Язык логики высказываний включает

Язык логики высказываний

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:

Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:

Úдизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

Úстрогая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

ºэквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы . (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если А и В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, АÚ В, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.

Упражнение 1. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r

б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Иван-царевич любит Марью», q – «Марья любит Ивана-царевича», r – «Марья красивая», s – «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

– «Иван-царевич храбрый и любит Марью » s & p

– «Неверно, что Марья некрасивая

или Иван-царевич ее не любит » Ø(9Oslash;r Ú Øp)

– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,

то они любят друг друга » (r&s) É (p&q)

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) Принцип бивалентности . Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1. ложность – как 0 .

2) Принцип композициональности . Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности :

В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные. тождественно-ложные и логически случайные .

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:

а) Ø(p & q) º (Øp & Øq)

б) (p É q) É (Øq É Øp)

в) (p º q) & (p Ú q)

Портал «Юристъ» — Ваш успех в учебе и работе!

Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений строит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая — логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r. (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок:

л — конъюнкция (союз «и»);

V — ДИЗЪЮНКЦИЯ (СОЮЗ «ШШ»);

-> — импликация (союз «если. то. »);

s — эквивалентность (союз «если и только если.

1 — отрицание («неверно, что. »). 3) Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r. — является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А л В, A v В, А -> В, А а В, ТА— также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозициональных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения сложных формул от значений их составляющих простых формул.

Если А и В простые

формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок форму может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного знач ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фо мулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истинцЭ при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональ»» ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики. *

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложносп| при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных, |

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинй ности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозици-Д ональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений ме» формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношен логического следования (символ |—), которое определяется следующим образом! Из AI. An как посылок логически следует В как заключение, если при истинное каждого А]. An истинным является и В. В языке-объекте отношение следован адекватно выражается импликацией. Значит, если А|. An |—B, то формула, пр 1р). Заменив знак логического следования между посылкой и заклк чением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что он является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полну! таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокра! щенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном ра суждении формула вида (AI л. л An) —» В должна быть тождественно истинно:

посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаты ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь пр В,1В

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (xi —> (xz —». (хп-1 —» Хп))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. xi, X2, хз. Xn-i.

Если при этом удастся вывести Хп, то по непрямому правилу -> в

последовательно формулы: (Xn-i-»Xn) (при этом исключается допущение Xn-i), (xn-2 -> (xn-i -» Xn)(xn-r исключается из числа, допущений) и т.д. пока не получим требуемое заключение х] -> (хп-2 ->. (xn-i -» Хп). Это правило построения прямого вывода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

1. (р л q) —> r — посылка

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквен-

та Хп. Это правило имеет вид

и говорит о том, что если из каких-то

формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (В л 1В), то из этих формул следует 1А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (xi -» (х2 -». (xn-i -» Хп). ), то после посылок выписываются формулы:

допущение косвенного доказательства [ДКД]

Затем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок| лопушгнии до гсх пор, пока не получим две противоречащие Друг Другу формулы ( и 1В), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательс с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. То в вывод вписывается строка П Хп, и тем самым допущение косвенного доказатель исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р -> q) h-(1q -> 1р)

1. р —> q — посылка

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-й формула и ее отрицание, i.e. противоречие. Таким образом, если строится косвенн вывод формулы вида xi —>. —> Хп), то построчно выписывают все антецеден от xi до Xn-i в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрица! последнего консеквента — 1хп как допущение косвенного вывода. По правш вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущен Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения коса ного вывода. На этом' основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицая Снятие двойного отрицания дает формулу Хп.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются j непротиворечивость и полнота. 1

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться -год ко истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок,^ она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множе ва посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание ( ТА).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы I вести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более обшей логической системой и включает лога высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логически» средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

1. На какие виды делятся выводы из сложных суждений?

2. Как строятся чисто условные умозаключения?

3. Что такое условно-категорическое умозаключение? Назовите его правиль модусы, выразите их в символической записи.

4. Какое умозаключение называется разделительно-категорическим? Назов его модусы, выразите их в символической записи.

5. Укажите условия правильности выводов по утверждающе-отрицаюшему и i рицающе-утверждаюшему модусам разделительно-категорического умозаключен!

6. Какое умозаключение называется условно-разделительным (лемманти* ким)? Какие модусы имеет дилемма?

7. Что такое энтимема?

8. Каковы принципы построения логики высказываний?

9. Покажите значение различных видов условных и разделительных умозак ний в работе юриста.

Классическая логика высказываний

Павлюкевич В . И .

3. Логические отношения между формулами КЛВ

4. Основные способы умозаключений КЛВ

Список использованных источников

Слово «логика» происходит от древнегреческого «логож», что переводится как «разум», «мысль», «суждение». Логика является одной из самых древних наук.

Первоначально она разрабатывалась в связи с запросами практики судопроизводства. От логической доказательности речи обвиняемого или обвинителя часто зависело решение суда — особенно в сложных и запутанных правовых ситуациях. Неумение четко и ясно формулировать свои мысли, изобличать подвохи и «ловушки» своих оппонентов могло стоить оратору очень дорого. Этим пользовались так называемые софисты — платные учителя мудрости. Непросвещенной публике они могли «доказать» что белое — это черное, а черное — это белое, после чего за большие деньги обучали своему искусству всех желающих.

Известен следующий случай. Однажды знаменитый софист Протагор повстречал способного, но бедного юношу по имени Эватл. Они заключили договор, согласно которому Эватл должен был заплатить за обучение не сразу, а после первого выигранного им судебного процесса. Но обещанных денег Протагор так и не увидел, поскольку юноша после обучения ни разу не появился в суде. Тогда учитель обвинил его в неблагодарности и подал на него в суд. «Если судьи признают, что я прав, — рассуждал Протагор, — он заплатит мне по решению суда, а если они его оправдают, то это будет первый выигранный им судебный процесс, и тогда он заплатит согласно договору». Но Эватл привел свои доводы: «Если я выиграю, то ничего платить не буду, ведь победитель побежденному платить не обязан; если же я проиграю, значит он плохо меня учил, и тогда я не должен ему платить по договору.» Складывается впечатление, что оба они правы — но ведь этого быть не может!

Внешне правильное рассуждение, содержащее какую-то скрытую уловку, называется софизмом . В процессе аргументации умение разоблачать софизмы необходимо, но все же недостаточно. Особенно если речь идет о научной аргументации, целью которой является не победа в споре, а отыскание истины.

Быстро развивавшаяся античная наука была вторым важным источником возникновения логики. В рамках философии, физики, геометрии, биологии постепенно вырабатывались самые разнообразные познавательные приемы, которые нужно было методологически обосновать, обобщить и систематизировать.

Этим занимались многие мыслители, но как стройная научная теория логика впервые сформировалась в IV веке до н.э. в трудах выдающегося древнегреческого философа Аристотеля (384-322 до н.э.).

Логические трактаты Аристотеля — «Категории», «Об истолковании», Первая и Вторая «Аналитики», «Топика» и «О софистических рассуждениях» — были объединены его последователями под общим названием «Органон». Слово «органон» по-гречески означает «орудие», и для самого Аристотеля логика выступает прежде всего как орудие, инструмент любого рационального познания.

С другой стороны, аристотелевскую логику часто называют «каноном», то есть правилом, образцом. Она не только объясняет, как должна строиться любая наука, но и сама показывает пример строгой научности и рациональности. Примечательно, что логическая система Аристотеля является первой в истории человечества формальной аксиоматической теорией — идеал, к которому стремятся все точные науки.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть язык и семантику КЛВ.

2. Изучить основные законы КЛВ.

3. Дать характеристику логическим отношениям между формулами КЛВ.

4. Изучить основные способы умозаключений КЛВ.

В ходе изучения классической логики высказываний основным методом работы стал метод теоретического анализа литературы по этой теме.

Реферат состоит из введения, основной части, заключения, списка использованных источников (включает ____ позицию).

Общий объем реферата составляет ____ страниц.

1. Язык и семантика КЛВ

Логика высказываний (пропозициональная логика) — это теория, изучающая логическую структуру сложных суждений без учета структуры простых суждений, входящих в их состав.

Несмотря на то, что отдельные фрагменты этой теории разрабатывались еще античными мыслителями, как стройная система она сложилась лишь к концу XIX в. Её аксиоматизацию впервые осуществил немецкий логик Готлоб Фреге.

При выявлении логических форм контекстов естественного языка в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых суждений, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Алфавит логики высказываний включает в себя три вида символов:

1) пропозициональные переменные — p, q, r, s.

2) пропозициональные связки -. &, ?, ?, ?, ?.

Пропозициональные переменные (от лат. «propositio» — высказывание) замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет дождь» можно обозначить символом p, высказывание «светит солнце» — символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. Их аналогом в естественном языке чаще всего выступают грамматические союзы.

отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& — конъюнкция («и», «а», «но», «хотя» и т.п.)

? — дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

? — строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

? — импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

? — эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами . Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы . (1) пропозициональные переменные являются формулами; (2) если А и В — формулы, то А, А & В, А ? В, А ? В, А ? В, А ? В — тоже формулы; (3)ничто другое не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой более сложной формулы, называется ее подформулой и выделяется скобками. Часто используется соглашение об опускании скобок. Считается, что каждая следующая связка в приведенном выше перечне связывает слабее, чем предыдущая. Так, например, дизъюнкция связывает переменные слабее, чем конъюнкция, эквиваленция — слабее, чем импликация, и т.д.

Приоритет 1 2 3 4 5 6

Связки & ? ? ??

Упражнение. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p ? q & r ? s & q ? p ? s ? q ? r

б) p & q ? r & s ? q ? p ? s ? q & r

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Ромео любит Джульетту», q — «Джульетта любит Ромео», r — «Джульетта красивая», s — «Ромео храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

— «Ромео храбрый и любит Джульетту » s & p

— «Неверно, что Джульетта некрасивая

или Ромео ее не любит » (r ? p)

— «Если Джульетта красива, а Ромео храбр,

то они любят друг друга » (r & s) ? (p & q)

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) Принцип бивалентности . Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1. ложность — как 0 .

2) Принцип композициональности . Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей:

p q p p & q p ? q p ? q p ? q p ? q

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 1 0

Математические аналоги логических функций:

Лог. функция символ Мат. функция символ

1 отрицание x инверсия 1 — х

2 конъюнкция x & y умножение х · у

3 дизъюнкция x ? y сложение х + у

4стр. дизъюнкция x ? y не равно х ? у

5 импликация x ? y меньше или равно х ? у

6 эквиваленция x ? y равно х = у

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Ромео и Джульетта любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p & q) ? ( p ? q).

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n, где k — количество строк, а n — число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных (для этого существует очень простой метод. Колонку под первой переменной делим пополам — половину раз пишем 1, половину — 0; для каждой следующей переменной чередование 1 и 0 в столбцах учащается в два раза).

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

В этой таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные — p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные. тождественно-ложные и логически случайные .

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых — «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

2. Основные законы КЛВ

Законом логической теории является формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов в ее составе.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной (общезначимой) формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ:

1) Закон тождества

Если высказывание истинно, то оно истинно.

2) Закон непротиворечия

Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.

3) Закон исключенного третьего

Из двух противоречащих друг другу высказываний по крайней мере одно истинно.

4) Закон двойного отрицания

Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению.

5) Закон утверждения консеквента

Заведомо истинное высказывание вытекает из чего угодно.

6) Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота)

Из заведомо ложного высказывания вытекает что угодно.

Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний.

Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого.

9) Закон транзитивности импликации

Если из одного высказывания вытекает второе, а из него — третье, то и из первого высказывания вытекает третье.

10) Законы дистрибутивности ? относительно & и наоборот.

Они позволяют пронести дизъюнкцию внутрь конъюнктивной формулы, а конъюнкциювнутрь дизъюнктивной.

11) Законы взаимовыразимости связок

С помощью этих законов можно значительно упрощать формулы, выражая одни связки посредством других.

3. Логические отношения между формулами КЛВ

Иногда в процессе рассуждения бывает важно установить, в каких логических отношениях находятся те или иные высказывания. Допустим, при расследовании ограбления банка были получены показания трех свидетелей. Один говорит: «Если виновен Браун, то виновен и Джонс», другой: «Если виновен Джонс, то виновен и Браун», а третий — «Виновен только один из них: либо Браун, либо Джонс». Могут ли они все трое лгать? Могут ли они все трое говорить правду?

Для решения этой задачи достаточно построить совместную таблицу для показаний трех свидетелей. Пусть р означает, что виновен Браун. а q — что виновен Джонс .

Из данной таблицы видно, что свидетели не могут все трое говорить правду, но не могут и все трое лгать. Более того, оказывается, что даже двое свидетелей не могут вместе лгать — в каждой строке только одна формула является ложной, а две — истинными.

В качестве фундаментальных логических отношений в КЛВ выделяют отношения совместимости по истинности, совместимости по ложности и логического следования .

Формулы А и Всовместимы по истинности (символически А(1)В ), если и только если в их совместной таблице истинности существует хотя бы одна строка, где они вместе принимают значение «1».

Формулы А и Всовместимы по ложности (символически А(0)В ), если и только если в их совместной таблице истинности существует хотя бы одна строка, где они вместе принимают значение «0».

Из формулы Алогически следует формула В (символически А ? ), если и только если во всех строках, где А принимает значение «1», В тоже принимает значение «1».

На основе фундаментальных отношений могут быть определены все остальные возможные отношения между двумя отдельно взятыми суждениями:

1. Отношение противоречия (контрадикторности). Формулы А и В находятся в отношении противоречия, если и только если они несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.

2. Отношение противоположности (контрарности). Формулы А и В находятся в отношении контрарности, если и только если они совместимы по ложности и не совместимы по истинности.

3. Отношение подпротивоположности (субконтрарности). Формулы А и В находятся в отношении субконтрарности, если и только если они совместимы по истинности и не совместимы по ложности.

4. Отношение логической эквивалентности. Формулы А и В находятся в отношении логической эквивалентности, если и только если из формулы А логически следует формула В, а из формулы В логически следует формула А.

5. Отношение логической независимости. Формулы А и В находятся в отношении логической независимости, если и только если они совместимы по истинности, совместимы по ложности и не следуют логически друг из друга. логика высказывание истинность антецедент

6. Отношение логического подчинения. Формула В логически подчиняется формуле А, если и только если из формулы А логически следует формула В, но не наоборот.

Для наглядности данные определения можно свести в таблицу:

Примечание. символ * означает: «при условии, что А и В являются собственно выполнимыми» (если это условие не выполнено, то в ячейках с * могут стоять противоположные отметки, а формулы могут находиться друг к другу в нескольких логических отношениях одновременно).

Используя знания о совместимости или несовместимости некоторого множества суждений по истинности или ложности, иногда можно достаточно точно установить истинностное значение входящих в них пропозициональных переменных. Например, рассмотрим следующую задачу, построенную в стиле известного логика Р. Смаллиана:

Благородный рыцарь оказался в ловушке у коварного короля. Перед ним коридор, в который выходят три двери. Известно, что за каждой дверью кто-то есть — может быть, принцесса, а может быть, — тигр. Король дал рыцарю единственную подсказку: принцесса может оказаться только за той дверью, на которой написана истина, а тигр — только за той, на которой ложь.

Вот какие надписи были на этих дверях:

Если здесь принцесса,

Если здесь тигр,

то в соседней комнате

Какую дверь должен открыть рыцарь, если хочет найти принцессу, а не стать добычей тигра?

Примем следующие обозначения:

р — за первой дверью принцесса,

q — за второй дверью принцесса,

r — за третьей дверью принцесса.

Теперь, используя эти переменные, можно формализовать содержание каждой надписи:

Учитывая подсказку короля, мы знаем, что первая надпись истинна, только если за первой дверью принцесса (р ), вторая — если за второй дверью принцесса (q ), а третья — если за третьей дверью принцесса (r ).

Тем самым, имеют место следующие эквивалентности:

Построим совместную таблицу для этих трех формул.

1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0

По условию задачи, формулы 1-3 должны быть истинны. В таблице видно, что они могут быть вместе истинными лишь в четвертой строке. Значит, в этой строке и надо искать ответ: р = 1, q = 0, r = 0. Другими словами, принцесса находится в первой комнате, а в остальных двух — тигры.

4. Основные способы умозаключений КЛВ

1) Условно-категорические умозаключения. Это двухпосылочные умозаключения, которые содержат импликативную посылку А ? В. Другая посылка, а также заключение могут быть либо антецедентом (А). либо консеквентом (В) первой посылки, либо отрицанием того или другого или В ). К числу правильных условно-категорических умозаключений относятся:

Таким образом, правильными являются умозаключения от утверждения антецедента (А) к утверждению консеквента (В) и от отрицания консеквента (В) к отрицанию антецедента (А) .

1) Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождь идет. Значит, крыши мокрые.

2) Если наступает осень, с деревьев опадают листья. Листья еще не опали. Значит, осень не наступила.

2) Разделительно-категорические умозаключения. Эти умозаключения также являются двухпосылочными, причем в них имеется дизъюнктивная посылка (А ? В ) или строго дизъюнктивная посылка (А ? В ). Другая же посылка и заключение совпадают с одним из дизъюнктов (А или В ) или с его отрицанием (А или В ).

К числу правильных разделительно-категорических умозаключений относятся:

В (отрицающе-утверждающий способ) и

В (утверждающе-отрицающий способ).

1) В машине кончился бензин или она сломалась. Машина не сломалась. Значит, кончился бензин.

2) В прошлую субботу подозреваемый был либо в городе, либо на даче. Он был на даче. Следовательно, в городе его не было.

3) Условно-разделительные (лемматические) умозаключения. Эти умозаключения содержат несколько импликативных и одну дизъюнктивную посылку. В дизъюнктивной посылке разделяются определенные варианты развития событий, каждый из которых имеет свое следствие. Рассмотрев и сравнив эти следствия, мы приходим к одному общему заключению. Если число рассматриваемых вариантов равно двум, такие умозаключения называются дилеммами :

В простых дилеммах заключение представляет собой простое суждение, в сложных — разделительное. В конструктивных дилеммах заключение является утвердительным, в деструктивных — отрицательным.

Если рассматривается три возможных варианта положения дел, такие умозаключения называются трилеммами . если больше — полилеммами .

Мы рассмотрели классическую логику высказываний по четырем составляющим: 1) язык и семантика КЛВ, 2) основные законы КЛВ, 3) логические отношения между формулами КЛВ, 4) основные способы умозаключений КЛВ.

Алфавит логики высказываний включает в себя три вида символов:

1) пропозициональные переменные;

2) пропозициональные связки;

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) принцип бивалентности;

2) принцип композициональности.

Рассмотрели алгоритм построения таблицы истинности, в результате увидели, что выделяют три вида формул. тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Законом логической теории является формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов в ее составе.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной (общезначимой) формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ: 1) Закон тождества; 2) Закон непротиворечия; 3) Закон исключенного третьего 4) Закон двойного отрицания; 5) Закон утверждения консеквента; 6) Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота) 8) Закон контрапозиции; 9) Закон транзитивности импликации; 10) Законы дистрибутивности ? относительно & и наоборот; 11) Законы взаимовыразимости связок.

С помощью этих законов можно значительно упрощать формулы, выражая одни связки посредством других.

В качестве фундаментальных логических отношений в КЛВ выделяют отношения совместимости по истинности, совместимости по ложности и логического следования .

На основе фундаментальных отношений могут быть определены все остальные возможные отношения между двумя отдельно взятыми суждениями:1.Отношение противоречия (контрадикторности).

3.Отношение подпротивоположности (субконтрарности).

4.Отношение логической эквивалентности.

5.Отношение логической независимости.

6. Отношение логического подчинения.

Основными способами умозаключений КЛВ являются: 1) условно-категорические умозаключения; 2) разделительно-категорические умозаключения; 3) условно-разделительные (лемматические) умозаключения.

Список использованных источников

1. Гетманова А.Д. Логика. М. 1998.

2. Горбатов В.В. Логика / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. — М. 2004. — 92 с.

3. Ивлев Ю.В. Логика. М. 1997.

4. Логика: пособие для учащихся.-М.:Просвещение.1996.-206 с.

5. Свинцов В.И. Логика. М. 1987.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Важнейшая функция логики. Аксиоматическое построение исчислений высказываний. Системы без доказательства. Эквивалентные системы исчисления высказываний. Системы Д. Гильберта и В. Аккермана. Правило подстановки, схема заключения, метод допущений.

реферат [27,7 K], добавлен 12.08.2010

Логический квадрат как иллюстрация онтологии и логики Аристотеля. Фундаментальные логические и онтологические принципы изображения логического квадрата. Отношения логического следования. Деление простых высказываний на общие, неопределенные и единичные.

статья [1023,8 K], добавлен 23.07.2013

Логическое осмысление континуума. Расширение классической логики как следствие ее ограничения (переводы и погружения). Сущность и возникновение алгебры логики. Поиск логической системы. Пример логического анализа высказываний и построения их формул.

контрольная работа [28,2 K], добавлен 05.07.2010

Определение формулы исчисления высказываний, алгебра высказываний. Равносильность формул исчисления высказываний. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Проблема решимости, систематические упрощения.

контрольная работа [31,0 K], добавлен 13.08.2010

Логика как «сознание духа в своей чистой сущности». Мышление, диалектика логики. «Стороны» диалектической логики. Аспекты сферы «логического». Три «момента» логического мышления по Гегелю. Гегелевская концепция мышления, критика диалектической логики.

контрольная работа [21,8 K], добавлен 18.10.2011

Порядок формирования таблицы истинности. Упрощение посылок и заключений, приведение их к базисному множеству. Доказательство истинности заключения методом дедуктивного вывода и резолюции с построением соответствующих графов. Исчисление предикатов.

курсовая работа [137,1 K], добавлен 21.11.2012

Смысл и значение логических законов. Характеристика типичных ситуаций нарушения закона тождества. Определение несуразных, ложных и истинных высказываний. Сущность единичных, общих и нулевых понятий. Виды отношений между понятиями и подбор однозначных.

контрольная работа [13,5 K], добавлен 17.03.2009

Значение логики, понятие как форма мышления. Основные логические приемы формирования понятий. Единичные и общие, конкретные и абстрактные, относительные и безотносительные, положительные и отрицательные понятия. Семантическая характеристика высказываний.

контрольная работа [14,9 K], добавлен 13.05.2010

Логика как раздел философии и наука о мышлении. Высказывание как форма мышления, понятие, структура и виды сложных высказываний. Логические значения сложных высказываний. Предложения, являющиеся сложными высказываниями, их логическая характеристика.

контрольная работа [42,6 K], добавлен 18.02.2013

Умозаключение — форма мышления, посредством которого из одного или нескольких суждений выводится новое суждение. Виды умозаключений. Логика суждений (высказываний). «Аксиомы» логики суждений. Правила вывода логики суждений. «Условный силлогизм».

реферат [12,4 K], добавлен 22.02.2009

Простое высказывание – высказывание, в котором нельзя выделить часть, являющуюся высказыванием, кроме самого этого целого.

Сложным (составным) называется высказывание, составленное с помощью логических связок.

Особенностью пропозициональных (высказывательных) логических форм является то, что они представляют собой самый “поверхностный” уровень анализа сложных предложений, при котором выявляются лишь “внешние” логические взаимосвязи между простыми предложениями, а также их порядок в составе исходного сложного предложения без анализа внутренней структуры самих простых предложений.

Тем самым в логике высказываний происходит абстрагирование (отвлечение) от содержания простых предложений: каждое простое предложение, в котором фиксируется одно и то же положение дел, заменяется одной и той же пропозициональной переменной. а разные предложения — обозначаются разными переменными; логические взаимосвязи между простыми предложениями фиксируются с помощью логических союзов .

В основе алфавита языка логики высказываний лежит множество формул, выражающие элементарные высказывания.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения.

Язык логики высказываний включает . алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r. (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок:

V — дизъюнкция (союз «или »);

-> — импликация (союз «если. то. »);

= — эквивалентность (союз «если и только если. то. »);

3) Технические знаки (,) — скобки .

Последовательность символов в логике высказываний называется формулой .

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами. или сокращенно ППФ. вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r. — является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А ^ В, A v В, А -> В, А = В, ТА— также являются ППФ.

3. Все другие выражения, не являются ППФ языка логики высказываний.

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различаюттождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы .

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных.

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

Основные правильные пропозициональные схемы

2. Язык логики высказываний

Логика высказываний отличается тем, что в процессе анализа процесса рассуждения ее главным инструментом становятся истинностные характеристики логических связок, а не внутренняя структура суждений. Язык логики высказываний включает алфавит, систему правильно построенных выражений и интерпретацию. Алфавит состоит из следующих символов:

символов высказываний (пропозициональных переменных): р,q, r, s… ;

символов для логических союзов (^, V, ┐,→,↔…);

технических знаков (скобки, знаки препинания и др.).

Допустимые в логике высказываний выражения называются правильно построенными формулами (ППФ), если они удовлетворяют следующим правилам:

1. Каждая пропозициальная переменная есть ППФ;

2. Если а и в – ППФ, то и формулы ┐а, ┐в, а ^ в, а V в, а → в, а ↔ в также являются ППФ.

3. Все иные выражения, не соответствующие правилам 1-2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться как табличным методом, так и системой исчисления, позволяющей получать по определенным правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. В данной процедуре большое внимание уделяется отношению логического следования. которое определяется следующим образом. Из формул А¹, А²,… Аⁿ как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого А¹, А², …Аⁿ истинным является и В. Логическое следование обозначают знаком: . Тогда, если А¹, А²,… Аⁿ├ В. то формула, представляющая собой импликацию вида (А¹ ^ А² ^…^ Аⁿ)В, должна быть тождественно-истинностной.

Основу логики высказываний как исчисления составляет так называемая система натурального вывода (СНВ). Система натурального вывода представляет собой совокупность определенных логических прямых правил, позволяющих из искомых суждений выводить новые, и непрямых правил, из утверждений которых о логическом следовании выводятся новые утверждения о логическом следовании.

Правила прямого вывода :

Введем следующие обозначения: конъюнкция –К; дизъюнкция – Д; импликация

– И; эквиваленция – Э; отрицание – О; введение – В; устранение – У.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота. Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут выводиться только истинные следствия, а также, что если формула выводится из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Полнота системы означает, что ее средств вывода

достаточно, чтобы из пустого множества посылок вывести любую тождественно-истинностную формулу.

В СНВ понятие логического следствия определяется без использования понятия истинности. Заключение в рассуждении логически следует из посылок тогда и только тогда, когда оно выводимо из заданных посылок по определенным выше правилам. Выводом в натуральной системе называют последовательность формул языка логики высказываний, каждая из которой является либо посылкой, либо формулой, полученной из предшествующих в последовательности формул по правилам прямого вывода. Последняя формула последовательности называется выводимой формулой или заключением

Кроме прямых правил, в СНВ используют и непрямые правила, определяющие стратегию вывода. К числу непрямых правил относят:

Здесь Г – множество гипотез (посылок, допущений); В – последняя формула последовательности формул, являющейся выводом. Факт наличия вывода формулы В из множества гипотез Г обозначается так: Г├ В. Последнее выражение называется выводимостью формулы В из множества гипотез Г.

Логика высказываний, по сути, является составной частью логики предикатов. Логика высказываний более эффективна в анализе структур формализованных языков, тогда как логика предикатов служит эффективным логическим средством для анализа рассуждений в естественном языке6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *