Циркуляция вектора магнитной индукции

/ fizika / Циркуляция вектора магнитной индукции для магнитного поля в вакууме

Циркуляция вектора магнитной индукции для магнитного поля в вакууме.

Введем, аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля, циркуляцию вектора магнитной индукции.Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл Циркуляция вектора магнитной индукции где dl — вектор элементарной длины контура, который направлен вдоль обхода контура, Bl =Bcosα — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбора направления обхода контура), α — угол между векторами В и dl. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В ): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: Циркуляция вектора магнитной индукции (1) где n — число проводников с токами, которые охватываются контуром L любой формы. Каждый ток в уравнении (1) учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; отрицательным считается ток противоположного направления.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Например, для системы токов, изображенных на рис. 1, Циркуляция вектора магнитной индукции Выражение (1) выполняется только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано дальше, для поля в веществе нужно учитывать молекулярные токи.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, который перпендикулярн плоскости чертежа и направлен к нам (рис. 2). Возьмем в качестве контура окружность радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она есть и линия магнитной индукции). Значит, циркуляция вектора В равна Циркуляция вектора магнитной индукции Используя формулу (1), получим В•2πr=μ0 I (в вакууме), откуда Циркуляция вектора магнитной индукции Значит, используя теорему о циркуляции вектора В мы получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное ранее на основании закона Био-Савара-Лапласа. Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В. можно увидеть, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле потенциально. Циркуляция вектораВ магнитного поля не равна нулю. Такое поле носит название вихревое. Теорема о циркуляции вектора В имеет в теории о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, поскольку дает возможность находить магнитную индукцию поля без использования закона Био-Савара-Лапласа.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме

Циркуляцией вектора Циркуляция вектора магнитной индукции (по аналогии с циркуляцией вектора напряженности электрического поля) по замкнутому контуру называют интеграл

Циркуляция вектора магнитной индукции — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; Циркуляция вектора магнитной индукции — составляющая вектора Циркуляция вектора магнитной индукции в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); Циркуляция вектора магнитной индукции — угол между векторами Циркуляция вектора магнитной индукции и Циркуляция вектора магнитной индукции .

Теорема о циркуляции вектора Циркуляция вектора магнитной индукциив вакууме гласит: циркуляция вектора Циркуляция вектора магнитной индукциипо произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной Циркуляция вектора магнитной индукциина алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

Циркуляция вектора магнитной индукции

n– число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рисунке

Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляция вектора магнитной индукции

Пример. применяя теорему о циркуляции, рассчитаем магнитное поле прямого токаJ. перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам.

Замкнутый контур выбираем в виде окружности радиуса r. Циркуляция вектора магнитной индукции

В каждой точке этого контура вектор Циркуляция вектора магнитной индукции одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции).

Следовательно, циркуляция вектора Циркуляция вектора магнитной индукции равна

Циркуляция вектора магнитной индукции

Согласно теореме о циркуляции

Циркуляция вектора магнитной индукции

Откуда магнитная индукция

Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции

Сравнивая выражения Циркуляция вектора магнитной индукции и Циркуляция вектора магнитной индукции

Видим, что между ними существует принципиальное отличие. Циркуляция вектора Циркуляция вектора магнитной индукции электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля нулю не равна. Такое поле называется вихревым .

Поток вектора магнитной индукции

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

По аналогии с потоком вектора Циркуляция вектора магнитной индукции вводят поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь площадку dS

Циркуляция вектора магнитной индукции

— скалярная величина, где Циркуляция вектора магнитной индукции — проекция вектора Циркуляция вектора магнитной индукции на направление нормали к площадке dS.

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору Циркуляция вектора магнитной индукции. Циркуляция вектора магнитной индукции тогда

Циркуляция вектора магнитной индукции

Единица магнитного потока — вебер (Вб); 1Вб = 1Тл*м 2 .

Магнитный поток характеризует магнитное поле, пронизывающее поверхность.

Теорема Гаусса для поля Циркуляция вектора магнитной индукции: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Циркуляция вектора магнитной индукции

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Циркуляция вектора магнитной индукции

Контур с током (неподвижный проводник и скользящая по нему перемычка длиной l ) помещен во внешнее однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура.

На перемычку (проводник с током) в магнитном поле действует сила Ампера, и перемычка будет перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение по закону Ампера, равна

Циркуляция вектора магнитной индукции

Работа, совершаемая магнитным полем, из положения 1 в положение 2, равна

Циркуляция вектора магнитной индукции

Где Циркуляция вектора магнитной индукции — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; Циркуляция вектора магнитной индукции — поток вектора магнитной индукции, пронизывающей эту площадь.

Циркуляция вектора магнитной индукции

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником .

Работа по перемещению в магнитном поле замкнутого контура с постоянным током из начального положения 1 в конечное положение 2

Циркуляция вектора магнитной индукции

где Циркуляция вектора магнитной индукции — изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

Аналогом вектора электрического смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля.

В случае вакуума Циркуляция вектора магнитной индукции. поэтому

Циркуляция вектора магнитной индукции

Единица напряженности магнитного поля – 1 А/м – напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна Циркуляция вектора магнитной индукции Тл.

Циркуляция вектора магнитной индукции ,

где Циркуляция вектора магнитной индукции — безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества.

Циркуляция вектора магнитной индукции ,

где Циркуляция вектора магнитной индукции — магнитная проницаемость вещества.

ВИХРЕВОЙ ХАРАКТЕР МАГНИТНОГО ПОЛЯ.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции поля постоянных токов в вакууме может быть доказана на основе закона Био-Савара, что, в общем случае, достаточно сложно.

Циркуляция вектора магнитной индукции — циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов охватываемых этим контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта (рис.75).

Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции

РИС.75 РИС.76 РИС.77

Если ток распределен по объему, в котором расположен контур, то полный ток охваченный контуром Циркуляция вектора магнитной индукции, где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур, плотность тока соответствует токе расположения площадки Циркуляция вектора магнитной индукции. В этом случае теорема о циркуляции:

Циркуляция вектора магнитной индукции

Покажем справедливость теоремы на примерах.

ПРИМЕР 1. Контур охватывает прямолинейный бесконечно длинный провод с током, причем контур расположен в плоскости перпендикулярной проводу (рис.76). Найдем циркуляцию вектора магнитного поля, используя формулу для расчета индукции поля, полученную методом суперпозиции Циркуляция вектора магнитной индукции. Скалярное произведение под интегралом можно представить (рис.77): Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции

Если замкнутый контур L` не охватывает ток (рис.78),

То Циркуляция вектора магнитной индукции и циркуляция также равна нулю.

ПРИМЕР 2. Контур лежит не в плоскости перпендикулярной проводу (рис.79). Разложим вектор Циркуляция вектора магнитной индукции на составляющие вектора, один из которых лежит в плоскости перпендикулярной проводу, а второй перпендикулярен этой плоскости: Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляция вектора магнитной индукции определяется только «проекцией» контура на плоскость перпендикулярную проводу.

ПРИМЕР 3. Если контур охватывает несколько токов, то вектор индукции результирующего поля: Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляция вектора магнитной индукции

ПРИМЕР 4. Если ток непрерывно распределен в объеме, в котором расположен контур, то полный ток, охватываемый контуром Циркуляция вектора магнитной индукции, где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур.

Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции

РИС.80 РИС.81 РИС.82 РИС.83

Теорема о циркуляции позволяет достаточно просто рассчитать индукцию магнитного по известному распределению токов, если можно выбрать контур, вдоль которого модуль вектора магнитной индукции и направление постоянно.

В простейшем варианте можно выбрать контур полностью совпадающий с линией магнитной индукции как в поле прямого тока (рис.80), тороида (рис.81).

Поле внутри соленоида (рис.82) тем более однородно, чем больше длина соленоида по сравнению с его диаметром. Для «бесконечного» соленоида снаружи вблизи его поверхности магнитного поля нет и можно выбрать контур, лишь часть которого совпадает с линией магнитной индукции (рис.83).

Ток охватываемый контуром Циркуляция вектора магнитной индукции, где N – число витков с током, охваченных контуром. Тогда: Циркуляция вектора магнитной индукции

Следовательно, индукцию магнитного поля внутри «бесконечного» соленоида можно рассчитать по формуле

Циркуляция вектора магнитной индукции, где n – число витков соленоида на единицу длины.

Факт, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, означает, что, в отличие от электростатического, магнитное поле – не потенциально.

Используем теорему Стокса Циркуляция вектора магнитной индукции и сравним это выражение с записью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции в случае непрерывного распределения тока в некотором объеме.

Циркуляция вектора магнитной индукции — дифференциальная (локальная) форма теоремы о циркуляции. Математическая констатация того факта, что линии вектора магнитной индукции замкнуты вокруг вектора плотности тока по правилу правого буравчика и поэтому магнитное поле называют вихревым или соленоидальным.

Используем, что Циркуляция вектора магнитной индукции или с помощью определителя:

Циркуляция вектора магнитной индукции, Циркуляция вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции Июнь 30th, 2012 | Циркуляция вектора магнитной индукции fizportal.ru

Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляция вектора магнитной индукции

47. Циркуляция вектора индукции. Теорема о циркуляции магнитного поля.

 Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми кривыми, поэтому картины силовых линий магнитного поля напоминают линии тока жидкости, движущейся с завихрениями. Посмотрите еще раз на приведенные ранее картины силовых линий магнитного поля − сплошные вихри. На рис. 450 показаны еще два примера силовых линий магнитного поля, созданного длинными параллельными проводниками (на рис. 450 а − их три, а на рис. 450 б − пять), по которым протекают равные токи.
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 450
 Для математического описания таких полей удобно использовать понятие циркуляции вектора.
 Точнее следует сказать, что знание циркуляции необходимо для описания любого векторного поля: напомним, любое векторное поле определяется однозначно, если известны теоремы о потоке и циркуляции векторов этого поля. Другое дело, что в электростатическом поле циркуляция вектора по любому контуру равна нулю, поэтому электростатическое поле является потенциальным и для него оказывается возможным ввести такую важную физическую характеристику как потенциал поля. Для магнитного поля циркуляция не имеет явного физического смысла, а является весьма полезной вспомогательной математической величиной.
 Определение циркуляции вектора магнитной индукции, аналогично определению циркуляции любого векторного поля.
 Рассмотрим произвольную замкнутую линию (не обязательно, чтобы это была силовая линия). Выделим на этой линии малый участок, определяемый вектором Δl (рис. 451).
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 451
 Пусть вектор индукции магнитного поля на этом участке равен B. вычислим скалярное произведение этих векторов
Циркуляция вектора магнитной индукции
где α − угол между вектором индукции и касательным вектором к выбранной линии (он совпадает с выделенным малым участком Δl ).
 Далее разобьем всю замкнутую линию (рис. 452)
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 452
на малые участки Δli . на каждом из которых вычислим скалярное произведение
Циркуляция вектора магнитной индукции
и просуммируем 1 их по всем участкам замкнутой линии (контура)
Циркуляция вектора магнитной индукции
 Построенная таким образом, математическая конструкция называется циркуляцией вектора магнитной индукции по заданному контуру L. Ее величина может быть как положительной, так и отрицательной, ее знак определяется произвольным выбором направления обхода контура, но, как обычно, положительным принимается направление обхода против часовой стрелки.
 Понятно, что циркуляция магнитного поля может отличаться от нуля. Например, если в качестве произвольного контура выбрать замкнутую силовую линию, то при ее обходе на всех участках вектор индукции будет совпадать по направлению с направлением касательной, как было сказано ранее, «все время будем плыть по течению».
 Теперь нам необходимо установить теорему, позволяющую установить циркуляцию вектора индукции. Отметим, что эта теорема является прямым следствием закона Био-Саварра-Лапласа, можно сказать, иной математической формулировкой этого физического закона. Не будем заниматься строгим доказательством теоремы, а проиллюстрируем ее простым примером.
 Пусть магнитное поле создается длинным прямым проводником, по которому протекает электрический ток силой I. Индукцию такого поля мы рассчитали: силовые линии являются концентрическим окружностями с центрами на проводнике (рис. 453).
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 453
 Легко подсчитать циркуляцию вектора индукции (1) по контуру, совпадающему с одной из силовых линий (например, радиуса r ). Действительно, на любом участке этого контура вектор индукции направлен по касательной (поэтому все αi ), а модуль вектора индукции постоянен и равен
Циркуляция вектора магнитной индукции
поэтому суммирование в формуле (1) сводится к вычислению длин малых отрезков окружности (после недолгих размышлений можно сообразить, что она равна длине окружности), поэтому для данного контура
Циркуляция вектора магнитной индукции
 Таким образом, циркуляция по выбранному контуру оказалась равной произведению силы тока на магнитную постоянную, причем не зависимо от радиуса выбранной окружности. Такой красивый результат не может быть случайным − доказано 2. что такое же значение циркуляции получится для любого контура, охватывающего проводник с током, причем не обязательно прямой. А что будет в том случае, если контур не охватывает проводник с током? В этом случае циркуляция будет равна нулю. Очень просто это доказать, для контура, показанного на рис. 454 (проделайте это самостоятельно).
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 454
 Так как для вектора магнитной индукции справедлив принцип суперпозиции, а циркуляция линейно выражается линейно через индукцию поля, по принцип суперпозиции также справедлив и для циркуляции магнитного поля.
 Обобщая все эти положения, дадим окончательную формулировку теоремы о циркуляции: циркуляция вектора магнитной индукции по любому контуру равна сумме токов, пересекающих контур, умноженной на магнитную постоянную
Циркуляция вектора магнитной индукции
 Сумма токов, пересекающих контур
Циркуляция вектора магнитной индукции
понимается в алгебраическом смысле, то есть токи могут быть положительными, так и отрицательными. Сила тока считается положительной, если его направление и направление обхода образуют правый винт (рис. 455).
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 455
 Так же как и поток, циркуляция является интегральной (не точечной) характеристикой магнитного поля − из того, что циркуляция по какому-то контуру равна нулю, не следует, что магнитное поле отсутствует − может контур не охватывает ни один ток, или их сумма равна нулю. Токи, не пересекающие контур, так же создают магнитное поле, но циркуляция этого поля по такому контуру равна нулю.
 Наконец, уточним, что значит «ток пересекает контур», особенно, если контур не является плоским. Контур это замкнутая линия, поэтому приведенное выражение следует понимать, как ток пересекает любую поверхность (рис. 456), опирающуюся на контур (или еще говорят «поверхность, натянутую на контур»).
Циркуляция вектора магнитной индукции
рис. 456
 Легко доказать, что эта сумма токов, не зависит от выбора поверхности, натянутой на данный контур: из закона сохранения электрического заряда следует, что в статическом случае (когда все токи и все заряды не изменяются с течением времени) сумма токов, пересекающих любую замкнутую поверхность, равна нулю («сколько втекает, столько же вытекает»).

1 Очевидно, но укажем, что суммирование проводится по точкам наблюдения.
2 Поверьте на слово, если не сможете доказать!
Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляция вектора магнитной индукции Войдите на сайт для отправки комментариев | Циркуляция вектора магнитной индукции Tags: магнитное поле. магнитный поток. подготовка абитуриента. подготовка лицеиста. теория

Циркуляция вектора магнитной индукции
Главная | О нас | Обратная связь

Циркуляция вектора магнитной индукции

Ранее мы вводили понятие циркуляции вектора напряженности электростатического поля (см. (4.5)) по замкнутому контуру L:

Из равенства нулю циркуляции вектора электростатического поля вдоль любого замкнутого контура следует, что электростатическое поле потенциальное.

Аналогичное понятие можно ввести для вектора магнитной индукции . Циркуляцией вектора в вакууме по заданному замкнутому контуру называется интеграл:

где — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль направления обхода контура, Bl = Bcosa — проекция вектора на направление контура (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ) – циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Из того, что циркуляция вектора отлична от нуля, следует, что магнитное поле является вихревым, т.е. силовые линии вектора имеют вид замкнутых кривых.

Выражение (36.1) справедливо только для поля в вакууме, так как для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как и теорема Остроградского-Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида, находящегося в вакууме. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток I (рисунок 45). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид можно считать бесконечно длинным. Экспериментальное изучение магнитного поля длинного соленоида показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неоднородным и очень слабым.

На рисунке 45 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур 12341, как показано на рисунке 45. Циркуляция вектора по замкнутому контуру 12341, охватывающему все N витков, согласно (36.1), равна

Интеграл (36.2) по прямоугольному контуру 12341 можно представить в виде четырех слагаемых по отрезкам 12, 23, 34 и 41. На участках 12 и 34 контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и Bl = 0. На участке 23 вне соленоида В = 0. На участке 41 циркуляция вектора равна Bl (контур совпадает с линией магнитной индукции). Следовательно,

Из (36.3) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида в вакууме:

Отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био-Савара-Лапласа; в результате получается та же формула (36.4).

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора ) является обобщением закона (36.1):

где I и I¢ — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L.

Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор . таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции не имеют источников и являются замкнутыми.

Можно доказать, что циркуляция намагниченности по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде

где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (36.7), согласно (34.7), есть не что иное, как введенный ранее вектор напряженности магнитного поля:

Итак, циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:

Выражение (36.8) представляет собой теорему о циркуляции вектора .

Как видно из (36.8) вектор представляет собой комбинацию двух различных величин /m0 и . Поэтому вектор — вспомогательный вектор, не имеющий физического смысла. Однако во многих случаях его использование значительно упрощает изучение поля в магнетиках.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *