Диаграмма эйлера венна для множеств

Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обозначают так: А = В .

Если множества не равны, то пишут А ¹ В .

Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В. или В Ì А .

Например, множество решений уравнения x 2 – 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 – простым числом не является.)

Пересечение (умножение) множеств.

Множество D. состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В. называется пересечением множеств А и В и обозначается D = АДиаграмма эйлера венна для множествВ.

Рассмотрим два множества: X = <0, 1, 3, 5> и Y = <1, 2, 3, 4>. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество <1, 3> содер­жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество <1, 3> является пересечением рас­смотренных множеств Х и Y :

<1, 3> = <0, 1, 3, 5>Диаграмма эйлера венна для множеств<1, 2, 3, 4>.

Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).

Диаграмма эйлера венна для множеств

Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]

Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно­жество учеников восьмых клас­сов, являющихся членами хими­ческого кружка.

Пересечение множеств (и другие операции – см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.

Диаграмма эйлера венна для множеств

Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В. являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника

Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово­рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество, и пишут АДиаграмма эйлера венна для множествВ = Æ.

Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.

Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и [2; +¥[ (рис. 4).

Диаграмма эйлера венна для множеств

Рис. 4. Пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и [2; +¥[ представляет собой пустое множество

Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: АДиаграмма эйлера венна для множеств Æ = Æ.

Можно рассматривать пересечение n множеств:

А = Диаграмма эйлера венна для множеств Аi = А1Диаграмма эйлера венна для множествА2Диаграмма эйлера венна для множествДиаграмма эйлера венна для множествАn ,

при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества А1. А2. … Аn .

Например, если А. В и С – соответственно множества учеников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пересечение этих множеств есть множество учеников этого класса, решивших все три задачи.

Объединение (сумма) множеств.

Объединением множеств А и В называется такое множество С. каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. С = АДиаграмма эйлера венна для множествВ .

Изображение объединения множеств (выделено серым) при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 5.

Диаграмма эйлера венна для множеств

Рис. 5. Объединение множеств А и В

Например, если А = <1, 2, 3, 4> и В = <1, 3, 5, 7, 9>, то С = АДиаграмма эйлера венна для множествВ =<1, 2, 3, 4, 5, 7, 9>.

Объединением множества учеников школы моложе 12 лет с множеством учеников той

же школы старше 10 лет является множество всех учеников данной школы.

Можно рассматривать объединение n множеств:

А = Диаграмма эйлера венна для множеств Аi = А1Диаграмма эйлера венна для множествА2Диаграмма эйлера венна для множествДиаграмма эйлера венна для множествАn ,

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств А1. А2. … Аn .

Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R +. множества отрицательных чисел R — и множества <0>, т.е.:

Объединение множеств вершин треугольников, вписанных в данную окружность, представляет собой множество точек этой окружности.

Пусть Е – некоторый универсум, а множество А принадлежит этому универсуму, т.е. А Ì Е .

Записать и изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна пересечение и объединение этих множеств.

Универсум Е изобразим в виде прямоугольника, а его подмножество А – в виде круга, расположенного внутри прямоугольника.

Для случая пересечения получаем (см. рис. 6 – пересечение выделено серым цветом):

Диаграмма эйлера венна для множеств

Рис. 6. Пересечение (выделено серым) универсума Е и его подмножества – множества А

Для случая объединения рассматриваемых множеств (см. рис. 7 – объединение выделено серым цветом) имеем: А Диаграмма эйлера венна для множеств Е = Е .

Рис. 10. Дополнение (выделено серым) к А до универсума Е имеет особое обозначение ØА. Е \ А = ØА

Задача 3. Рассмотрим множество всех студентов. Пусть А – множество студентов, учащихся на юридических факультетах. В – множество студентов, изучающих английский язык. Описать множества А Диаграмма эйлера венна для множеств В. А Диаграмма эйлера венна для множеств В. А \ В. ØА .

1) А Диаграмма эйлера венна для множеств В – это множество студентов, которые либо учатся на юридических факультетах, либо изучают английский язык, либо и то и другое вместе.

2) А Диаграмма эйлера венна для множеств В – это множество студентов-юристов, изучающих английский язык.

3) А \ В – множество студентов-юристов, которые не изучают английский язык.

4) ØА – множество всех студентов-неюристов.·

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Диаграмма эйлера венна для множеств
Главная | О нас | Обратная связь

Понятие множества, подмножества, пустого множества. Диаграммы Эйлера-Венна

Элементы теории множеств.

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» — так описал понятие «множество9quot; Георг Кантор, основатель теории множеств.

Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:

Множество может состоять из любых различимых объектов.

Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.

Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х — объект, Р — свойство, Р(х) — обозначение того, что х обладает свойством Р, то через <х|Р(х)> обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Термин «множество » употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:

а) множестве пчёл в улье,

б) множестве точек отрезка,

в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,

г) множестве студентов в аудитории и т.д.

В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Наиболее простая форма задания множества — перечисление его элементов, например А=<4, 7, 13> (множество А состоит из трёх элементов — целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания — указание свойств элементов множества, например A = — множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…. а их элементы — малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение — B ⊆ A или A ⊇ B).

Каждое множество является своим подмножеством (это самое «широкое9quot; подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое «узкое9quot; подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. Сами картинки называются диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). То есть диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств или геометрические изображения отношений между объёмами понятий посредством пересекающихся контуров(кругов или эллипсов), предложенная английским логиком Джоном Венном (1834 — 1923) в конце позапрошлого века. В своих работах по наглядному графическому изображению логических фигур он опирался на ряд графических систем, предложенных Эйлером (1707 — 1783), И.Ламбертом (1728 — 1777), Жергонном (1771 -1859), Б. Больцано (1781 -1848).

Приведём некоторые из диаграмм. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U. а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Распространено и другое обозначение симметрической разности: А ∆ В, вместо А + В.

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Свойства операции пересечения: 1) A∩A=A; 2) A∩Ø=9Oslash;; 3) A∩Ā= Ø; 4) A∩U=A; 5) A∩B=B∩A;

Свойства операции объединения: 1) AUA=A; 2) AUØ=A; 3) AUĀ= U; 4) AUU=U; 5) AUB=BUA;

Свойства операции разности: 1) A\A= Ø; 2) A\Ø= A; 3) A\Ā= A; 4) A\U= Ø;

5) U\A= Ā; 6) \A =Ø; 7) A\B≠B\A;

Справедливы равенства: (AUB)= A∩B; (A∩B)= AUB.

Диаграмма эйлера венна для множеств

В заключение приведем еще одну формулу для подсчета числа элементов в объединении трех множеств (для общего случая их взаимного расположения, показанного на рисунке):

Пример 1. Записать множество всех науральных делителей числа 15 и найи число его элементов.

Найти AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D.

Пример 3. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учеников умеют кататься и на коньках и на лыжах?

Множество всех учеников будем считать основным множеством U. тогда A и B – соответственно множества учащихся, умеющих кататься на лыжах и на коньках.

A∩B – множество учащихся, не умеющих кататься ни на лыжах, ни на коньках.

По условию m(A∩B)=60, также используем равенство (AUB)= A∩B, тогда m((AUB))=60.

Значит, m(AUB)=m(U )-m((AUB))=1400-60=1340.

По условию m(A)=1250, m(B)=952, получаем m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862

Пример 4. Группа из 25 студентов сдала экзаменационную сессию со следующими результатами: 2 человека получили только «отлично»; 3 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 4 человека только «хорошо»; 3 человека получили хорошие и удовлетворительные оценки. Число студентов, сдавших сессию только на «отлично», «хорошо», равно числу студентов, сдавших сессию только на «удовлетворительно». Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки, — нет. Удовлетворительные или хорошие оценки получили 22 студента. Сколько студентов не явились на экзамены? Сколько студентов сдали сессию только на «удовлетворительно»?

Диаграмма эйлера венна для множеств

А – множество студентов, получивших «отлично»;

В – множество студентов, получивших «хорошо»;

С – множество студентов, получивших «удовлетворительно».

Из условия известно, что

— число студентов, получивших только «5»,

— число студентов, получивших только «4»,

— число студентов, получивших только «5» и «3»,

— число студентов, получивших только «4» и «3»,

— число студентов, получивших «5», «4» и «3».

Также по условию известно, что множества и равны. Обозначим эту величину за x. Тогда из условия . получим

Число же студентов, не явившихся на экзамен, найдем следующим образом:

Ответ: 6 студентов получили только «удовлетворительно», 1 студент не явился на экзамены.

Диаграмма эйлера венна для множеств

Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком ∅. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Перейдём к определению действий (операций) над множествами.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, состоящее из элементов, входящих и в A, и в B:

Объединением множеств A и B называется множество A U B, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B. Можно записать так:

имея в виду «неразделительное или», т. е. в A U B входят и элементы A ∩ B.

Разностью A \ B называется множество тех элементов A, которые не входят в B:

Дополнением к множеству A называется множество A, состоящее из элементов, не входящих в A:

Конечно, в A нельзя включать любые предметы, не являющиеся элементами A. Работая, например, с числовыми множествами, глупо было бы включать в дополнение деревья в лесу или книги на полке. Поэтому всегда считают, что все множества, участвующие в решении данной задачи, являются подмножествами некоторого общего, универсального множества U. Тогда дополнение A можно определить так: A’ = U \ A.

Операции над множествами можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

1.2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Свежие записи

1.2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *