твердого тела. то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела Вращательное движение твердого тела к промежутку времени Вращательное движение твердого тела. за который этот поворот произошел.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Вращательное движение твердого тела

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с 1 .
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения. т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает Вращательное движение твердого тела (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно Вращательное движение твердого тела секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде:

Вращательное движение твердого тела

Полному обороту тела соответствует угол Вращательное движение твердого тела. Поэтому согласно формуле (2.1)

Вращательное движение твердого тела

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени Вращательное движение твердого тела угол поворота Вращательное движение твердого тела. то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен:

Вращательное движение твердого тела

Если Вращательное движение твердого тела. то Вращательное движение твердого тела. или Вращательное движение твердого тела .
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается.
Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью. чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R. за один оборот пройдет путь Вращательное движение твердого тела. Поскольку время одного оборота тела есть период T. то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Вращательное движение твердого тела

Вращательное движение твердого тела

Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Для точек земного экватора Вращательное движение твердого тела. а для точек на широте Санкт-Петербурга Вращательное движение твердого тела. На полюсах Земли Вращательное движение твердого тела .
Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Вращательное движение твердого тела

Вращательное движение твердого тела

Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее по модулю ускорение она имеет.
Итак, мы научились полностью описывать движение абсолютно твердого тела, вращающегося равномерно вокруг неподвижной оси, так как, пользуясь формулами Вращательное движение твердого тела. можем находить положение, модули скорости и ускорения любой точки тела в произвольный момент времени. Знаем мы и направления Вращательное движение твердого тела и Вращательное движение твердого тела. a также форму траекторий точек.

.
1. Что называется осью вращения твердого тела?
2. Что такое угловая скорость?
3. Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше угловой скорости часовой стрелки?

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

Планирование уроков по физике. ответы на тесты, задания и ответы по классам, домашнее задание и работа по физике для 10 класса

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Теоретическая механика:
Вращательное движение твердого тела

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина ) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147 ) или тепловоза (задача 141 ), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин. § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими at и an.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины. φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2 ).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f’ (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f» (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φоб.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2π9phi;об и φоб = φ/(29pi;).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/9pi;.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, at и an. характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
at = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
an = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ0 + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ0 =0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=29pi; – угол поворота за один период.

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ0 + ω0 t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω0 + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ0. ω0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ0 + (ω + ω0 )t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ0 + (ω 2 — ω0 2 )/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ0 =0 и ω0 =0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

Задача 167. Маховик, вращающийся с угловой скоростью n0 =90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает.

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *