Условия равновесия твердого тела

Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия

Тело будет находиться в равновесии, если отсутствуют причины, приводящие к появлению поступательного или вращательного движений. Д ля этого необходимо одновременное выполнение двух условий:

1) или ; ; — сумма всех сил, действующих на тело равна нулю;

Условия равновесия твердого тела

2) — сумма моментов сил, действующих на тело относительно произвольной точки О равна нулю. При решении конкретных задач это условие заменяют другим: ; сумма моментов относительно координатных осей равна нулю.

При нахождении условий равновесия очень важно знать, какое это равновесие .

1. Если тело немного сместить от положения равновесия, и оно самопроизвольно возвращается в исходное положение, то равновесие называется устойчивым (пример. математический маятник в нижней точке, шарик, лежащий внутри сферы, и т. д.).

2. Если при указанных условиях тело не возвращается в исходное положение, то равновесие неустойчивое (пример. шарик, лежащий на верхней точке полусферы, карандаш, стоящий на столе, и т.п.).

3. Если тело остается в новом положении, то равновесие безразличное (пример. шарик на горизонтальной плоскости).

М-но показать, что 1-му условию соответствует минимальная потенциальная энергия в положении равновесия, 2-му – максимальная, 3-ему – постоянная энергия – так, как на рисунке).

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Условия равновесия твердого тела

Система сил наз.уравновешенной ,если под действием этой системы тело остается в покое.

Условия равновесия:
Первое условие равновесия твердого тела:
Для равновесия твердого тела необходимо, чтобы сумма внешних сил, приложенных к телу, была равна нулю.
Второе условие равновесия твердого тела:
При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равно нулю.
Общее условие равновесия твердого тела :
Для равновесия твердого тела должны равняться нулю сумма внешних сил и сумма моментов сил, действующих на тело. Должны быть также равны нулю начальная скорость центра масс и угловая скорость вращения тела.

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

11. Плоская система сил – это силы, расположенные в одной плоскости.

Три формы уравнений равновесия для плоской системы:

Условия равновесия твердого тела

Центром тяжести тела конечных размеров называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести всех частиц тела равна нулю. В этой точке приложена сила тяжести тела. Центр тяжести тела (или системы сил) обычно совпадает с центром масс тела (или системы сил).

Центр тяжести плоской фигуры:

Практический способ нахождения центра масс плоской фигуры. подве­сим тело в поле тяжести так, чтобы оно могло свободно поворачиваться вокруг точки подвеса O1. В равновесии центр масс С находит­ся на одной вертикали с точкой подвеса (ниже ее), так как равен нулю

момент силы тяжести, которую можно считать приложенной в центре масс. Изменяя точку подвеса, таким же способом находим еще одну прямую О2 С, проходящую через центр масс. Положение центра масс да­ется точкой их пересечения.

Условия равновесия твердого тела

Скорость центра масс:

Условия равновесия твердого тела

Импульс системы частиц равен произведению массы всей системы М=&#&31;mi на скорость ее центра масс V :

Условия равновесия твердого тела

Центр масс характеризует движении системы как целого.

15. Трение скольжения – трение при относительном движении соприкасающихся тел.

Трение покоя – трение при отсутствии относительного перемещения соприкасающихся тел.

Сила трения скольжения Fтр между поверхностями соприкасающихся тел при их относительном движении зависит от силы нормальной реакции N . или от силы нормального давления Pn . причем Fтр=kN или Fтр=kPn . где k – коэффициент трения скольжения . зависящий от тех же факторов, что и коэффициент трения покоя k0 . а также от скорости относительного движения соприкасающихся тел.

16. Трение качения – это перекатывание одного тела по другому. Сила трения скольжения не зависит от величины трущихся поверхностей, а только от качества поверхностей трущихся тел и от силы, снижающей трущиеся поверхности и направленной перпендикулярно к ним. F=kN. где F – сила трения, N – величина нормальной реакции и k – коэффициент трения при скольжении.

17. Равновесие тел при наличии трения — это максимальная сила сцепления пропорциональная нормальному давлению тела на плоскость.

Угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции, называется углом трения.

Конус с вершиной в точке приложения нормальной реакции шероховатой поверхности, образующая которого составляет угол трения с этой нормальной реакцией, называется конусом трения.

1. Вдинамике рассматривается влияние взаимодействий между телами на их механическое движение.

Масса — это малярная характеристика материальной точки. Масса постоянна. Масса адьетивна (складывается)

Сила – это вектор, который полностью характеризует взаимодействие на ней материальной точки с другими материальными точками.

Материальная точка – тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемом движении.(ex: в поступательном движении твердое тело можно считать материальной точкой)

Системой материальных точек наз. множество материальных точек, взаимодействующих между собой.

1 закон Ньютона: любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

2 закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе точки и по направлению совпадает с силой: a=F/m

3 закон Ньютона: силы взаимодействия двух материальных точек в инерциальной системе отсчета равны по модулю и направлены в противоположные стороны:Fik= — Fki

Система отсчета. относительно которых тело при отсутствии внешних воздействий движется прямолинейно и равномерно, наз инерциальными системами отсчета.

3. Две основные задачи динамики:

первая — зная закон движения точки, определить действующую на нее силу;

вторая (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.

Условия равновесия твердого тела

Условия равновесия твердого телаУсловия равновесия твердого тела

17. Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия

Как было указано в предыдущем разделе, твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы. Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс

и уравнение моментов

Если твердое тело покоится, то уравнения (7.38) и (7.39) переходят в уравнения

В этих формулах Условия равновесия твердого тела – результирующая внешних сил, Условия равновесия твердого тела– сумма моментов этих сил относительно оси вращения. Таким образом, равновесие имеет место в том случае, когда результирующая внешних сил и сумма моментов относительно оси вращения равны нулю.

Это – необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии Условия равновесия твердого тела равна нулю, то момент этих сил Условия равновесия твердого телав состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется. Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно.

Различают устойчивое и неустойчивое равновесия. Как показывает связь силы с потенциальной энергией, при равенстве нулюрезультирующих внешних сил в состоянии равновесия все производные потенциальной энергии по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения, функция потенциальной энергии остается почти постоянной. Точнее, приращения потенциальной функции при таких приращениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия экстремальна, т.е. минимальна или максимальна.

Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Диссипативные силы делают равновесие еще более устойчивым. Если потенциальная энергия максимальна, равновесие тела неустойчиво.

Эти выводы остаются справедливыми и для систем, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями. Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т.е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна направлению возможного перемещения и работы не производит.

18. Центр тяжести

На каждую точку частицы твердого тела действует сила тяготения Земли. Все силы тяготения параллельны друг другу, если размеры тела невелики относительно радиуса Земли, и имеют равнодействующую. Оказывается, как бы ни повернули твердое тело, эта равнодействующая будет проходить через одну точку, неизменно связанную с телом. Эта точка называется центром тяжести тела.

Если укрепить тело в точке центра тяжести, то оно будет находиться в равновесии при любом положении тела. Следовательно, сумма моментов сил тяжести всех частиц тела относительно любой горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю. Подвешенное так тело после поворота вокруг любой оси, проходящей через центр тяжести, будет оставаться в равновесии, так как равнодействующая сил тяжести проходит через точку закрепления.

Центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести. Поэтому вместо терминов “центр масс” и “центр инерции” употребляют также термин “центр тяжести ”. Следовательно, координаты центра тяжести можно найти по формуле, справедливой для радиуса-вектора центра масс, о которой мы говорили в разделе “Центр масс системы материальных точек”. Положение центра тяжести можно вычислить также по формулам (7.40) и (7.41).

Центр тяжести можно определить и экспериментально.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Выберем ось Z вдоль оси вращения, например так,�как пока�зано на рис. 5.1. Рассмотрим проекцию на ось Z момента M силы F. обра-

зующей с прямой ОO’ угол a (рис. 5.1б), т. е. вращающей тело про-

тив часовой с�трелки. Из свойств векторного произведения следует, что момент M параллелен оси Z и составляет с ней угол 0. Следова-

Если сила F образует с прямой ОO’ уг�ол a¢ (рис. 5.1в), т. е. вра- щает тело по часовой стрелке, то момент M параллелен оси Z и, сле-

довательно, составляет с ней угол p. Тогда

Mz = M cos p = —M. (5.13) Следовательно, уравнение (5.11) имеет вид

где знак (–) ставится, если сила вращает тело по часовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (против часовой стрелки).

Отметим, что условия равновесия твердого тела определяют усло- вия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равен- ства нулю сил и их моментов следует равенство нулю ускорений. При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолиней- но, а само тело — равномерно вращаться. Если тело покоитсяко- рость тела равна нулю ), то при выполнении условий равновесия оно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может изменить- ся со временем, так как ускорение равно нулю). Таким образом, ус- ловия равновесия — это необходимые, но не достаточные условия по- коя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, среди всех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такую систему, в которой выполняются уравнения равновесия материальной точки (5.4), и она покоится.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

2. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ. на ось z положительна и равна произведению модуля силы на плечо силы?

3. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоско- сти ХОУ. на ось z отрицательна и равна минус произведению моду- ля силы на плечо силы?

4. В каком случае проекция ненулевого момента силы, лежащей в плоскости ХОУ. на ось z равна нулю?

5. Объясните разницу между утверждениями: тело находится в рав- новесии, тело находится в покое.

Примеры решения задач

К рукоятке гвоздодера приложена сила F = 150 H. Длина гвоздо- дера от основания до конца рукоятки L = 25 см, от гвоздя до боковой поверхности гвоздодера — l = 5 см. Определить силу, приложенную к

гвоздю.(Рассмотреть состоя- ние равновесия, силой тяже- сти гвоздодера пренебречь).

L = 25 см = 0,25 м;

и б). В процессе выдергивания г�воздя на него возд�ействуют четыре объекта (тела): человек с силой F. гвоздь с силой K. Земля с силой

Mg и по�верхность, на которую опирается �гвоздодер, с силой реакции опоры N (нормальная составляющая) и F тр (горизонтальная состав-

ляющая). Так как (5.4) �

то второе уравнение равновесия твердого тела (5.6) можно записать относительно произвольной точки O’. Выберем ее, как показано на рисунке. Отметим, что все силы, приложенные к гвоздодеру, лежат в плоскости ХОY. Поэтому равенство (5.6) сводится к (5.10)

которое имеет вид равенства (5.13). Рассчитаем проекции моментов всех сил, приложенных к гвоздодеру:

М тр = 0, MN = 0 – так как точка O’ лежит на линии действия этих сил; MMg = 0 – так как по условиям задачи силой тяжести гвоздоде- ра можно пренебречь;

MF = FL – так как плечо силы�(перпендикуляр, опущенный из точ- ки O’ на линию действия силы F ) равно L. и сила вращает гвоздодер

относительно точки O’ против часовой стрелки;

MK = –Kl – так как плечо силы (�перпендикуляр, опущенный из

точки O’ на линию действия силы K ) равно l. и сила вращает гвоз-

додер относительно точки O’ по часовой стрелке.

Таким образом, получаем уравнение

Выражая из этого уравнения силу K. имеем

По третьему закону Ньютона сила, с которой гвоздь действует на гвоздодер равна по модулю силе, с которой гвоздодер действует на гвоздь (рис. в), т. е.

Таким образом, сила, с которой действует гвоздодер на гвоздь, тем больше, чем длиннее его ручка. Подставляя численные значе- ния, имеем

Q = 150 0, 25 = 750 Н. (5)

На горизонтальной плоскости

в равновесии находится куб мас- N

сой m. Определить величину, на- C

правление и точку приложения к

ризонтальной поверхности линией действия силы �

Ответ: N = mg. N ­¯ mg. Точка приложения силы реакции опо- ры — пересечение горизонтальной поверхности и линии действия силы тяжести.

На наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, в покое находится цилиндр высотой H. радиусом окружности основа- ния R. Определить точку приложения к цилиндру силы реакции опо- ры и условие покоя цилиндра в зависимости от угла наклона плоско- сти a, если коэффициент трения о плоскость равен k .

Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости по- нимают два процесса: падение цилиндра на наклонную плоскость и

скольжение его вдоль н�аклонной плоскости�.

Пусть нормальная N и горизонтальная F тр — составляющие силы

реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности ци-

линдра, соприкасающейся с опорой (наклонной плоскостью) на рас-

стоянии x от точки О. Запи�шем�усл�овия равновесия (5.4) и (5.6).

� � �

Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плос- кость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют в од- ной плоскости XOY. то векторное равенство (2) можно заменить на равенство проекций на ось z

Определим моменты всех сил, например относительно точки О. Это возможно, так как предполагается, что сумма сил, приложенный к телу, равна нулю. Тогда

так как линии действия этих сил проходят через точку О (плечи сил равны нулю). Следовательно,

N вращает тело относительно точки О против ча-

совой стрелки, то

Следовательн�о, если тело находится в равновесии, то нормальная составляющая N силы реакции опоры всегда приложена к точке О

точке пересечения линии действия силы тяжести с опорой (на�клон-

ной плоскостью). Следовательно, точка приложения силы N дви-

жется к краю цилиндра при увеличении угла наклона a. Это усло- вие определяет предельно возможное положение равновесия тела на

наклонной плоскости (рис. б). Если линия дейст�вия силы тяжести

выйдет за край тела (а точка приложения силы N по физическому

смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой), то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции момен- тов всех сил относительно точки О равны (рис. в)

Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклон-

ную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол на- клона плоскости к горизонту a0, когда тело еще находится в равно- весии (рис. б), равен

Найдем условия, когда цилиндр не скользит по наклонной плос- кости. Из (1) следует, что

Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси ко- ординат, получаем

5.3. Поступательное движение твердого тела 287

Подставим (15) и (16) в (13) и (14). Тогда имеем

Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значе- ния при некотором угле наклона a1, т. е. F тр = kN. Тогда выразим N из

(18) и подставим в F тр (17). Таким образом,

Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости на- рушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом:

= arctg 2R (падение),

a > a1 = arctg(k ) (скольжения).

Если 2R < k, то при увеличении угла наклонной плоскости от нуля

цилиндр упадет на нее, если k <

2R, то он поедет по наклонной плос-

«Формирование условий равновесия твёрдого тела» в курсе физики основной школы

Первое условие (уравнение (3)) обеспечивает отсутствие поступательного движения, второе условие (уравнение (4)) — отсутствие вращательного. Неплохо было бы обратить внимание на то, что уравнение (3) является частным случаем 2-го закона Ньютона (при ).

Учащимся необходимо усвоить, что момент силы — это векторная величина, поэтому при скалярной записи уравнения (4) необходимо учитывать знак момента. Для учащихся школы правила звучат так:

  1. Если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки — её момент относительно данной оси положительный;
  2. Если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке — её момент относительно данной оси отрицательный.

Как пример применения условий равновесия твёрдого тела служит применение рычагов и блоков. Пусть на одно плечо рычага действует сила , на другое — (рис. 1).

В данном случае представим, что опора тела неподвижна, поэтому нам понадобится только второе условие равновесия:

В скалярном виде, учтя знаки, получаем:

Полученное выражение называется условием равновесия рычага. Учащиеся должны твёрдо усвоить, что это лишь частный случай, и в более общих случаях необходимо опираться на уравнение (4).

Как известно из курса 7-го класса, блоки бывают подвижный и неподвижный. С помощью условий равновесия анализируют работу по равномерному подъёму груза с помощью неподвижного блока и системы подвижного и неподвижного блоков.

1. Неподвижный блок.

Пусть диаметр блока d. Воспользовавшись условием равновесия (4), получаем:

Полученный факт иллюстрирует, что неподвижный блок не даёт выигрыша в силе, то есть мы должны будем приложить для подъёма груза силу, равную по модулю весу груза. Неподвижный блок применяется только лишь для удобства, в основном в паре с подвижным блоком.

2. Подвижный блок.

Воспользуемся уравнением (4) аналогично случаю с неподвижным блоком:

Мы получили, что в системе подвижного и неподвижного блоков при отсутствии сил трения получается выигрыш в силе в 2 раза. В данном случае диаметры блоков были одинаковы. Полезно будет с учащимися разобрать способы получения выигрыша в силе в 4, 6 и т. д. раз.

В заключение, проанализировав то, о чём говорилось выше, формулируется «золотое правило» механики. Решаются задачи на рычаги, блоки и другие случаи равновесия тел.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *