Уравнение нормали

III Уравнение касательной и нормали к кривой

Из курса геометрии известно, что в прямоугольной декартовой системе координат уравнение прямой с угловым коэффициентом . проходящем через точку имеет вид

Поэтому, подставив в уравнение (1) . получим уравнение касательной к кривой в точке :

Как известно, условием перпендикулярности прямых, задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами и . является условие . Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

Замечание. Уравнение (3) задает нормаль к графику функции в точке . если существует отличная от нуля производная .

Если . то касательная к кривой в такой точке будет параллельна оси . а ее уравнение будет иметь вид: . Из определения же нормали следует, что нормаль к кривой в такой точке будет перпендикулярна оси . а ее уравнение имеет вид .

Если же . то касательная к кривой в такой точке параллельна оси и ее уравнение имеет вид . а нормаль параллельна оси и ее уравнение имеет вид

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

1) Найдем значение функции в точке с . .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

Найдем значение производной в точке :

Так как . то по замечанию уравнение касательной примет вид . то есть . а уравнение нормали . то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

Теперь найдем значение производной:

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

1) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

2) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

3) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси . проведенных к кривой в точках с абсциссами .

4) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

5) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

6) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135 о с осью .

7) Найти скорость тела, движущегося по закону .

8) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты . и .

9) Найти скорость движения тела в момент времени . если закон движения задан формулой: .

10) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону . равна нулю?

11) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе . проведенная в точке . Составить уравнение этой касательной.

12) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами . и .

13) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Касательная — это прямая . которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

Вспомним уравнение прямой с угловым коэффициентом :

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0. y 0 ). где y 0 = f (x 0 ). В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Уравнение нормали

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень ( ) сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

/ Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функцииУравнение нормалив точкеУравнение нормалии разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно пониматьгеометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Как найти производную?Производная сложной функции и Простейшие задачи с производными .

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически .

Но сначала освежим воспоминания: если функция Уравнение нормалидифференцируема в точке Уравнение нормали(т.е. если существуетконечная производная Уравнение нормали), то уравнение касательной к графику функции в точкеУравнение нормалиможно найти по следующей формуле:Уравнение нормали

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными . Однако дело этим не ограничивается: если в точке Уравнение нормалисуществует бесконечная производная:Уравнение нормали, то касательная будет параллельна осиУравнение нормалии её уравнение примет видУравнение нормали. Дежурный пример: функцияУравнение нормалис производнойУравнение нормали, которая обращается в бесконечность вблизикритической точкиУравнение нормали. Соответствующая касательная выразится уравнением:Уравнение нормали(ось ординат).

Если же производной Уравнение нормалине существует(например, производной от Уравнение нормалив точкеУравнение нормали). то, разумеется, не существует и общей касательной .

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль. Нормалью к графику функции Уравнение нормалив точкеУравнение нормалиназываетсяпрямая . проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали. Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем видеУравнение нормали. Далее «снимаем»нормальный векторУравнение нормалии составляем уравнение нормали по точкеУравнение нормалии направляющему векторуУравнение нормали.

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых . Если существует конечная и отличная от нуля производная Уравнение нормали, то уравнение нормали к графику функцииУравнение нормалив точкеУравнение нормаливыражается следующим уравнением:Уравнение нормали

Особые случаи, когда Уравнение нормалиравна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой Уравнение нормалив точке, абсцисса которой равнаУравнение нормали.

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение. Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле: Уравнение нормали

В данном случае: Уравнение нормали

Найдём производную . Уравнение нормалиЗдесь на первом шагевынесли константу за знак производной . на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции .

Теперь вычислим производную в точкеУравнение нормали:Уравнение нормали

Получено конечное число и это радует. Подставим Уравнение нормалииУравнение нормалив формулуУравнение нормали:

Уравнение нормали

Перебросим Уравнение нормалинаверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной вобщем виде . Уравнение нормалиУравнение нормалиВторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:Уравнение нормалиИзбавляемся оттрёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: Уравнение нормалиУравнение нормали– искомое уравнение.

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки Уравнение нормалидолжны удовлетворять каждому уравнению:

И, во-вторых, векторы нормалиУравнение нормалидолжны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощьюскалярного произведения . Уравнение нормали, что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых .

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная Уравнение нормалии/или производная в точкеУравнение нормали. Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Уравнение нормалиЗабавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функцияУравнение нормализадаёт верхнюю дугуэллипса .

Следующая задача для самостоятельного решения:

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции Уравнение нормалив точкеУравнение нормали.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке Уравнение нормалиравна нулю:Уравнение нормали, то уравнение касательной упростится:Уравнение нормалиТо есть, касательная будет параллельна осиУравнение нормали.

Соответственно, нормаль будет проходить через точку Уравнение нормалипараллельно осиУравнение нормали, а значит её уравнение примет видУравнение нормали.

2) Если производная в точке Уравнение нормалисуществует, но бесконечна:Уравнение нормали, то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной:Уравнение нормали. И поскольку нормаль проходит через точкуУравнение нормалипараллельно осиУравнение нормали, то её уравнение выразится «зеркальным» образом:Уравнение нормали

Составить уравнения касательной и нормали к параболе Уравнение нормалив точкеУравнение нормали. Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение. составим уравнение касательной Уравнение нормали. В данном случаеУравнение нормали

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально: Уравнение нормали

Поскольку касательная параллельна оси Уравнение нормали(Случай №1). то нормаль, проходящая через ту же точку Уравнение нормали, будет параллельна оси ординат:Уравнение нормали

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения: Уравнение нормали

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной . касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда Уравнение нормали:

Написать уравнение касательной и нормали к кривой Уравнение нормалив точкеУравнение нормали.

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай №2, в котором Уравнение нормалина практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались сопределениями производной и касательной . а также имеют опыт нахождения производной по определению :

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции Уравнение нормалив точкеУравнение нормали

Решение: вкритической точкеУравнение нормализнаменатель производнойУравнение нормалиобращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производныеУравнение нормалис помощью определения производной (см. конец статьиПроизводная по определению):Уравнение нормалиОбе производные бесконечны, следовательно, в точке Уравнение нормалисуществует общая вертикальная касательная:Уравнение нормалиНу, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:Уравнение нормалиДля лучшего понимания задачи приведу чертёж:Уравнение нормалиОтвет: Уравнение нормали

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции :

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Найти уравнения касательной и нормали к кривой Уравнение нормалив точкеУравнение нормали.

Решение. судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка . какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред Уравнение нормали, и поэтому перспектива выразить функция вявном видеУравнение нормаливыглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле Уравнение нормали.

Из условия известны значения Уравнение нормали, кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:Уравнение нормалиПолучено верное равенство, значит, с точкойУравнение нормаливсё в порядке.

Осталось вычислить Уравнение нормали. Сначала по стандартной схеме найдёмпроизводную от функции, заданной неявно . Уравнение нормали

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением: Уравнение нормали

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим Уравнение нормали:Уравнение нормали

Осталось аккуратно разобраться с уравнением: Уравнение нормали

Составим уравнение нормали: Уравнение нормали

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти уравнение нормали к линии Уравнение нормалив точкеУравнение нормали

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружностьУравнение нормалицентром в точкеУравнение нормалирадиусаУравнение нормалии даже выразить нужную функциюУравнение нормали. Но зачем. Ведь найти производную отнеявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде Уравнение нормали, проведенные в точке, для которойУравнение нормали.

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически(так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение. абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой: Уравнение нормали

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции . Уравнение нормали

И вычислим её значение при Уравнение нормали:Уравнение нормали

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения: Уравнение нормали

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Составить уравнение нормали к полукубической параболе Уравнение нормали, проведенной в точке, для которойУравнение нормали.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы :

Пример 2:Решение: уравнение касательной составим по формуле:Уравнение нормалиВ данном случае:Уравнение нормалиТаким образом:Уравнение нормалиУравнение нормали составим по формуле Уравнение нормали:Уравнение нормалиОтвет: Уравнение нормали

Пример 4:Решение: уравнение касательной составим по формуле:Уравнение нормалиВ данной задаче:Уравнение нормалиТаким образом:Уравнение нормалиВ точке Уравнение нормаликасательная параллельна осиУравнение нормали, поэтому соответствующее уравнение нормали:Уравнение нормалиОтвет:Уравнение нормали

Пример 7:Решение: в данной задаче: Уравнение нормали.Найдём производную:Уравнение нормалиИли:Уравнение нормалиПодставим в выражение производной Уравнение нормали:Уравнение нормалиИскомое уравнение нормали:Уравнение нормалиОтвет: Уравнение нормали

Пример 9:Решение: в данном случае:Уравнение нормалиНайдём производную и вычислим её значение при Уравнение нормали:Уравнение нормалиУравнение нормали:Уравнение нормалиОтвет: Уравнение нормали

Взято с сайта http://www.mathprofi.ru

Уравнение нормали
Главная | О нас | Обратная связь

Уравнения касательной и нормали к графику функции

Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

1. Производная функции, её геометрический и физический смысл

2. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3. Таблица производных.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Связь непрерывности и дифференцируемости.

6. Дифференциал функции.

7. Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала.

8. Основные теоремы дифференциального исчисления

9. Формула Тейлора.

10. Исследование функции с помощью первой производной.

11. Исследование функции с помощью второй производной.

12. Пример полного исследования функции.

Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Рассмотрим функцию . дадим аргументу приращение получим новое значение функции В результате функция получит приращение ( х).

Определение. Производной функции в произвольной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при

Производная функции в точке обозначается Итак, по определению

Пример 1. Найти производную функции

Решение. По определению

Если аргумент интерпретировать как время t движения материальной точки, а путь, пройденный этой точкой изменяется по закону . то отношение означает среднюю скорость точки на временном промежутке Тогда означает мгновенную скорость точки в любой момент времени – в этом состоит физический смысл производной.

Поскольку все процессы в природе находятся в движении, в развитии, а характеристикой всякого движения является скорость, то ясно, какое значение в изучении реальных процессов принадлежит производной функции.

Мы часто пользуемся графиками функций, поэтому рассмотрим геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Рассмотрим функцию и напишем уравнение касательной к графику этой функции в некоторой точке где ( см.рис.2)

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и опорной точкой: у — =k(x — Исходя из геометрического смысла производной Обозначим это число следовательно, уравнение касательной имеет вид: .

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. Условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что произведение их угловых коэффициентов равно – 1. Получаем окончательный вывод:

— уравнение нормали к графику функции в точке . где .

Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной и нормали — осталось найти ( (0). Так как (x)= =cosx, то (0)=cos0=1. Получаем: . т.е. биссектриса I-III координатных углов, является касательной графика синуса в начале координат; — уравнение нормали.

Первым непременным условием освоения техники дифференцирования является знание таблицы производных, т.е. производных всех основных элементарных функций. Приводим доказательства.

а) – показательная функция.

Уравнение нормали к поверхности Уравнение нормали в точке Уравнение нормали имеет вид…

Уравнение нормали к поверхности Уравнение нормали имеет вид:
Уравнение нормали.
Найдем частные производные I порядка данной функции:
Уравнение нормали, Уравнение нормали.
Вычислим значения частных производных в точке Уравнение нормали:
Уравнение нормали, Уравнение нормали.
Так как Уравнение нормали, Уравнение нормали, Уравнение нормали, тогда уравнение нормали примет вид: Уравнение нормали.

Уравнение касательной прямой к кривой Уравнение нормали в точке Уравнение нормали имеет вид …

Уравнение касательной прямой к кривой Уравнение нормали в точке Уравнение нормали имеет вид:
Уравнение нормали.
Вычислим производную функции Уравнение нормали
Уравнение нормали
Найдем значение производной в точке Уравнение нормали:
Уравнение нормали.
Так как Уравнение нормали, Уравнение нормали, тогда уравнение касательной примет вид: Уравнение нормали или Уравнение нормали.

Логическая операция Уравнение нормали равносильна формуле …

Функция Уравнение нормали задается таблицей истинности:
Уравнение нормали
На основании таблицы истинности определим совершенную дизъюнктивную нормальную форму операции:
Уравнение нормали.

Основная гипотеза имеет вид Уравнение нормали. Тогда конкурирующей может являться гипотеза…Решение:

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию Уравнение нормали противоречит Уравнение нормали.

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Уравнение нормали

Тогда плотность распределения вероятностей имеет вид…

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: Уравнение нормали. Тогда Уравнение нормалиУравнение нормали и
Уравнение нормали

Функция Уравнение нормали является решением дифференциального уравнения Уравнение нормали. Тогда значение Уравнение нормали равно …

Вычислим производную первого порядка Уравнение нормали и подставим Уравнение нормали и Уравнение нормали в данное дифференциальное уравнение Уравнение нормали. Тогда: Уравнение нормали, то есть Уравнение нормали.

Общее решение дифференциального уравнения Уравнение нормали при Уравнение нормали имеет вид…

Разделим переменные Уравнение нормали и проинтегрируем Уравнение нормали. Тогда Уравнение нормали, где Уравнение нормали и общее решение примет вид Уравнение нормали.

Oднородным дифференциальным уравнением первого порядка является…

Уравнение Уравнение нормали можно представить в виде:
Уравнение нормали, где Уравнение нормали и Уравнение нормали являются однородными функциями одного и того же (второго) порядка. Поэтому оно является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Подынтегральная функция Уравнение нормали нечетная и Уравнение нормали на Уравнение нормали, то Уравнение нормали равен …

Для Уравнение нормалинечетной и Уравнение нормали на Уравнение нормали схематический рисунок может быть таким:
Уравнение нормали
Очевидно: интегралы Уравнение нормали и Уравнение нормали равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Тогда Уравнение нормали

Производная функции Уравнение нормали имеет вид …

Обращаем внимание, что Уравнение нормали, где Уравнение нормали. Поэтому используем формулу: Уравнение нормали, где Уравнение нормали.
Тогда:
Уравнение нормали

Количество точек разрыва функции Уравнение нормали
равно …

Точками разрыва функции y=f (x) являются те, в которых функция не определена, (точки x=0 и x=3). А также те точки, в которых нарушается непрерывность функции, то есть не выполняется условие непрерывности: Уравнение нормали. Таковыми могут являться точки, при переходе через которые изменяется аналитическое выражение функции. Это точка x=1. Проверим, выполняется ли условие непрерывности, для этого найдем односторонние пределы: Уравнение нормали; Уравнение нормали. Пределы не равны. Это значит – условие непрерывности в точке x=1 не выполняется, следовательно: x=1 – точка разрыва. Вывод: 3 точки разрыва.

Дано линейное пространство векторов Уравнение нормали, где Уравнение нормали. Тогда линейным является отображение Уравнение нормали, задаваемое соотношением…

Отображение Уравнение нормали: Уравнение нормали линейного пространства Уравнение нормали над полем P называется линейным, если выполняются условия:
1.для любых элементов Уравнение нормали, Уравнение нормалиУравнение нормалиУравнение нормали
Уравнение нормали
2.для любого элемента Уравнение нормали и Уравнение нормалиУравнение нормали
Уравнение нормали.
Всем условиям удовлетворяет отображение Уравнение нормали. Отображения Уравнение нормали, Уравнение нормали и
Уравнение нормали не удовлетворяют условиям 1 и 2.

Свойством коммутативности обладает операция…

Свойство коммутативности Уравнение нормали, где Уравнение нормали– произвольные элементы множества, выполняется лишь для операции пересечения множеств. Действительно, еслиУравнение нормали, то Уравнение нормали; если Уравнение нормали, то Уравнение нормали, то А∩В=В∩А. Поскольку матрицы 2 порядка не всегда перестановочны, то для данной операции свойство коммутативности не выполняется.
Для операции композиция элементарных функций условие коммутативности примет вид: Уравнение нормали. Но, например, для функции Уравнение нормали и Уравнение нормали. Это условие не выполняется:
Уравнение нормали,
Уравнение нормали.
Операция возведения в степень на множестве N. не является коммутативной, так как, например,
Уравнение нормали.

Операция деления определена для всех ненулевых элементов множества

Говорят, что в множестве М задана бинарная операция, если указано правило, сопоставляющее некоторым парам элементов из М, взятым в определенном порядке, элемент из того же множества М. Таким образом, для того, чтобы операция деления была определена на множестве M, необходимо, чтобы для произвольных элементов a и b из M результат a:b также принадлежал множеству M.
Операция деления определена на множестве рациональных чисел. Действительно, если Уравнение нормали и Уравнение нормали – рациональные числа, Уравнение нормали – целые числа, то:
Уравнение нормали.
Здесь Уравнение нормали и Уравнение нормали – целые числа, следовательно, Уравнение нормали– рациональное число. На остальных множествах операция деления не определена. Действительно, отношение двух натуральных чисел, не всегда является натуральным числом, например, 1:2=0,5.
Операция деления матрицы А на В сопоставляет данной паре матрицу
С=Уравнение нормали -1 .
Т.е. матрица В должна быть невырожденной.
Если многочлен поделить на многочлен, то частное не является многочленом.

Дано множество всех чисел вида Уравнение нормали, где Уравнение нормали. Тогда обратным элементом относительно обычной операции умножения для элемента Уравнение нормали является…

По определению элемент Уравнение нормали является обратным элементу Уравнение нормали относительно обычной операции умножения, если выполняются условия:
1) Уравнение нормали
2)Уравнение нормали
Очевидно, что обратным элементом для элемента Уравнение нормали является элемент Уравнение нормали. Он принадлежит множеству всех чисел вида Уравнение нормали, так как его можно представить в виде:
Уравнение нормалиУравнение нормали,
где Уравнение нормали, Уравнение нормали – действительные числа.

При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены: выборочный коэффициент корреляции Уравнение нормали и выборочные средние квадратические отклонения Уравнение нормали. Тогда выборочный коэффициент регрессии Уравнение нормали на Уравнение нормали равен…

Выборочный коэффициент регрессии Уравнение нормали на Уравнение нормали вычисляется по формуле: Уравнение нормали. Тогда Уравнение нормали

Дана интервальная оценка Уравнение нормали математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна…

Точность интервальной оценки Уравнение нормали определяется как Уравнение нормали, то есть Уравнение нормали.

Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей
Уравнение нормали
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид…

По определению Уравнение нормали. Тогда
а) при Уравнение нормали, Уравнение нормали,
б) при Уравнение нормали, Уравнение нормали,
в) при Уравнение нормали, Уравнение нормали,
г) при Уравнение нормали, Уравнение нормали,
д) при Уравнение нормали, Уравнение нормали.
Следовательно, Уравнение нормали

Похожие документы:

норм защиты информации в этом случае, проводится на внешней поверхности. выявлен на фоне шумов (имеется в виду. обычно, сумма внешних шумов. близости от источника). 22 Решениеуравнений Максвелла для элементарного магнитного.

плоскости. Решение. 1) Поверхность. Найдем вектор нормали в произвольной фиксированной точке. Тогда касательная плоскость имеетуравнение. точки касания на поверхности. Доказать, что векторное уравнение конической поверхностиимеетвид. где -.

уравнения в привычной форме имеетвид. где n – целые числа. Решение трансцендентных уравнений. При решении трансцендентных уравнений для получения решения. color=x+y); Построить поверхность вместе с линиями. angle(a,b). Норма вектора. Норму (длину).

­10 м. При решении считать, что справедлив. углом = 30° к нормали. Определить импульс p. 100 Ом 1489 17077 Уравнение плоской звуковой волны имеетвид  = 60cos(. скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением.

приложения). Решение. Определяем тепловой эффект реакции, термохимическое уравнение которой имеетвид 2С. веществ обратно пропорциональны их норма -льностям, т.е. Vf. раствор вблизи поверхности заряжается положительно. Если поверхность металла заряжена.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *