Виды неопределенностей

Виды неопределенностей
Главная | О нас | Обратная связь

Виды неопределенностей

Так как природа неопределенности весьма разнообразна, правомерно говорить о разных подходах к систематизации различных видов неопределенности в зависимости от критериев положенных в основу систематизации. Рассмотрим наиболее устоявшиеся классификации видов неопределенности.

1. Одна из наиболее распространенных классификаций видов неопределенности охватывает максимально возможную для логических умозаключений человека область. Эта классификация основывается на факторах порождаемых деятельностью человека и имеет четыре вида:

а) неопределенность целей — связана с неоднозначностью, а иногда и невозможностью выбора одной цели при принятии оптимального решения. Подразделяется на критериальные, ресурсные, модельные и экспертные неопределенности;

б) неопределенность природы – т.е. неопределенность наших знаний об окружающем мире и факторах действующих в данном явлении. В зависимости от возможности исследования и анализа подразделяется на статистические, интервальные и произвольные неопределенности;

в)неопределенности взаимодействия – определяются характером взаимодействий людей и могут быть структурированы в зависимости от психологических особенностей этих взаимодействий на неопределенности конфликтов, противодействия и кооперации (сотрудничества);

г)экспертные неопределенности — основываются на субъективных представлениях и суждениях экспертов.

2. В зависимости от возможности наступления ситуации неопределенности различают первичную и производную неопределенности.

а)Первичная неопределенность определяется природой событий и их возможных результатов. Одни события обуславливают, определяют одни результаты, другие — совершенно другие результаты. Соответственно, неопределенности связанные с одним и другим событием будут различны.

б)Произвольная неопределенность некоторого события обусловлена случайностью осуществления события из многообразия возможных.

3. В зависимости от направленности вектора времени можно также говорить о ретроспективной и перспективной неопределенности.

а) неопределенность прошлого (ретроспективная), порождающей причины настоящего и будущего;

б) перспективная неопределенность связанной с неоднозначностью взаимодействия причины и следствия, с тем, что последующее состояние системы не является единственным, а связано с необходимостью выбора из некоторого множества возможных состояний.

4. Полагая, что каждый исход имеет известную вероятность наступления и в зависимости от степени вероятности возможности наступления тех или других событий, потенциальная неопределенность может быть статистической и прогнозной.

а) Статистическая неопределенность задается характером действий системы и имеет достаточно высокую потенциальную возможность ее возникновения.

б) Прогнозная неопределенность возникает тогда, тогда невозможно оценить вероятность потенциальных результатов.

5. В отношении социально-экономических систем целесообразно рассматривать следующие виды неопределенности:

а) Неопределенности макросреды

— неопределенности, связанные с недостаточными знаниями о природе;

— неопределенности природных явлений;

— неопределенности, связанные с осуществлением действующих (неожиданные аварии) и проектируемых (возможные ошибки разработчиков или физическая невозможность осуществления процесса, которую заранее не удалось предсказать) технологических процессов;

— неопределенности, связанные с колебаниями цен, ставки процента, валютных курсов и других макроэкономических показателей;

— неопределенности, порожденные нестабильностью законодательства и текущей экономической политики, с политикой, экологическими проблемами в масштабе страны;

— внешнеэкономические неопределенности, связанные с ситуацией в зарубежных странах и международных организациях.

б) Неопределенности микросреды (неопределенности, связанные с ближайшим окружением сложной системы):

— неопределенности, связанные с деятельностью участников экономической жизни, с их деловой активностью, финансовым положением, соблюдением обязательств;

— неопределенность будущей рыночной ситуации, в том числе отсутствие достоверной информации о будущих действиях поставщиков в связи с меняющимися предпочтениями потребителей;

— неопределенности, связанные с социальными и административными факторами в конкретных регионах, в которых наша фирма имеет деловые интересы.

6. В зависимости от области исследования, понятие неопределенности приобретает специфические характеристики и виды. Так, например, в исследованиях социальной природы действий человека неопределенность может быть представлена двумя видами – имманентной и гетерономной.

а) Имманентная неопределенность порождается внутренней природой человека (Имманентный — филос. Внутренне присущий какому-нибудь предмету, явлению, проистекающий из его природы) и имеет место, когда горизонт предпочтений меняется, но типологическая узнаваемость событий и процессов сохраняется. Например, человек, избравший ту или иную профессию, может достичь в рамках своей профессии мастерства и высших ступеней, а может остаться на первоначально квалификационном уровне. Выбор вариантов и, соответственно, рождаемых этими вариантами неопределенностей, определяется характером самого человека.

б) Гетерономная неопределенность, в противоположность имманентной, приобретает принципиально другое качество. Выбор вариантов не во власти действий человека – обстоятельства определяют события и связанные с ними неопределенности. Примером могут служить исторические повороты судеб известных людей, которые при стечении обстоятельств менялись кардинальным образом и не могли быть прогнозируемыми.

Каждый из перечисленных видов неопределенности может быть детализирован более глубоко. Так, неопределенности связанные с авариями могут быть декомпозированы на ситуации при технологических авариях, в частности, на химических производствах и на атомных электростанциях и т.д.

Следует учитывать, что данная классификация видов неполная. В силу динамичного процесса познания и исследования природы неопределенностей стоит ожидать и новых интерпретаций, и новых классификаций.

2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

Правило. Для вычисления предела функции Виды неопределенностейв точкеВиды неопределенностейили приВиды неопределенностейнадо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

Виды неопределенностей.

Найти пределы функций:

Виды неопределенностей

При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного значения Виды неопределенностейчасто приводит к неопределенным выражениям вида:Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей.

Выражения вида Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностей,Виды неопределенностейназываютсянеопределенностями .

Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности .

Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.

Неопределенность вида

Если Виды неопределенностейиВиды неопределенностейприВиды неопределенностей(Виды неопределенностей), то говорят, что их частноеВиды неопределенностейпредставляет собой неопределенность видаВиды неопределенностей.

Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида Виды неопределенностей, заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх .

Виды неопределенностей.

Рассмотрим дробно−рациональную функцию

Виды неопределенностей (Виды неопределенностей),

представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение этой функции при Виды неопределенностей.

При нахождении предела данной функции при Виды неопределенностеймогут иметь место три варианта ответа:

Основные неопределенности пределов и их раскрытие.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей. ноль делить на ноль Виды неопределенностей ( 0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность Виды неопределенностей, ноль умножить на бесконечность Виды неопределенностей, бесконечность минус бесконечность Виды неопределенностей, единица в степени бесконечность Виды неопределенностей, ноль в степени ноль Виды неопределенностей, бесконечность в степени ноль Виды неопределенностей.

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

  • упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
  • использование замечательных пределов;
  • применение правила Лопиталя ;
  • использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Виды неопределенностей

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
Виды неопределенностей

То есть, предел можно переписать в виде
Виды неопределенностей

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция Виды неопределенностей. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем Виды неопределенностей и Виды неопределенностей, следовательно, можно записать Виды неопределенностей.

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
Виды неопределенностей

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:
Виды неопределенностей

Виды неопределенностей

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пришли к неопределенности ( 0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет Виды неопределенностей
Виды неопределенностей

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.
Виды неопределенностей

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Виды неопределенностей

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1. то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:
Виды неопределенностей

Разложим знаменатель на множители:
Виды неопределенностей

Наш предел примет вид:
Виды неопределенностей

После преобразования неопределенность раскрылась.

Виды неопределенностей

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения ( m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при Виды неопределенностей возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность Виды неопределенностей, в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на Виды неопределенностей

Виды неопределенностей и способы их раскрытия. Первый и второй замечательные пределы

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида . Для раскрытия неопределенностей можно воспользоваться следующими приемами :

1. Если получаем . где – многочлены, то в этом случае надо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить на . а затем опять подставить предельное значение.

2. Если получаем неопределенность и есть иррациональность, то числитель и знаменатель надо домножить на сопряженную величину.

3. Если при получаем неопределенность . то надо числитель и знаменатель почленно разделить на неизвестное слагаемое в наивысшей степени.

4. Если получаем неопределенность . а представлена в виде разности двух дробей, то необходимо привести дробь к общему знаменателю и получить неопределенность .

5. Если получаем неопределенность и есть иррациональность, то числитель и знаменатель домножаем на сопряженное выражение.

6. Первый замечательный предел раскрывает неопределенность вида и имеет вид:

7. Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида и имеет вид:

Пример 1. Вычислить значение предела:

2. . так как . то при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина бесконечно большая.

3. . При подстановке предельного значения получаем неопределенность . значит необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и после сокращения вычислить предел. При разложении воспользуемся формулой из школьного курса: если и — корни квадратного трехчлена, то .

4. . Получаем неопределенность . умножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную числителю, то есть на и затем, сократив дробь, получим:

5. . Получаем неопределенность . разделим почленно числитель и знаменатель на . затем воспользуемся теоремами о пределах и определением бесконечно малых величин:

6. . Имеем неопределенность вида . приведем дроби к общему знаменателю, сократим полученную дробь и вновь подставим предельное значение:

7. . Получаем неопределенность . умножим и разделим на величину, сопряженную данному выражению:

8. . Получаем неопределенность вида . С помощью преобразований сведем данный предел к первому виду первого замечательного предела :

. так как и (следствие (2) из первого замечательного предела).

9. . Получаем неопределенность вида . С помощью преобразований сведем данный предел к виду второго замечательного предела :

. так как (следствие (2) из второго замечательного предела).

Виды неопределенностей

Основной задачей при вычислении пределов является устранение неопределенностей с помощью алгебраических преобразований.

1) для неопределенности вида :

— Если в числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции и . Вычисление пределов в случае отношения степенных функций производится путем вынесения за скобку в числителе и знаменателе дроби переменной x в наибольшей степени среди всех слагаемых дроби (неопределенность устраняется после сокращения дроби и применения основных теорем о пределах); в случае показательных функций за скобку выносится наибольшее слагаемое.

— Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле, т.е.

2) для неопределенности вида :

— Если возможно, то числитель и знаменатель разложить на множители. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

— Числитель и знаменатель дроби домножить на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

Формулы сокращенного умножения:

(a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 -b 3

3) для неопределенности вида [0 ]:

— Выражение, представляющее собой произведение функций, нужно преобразовать в частное (не меняя смысла). После чего неопределенность преобразуется к виду или .

4) для неопределенности вида [ ]:

— Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой сумму или разность дробей, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу после приведения к общему знаменателю.

— Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой разность или сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу путем домножения и деления функции на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

5) для неопределенности вида [ ]:

— Выражение, стоящее под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию (в основании которой необходимо выделить целую часть дроби). Неопределенность устраняется при помощи выделения второго замечательного предела.

Формула второго замечательного предела:

12 0. Необходимые и достаточные условия
монотонности функции. Экстремумы функции

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции . если существует такая -окрестность точки . что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции . если существует такая -окрестность точки . что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 3.Экстремумом функции называется точка максимума или минимума функции.

Определение 4. Функция называется возрастающей на множестве . если для любых значений и из области определения: . и убывающей. если для любых значений и из области определения: .

Теорема 1 (необходимое условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если функция монотонно возрастает на интервале . то на ;

2) если функция монотонно убывает на интервале . то на .

Доказательство. Пусть функция монотонно возрастает на интервале . Тогда для любых значений и из интервала имеем: .

Возьмем произвольную точку . придадим аргументу приращение так, что . функция получит приращение . .

Таким образом, на интервале .

Доказательство п. 2) проводится аналогично.

Теорема 2 (достаточное условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда, если для любой точки интервала . то функция – возрастающая на интервале и если . то – убывающая на интервале функция.

Доказательство. Т.к. функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . то выполняются теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Рассмотрим точки . Пусть . Тогда, по теореме Лагранжа, существует точка . причем :

1) Если для любого . следовательно, функция возрастает на отрезке .

2) Если для любого . следовательно, функция убывает на отрезке .

Теорема 3. Для того, чтобы функция . непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале . была постоянной функцией, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на данном интервале была равна нулю.

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть для любого . Тогда для любого .

Пусть для любого выполняется .

Выберем два любых . . Тогда по теореме Лагранжа существует . где :

по предположению, следовательно,

– постоянная функция на .

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция – дифференцируемая функция.

1) Если в точке первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то функция имеет в точке максимум.

2) Если в точке первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то функция имеет в точке минимум.

Доказательство. Доказательство следует из необходимого и достаточного условия монотонности функции.

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума). Пусть функция дважды дифференцируема, причем и – непрерывные функции. Тогда:

1) если и – точка максимума функции ;

2) если и – точка минимума функции .

1) Пусть и . В силу своей непрерывности функция в некоторой окрестности точки . Тогда по теореме 2 функция убывает в этой окрестности. Поскольку . то функция меняет в точке свой знак с “+” на “–”. Следовательно, по теореме 4 функция имеет в точке максимум.

2) Пусть и . В силу своей непрерывности функция в некоторой окрестности точки . Тогда по теореме 2 функция возрастает в этой окрестности. Поскольку . то функция меняет в точке свой знак с “–” на “+”. Следовательно, по теореме 4 функция имеет в точке минимум.

Теорема 6 (необходимое условие существования экстремума функции в точке). Пусть функция имеет в точке экстремум. Тогда производная либо равна нулю в точке . либо не существует.

Доказательство. Если в точке функция достигает экстремума, скажем максимума, то значение функции в этой точке является наибольшим ее значением в некоторой окрестности точки . Но по теореме Ферма в тех внутренних точках интервала, в которых дифференцируемая функция достигает своего наибольшего значения, ее производная равна нулю. Аналогично проводится рассуждение и для точки минимума.

13 0. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Определение.Критическими точками 1-го порядка функции называют точки, в которых первая производная или не существует.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках 1-го порядка, либо на концах отрезка.

Пример. Дана функция . Найти ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке .

Решение. Найдем критические точки. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

при и при . Находим: . . . .

Таким образом, при . при .

14 0. Выпуклость и вогнутость функции

Определение 1. Функция называется выпуклой в точке . если в окрестности этой точки график этой функции лежит по одну сторону от касательной, построенной к графику функции в точке .

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх или просто выпуклой. если ее график в окрестности точки лежит ниже касательной, построенной к графику в точке по отношению к оси .

Определение 3. Функция называется выпуклой вниз или вогнутой. если ее график в окрестности точки лежит выше касательной, построенной к графику в точке по отношению к оси .

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *