Формула муавра для комплексных чисел

Формула Муавра

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ <\displaystyle e^=\cos \varphi +i\sin \varphi \ > и тождества для экспонент ( e a ) b = e a b <\displaystyle (e^)^=e^> . где b — целое число. [1] Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

z 1 / n = [ r ( cos ⁡ ( φ + 2 π k ) + i sin ⁡ ( φ + 2 π k ) ) ] 1 / n = r 1 / n ( cos ⁡ φ + 2 π k n + i sin ⁡ φ + 2 π k n ). <\displaystyle z^<1>=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^<1>=r^<1>\left(\cos <\frac <\varphi +2\pi k>>+i\sin <\frac <\varphi +2\pi k>>\right),>

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника. вписанного в окружность радиуса r n <\displaystyle <\sqrt[]>> с центром в нуле.

При r=1 из формулы Муавра следуют выражения для вычисления значений тригонометрических функций с кратным аргументом. [стиль ]

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром .

Комплексные числа

Комплексное число в тригонометрической форме: z=|z|[cos(&#&66;+2πk)+ i sin(&#&66;+2πk)]

Комплексное число в показательной форме: z=|z|e i&#&66;
Угол &#&66; называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).

Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Комплексное число должно быть представлено в алгебраическое форме z = x + i*y.

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π:

Действия с комплексными числами

Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)

Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1 (cos &#&66;1 + i sin &#&66;1 ), z2 = r2 (cos &#&66;2 + i sin &#&66;2 )
Тогда
z1 · z2 = r1 r2 [cos(&#&66;1 + &#&66;2 )+ i sin(&#&66;1 + &#&66;2 )]
Формула муавра для комплексных чисел

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:

Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2 — i).

Возведение в степень. Формула Муавра

Формула муавра для комплексных чисел
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти Формула муавра для комплексных чисел
Решение.
Формула муавра для комплексных чисел
Формула муавра для комплексных чисел
= 2 18 (cos 6&#&60; + i sin 6&#&60;) = 2 18 = 262144

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i) 988. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень: (1+i) 2 = 2i, а затем 2i 988/2 = 2i 494 = 2 494 i 494 = 2 494 (-1) 247 = -2 494

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме. Примечание.

  • abs — модуль комплексного числа |z|. Пример: abs(-5.5-6.6i)
  • arg — аргумент комплексного числа φ. Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

где &#&66; = arctg((-4)/(-1));
Алгоритм

  1. находим угол &#&66;.
  2. находим модуль |z| = sqrt(x 2 + y 2 ).

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = -1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:

Поскольку x < 0, y < 0, то arg(z) находим как:
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е.
или x 2 +y 2 =4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений

Выразим и подставим в первое выражение

Поскольку , то получаем
или или

Алгебраическая форма числа

Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функции комплексной переменной.

1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения .

Определение1. Комплексным числом называется выражение z = x +iy. где . а i называется мнимой единицей и определяется следующим образом: . Число x называется

Два комплексных числа и называются равными. если их

действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу: .

Таким образом, одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным .

Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа

Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению ,

что приводит к следующему результату:

Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что . Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.

Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY. которую называют в этом случае комплексной плоскостью. Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой

Определение 2. Число называется комплексно сопряженным к z.

Определение 3. Величина называется модулем комплексного числа .

Т.е. mod z равен расстоянию от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что

Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’. Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.

Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах. Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:

Отсюда получаем: −

Рис. 1 &#&66; – аргумент комплексного числа. &#&66; = arg z.

Рассматривается два стандарта изменения &#&66;: .

Иногда приходится пользоваться понятием Arg z

Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.

Формулы для стандарта -&#&60; < &#&66; ≤ &#&60; имеют вид:

(Для стандарта: 0 ≤ &#&66; < 2&#&60; формулы будут немного отличаться)

Аргумент числа z = 0 не определен .

Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргументсумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра :

1.3 Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел.

По определению: На множестве действительных чисел для однозначности вводится понятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплексной области такого ограничения быть не может (см. замечание в п. 1.1). Вообще говоря, все значения корня считаются равноправными. Из формулы Муавра следует, что одним из корней из числа будет число Нетрудно видеть, что любое из чисел также являются корнями из этого числа . При этом все они будут различны для значений k = 0,1,…, n −1. Для последующих значений k числа начнут повторяться. Окончательная формула имеет вид:

Все полученные значения располагаются в вершинах правильного n−угольника .

Замечание. Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величину Arg z .

2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел в комплексной области. Корни из положительного числа а 2 будут, очевидно, равны: . что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный . Отсюда аргументы значений корня будут равны

Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в случае отрицательного дискриминанта:

1.4 Множества комплексной плоскости .

В п.1.1 было показано, что равен расстоянию от начала координат до т. z. Таким образом,

геометрический смысл модуля в комплексной области совпадает с геометрическим смыслом модуля в действительной области. Легко видеть, что и модуль разности 2-х комплексных чисел обладает тем же свойством: . Где d (z,z0 ) – расстояние от т. z до т. z0 на комплексной плоскости. Отсюда следует, что уравнениеописывает окружность с центром в т.z0радиуса R. неравенства кольцо ширины 3 с центром в т.i , без внешней границы. Уравнение arg z = &#&60;/ 3 описывает луч из начала координат под углом в 60 0 к оси ОХ. Неравенства &#&60;/ 6 arg z ≤ &#&60;/ 4 –множество точек между лучами под углом в 30 0 и 45 0 к оси ОХ (угол в 15 0 с границами). Вспомнив геометрический смысл кривых 2 го порядка, можно сказать, что неравенство описывает множество точек между ветвями гиперболы с фокусами в тт. z1 и z2. а внутренние точки эллипса и сам эллипс.

В комплексной области вводится комплексное число z = ∞. Комплексная плоскость вместе с единственной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. По умолчанию, говоря о комплексной плоскости, будем считать ее расширенной.

Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функций действительной переменной. Областью называется открытое связное множество точек комплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству). Напомним, что т. z называется внутренней точкой области . если существует окрестность этой точки, целиком принадлежащая области и граничной точкой . если любая ее окрестность содержит как точки области, так и точки области не принадлежащие. Множество граничных точек называется границей области. Замкнутой областью называется ограниченная область вместе с границей .

Область G называется односвязной . если любой замкнутый без самопересечений контур ограничивает некоторую область . и многосвязной в противном случае.

Определение. &#&49;окрестностью т. называется открытый круг радиуса &#&49; с центром в т. z0. &#&49;– окрестностью бесконечно удаленной т. z = ∞. называется

множество точек расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: .

1.5 Функции комплексной переменной.

Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область G и правило, по которому любому ставится в соответствие определенное число В этом случае говорят, что на области G задана однозначная функция . отображающая область G на W. Если одному значению z соответствует несколько чисел w. то такая функция называется многозначной .

Примеры. − функция комплексной переменной, принимающая только действительные значения.

2) последовательность комплексных чисел.

3) каждому значению аргумента z соответствует одно комплексное значение функции. Такие функции называются однозначными или однолистными .

4) каждому значению аргумента z соответствует три комплексных значения функции (п.1.3). Такие функции называются многозначными или многолистными . Например, при имеем:

Понятия предела функции комплексного переменного (в частности, предела последовательности) и непрерывности вводятся аналогично тому, как это сделано для функций действительного переменного. Отличие заключается только в том, что вместо абсолютной величины действительного числа везде следует понимать модуль комплексного. Таким образом,

число C = a + bi является пределом функции при . или если .

Замечания. 1) Понятие предела ФКП (как и ФНП) является более сложным, нежели для функции одной действительной переменной. Это обусловлено существенно более многообразным стремлением аргумента ФКП (ФНП) к своей предельной точке.

2) Существование предела комплексной функции эквивалентно существованию пределов у двух действительных функций

Легко показать, что выполнены все арифметические свойства пределов.

Функция называется непрерывной в т. z0. если Это равенство эквивалентно непрерывности функций u (x. y ) и v (x. y ) в т. (x0 , y0 ). Из предыдущего сразу следует, что выполняются все арифметические свойства непрерывных функций.

/ Головизин_Лекции / Лекция 8. Формула Муавра. Корни из к.ч

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 8. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

Краткое содержание: формула Муавра, деление к.ч. в тригонометрической форме записи, корни из к.ч. и их расположение на комплексной плоскости, группа корней из 1, многочлен деления круга и его разложение на неприводимые множители с действительными коэффициентами.

Глава 8. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа nи любого действительного числа Формула муавра для комплексных чиселимеет место следующее равенство:

Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть Формула муавра для комплексных чисел– натуральное число. Так как комплексное число Формула муавра для комплексных чиселимеет модуль Формула муавра для комплексных чисел, то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь Формула муавра для комплексных чисел. Тогда

Формула муавра для комплексных чисел

3) Пусть Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисел– натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в поле комплексных чисел, имеем:

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел.

Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Формула муавра для комплексных чисел.

Доказательство предоставляется читателю.

п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисел– два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел

Пример 1. Запишите комплексные числа Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чиселв тригонометрической форме и найдите их произведение Формула муавра для комплексных чисели частное Формула муавра для комплексных чисел.

Решение. 1) Комплексное число Формула муавра для комплексных чиселна комплексной плоскости находится во второй четверти, поэтому

Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел.

2) Комплексное число Формула муавра для комплексных чиселна комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел.

Формула муавра для комплексных чисел.

Пример 2. Вычислить Формула муавра для комплексных чисел.

Решение. Комплексное число Формула муавра для комплексных чиселна комплексной плоскости находится в третьей четверти, поэтому Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел

Применим формулу Муавра:

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел Формула муавра для комплексных чисел.

п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел. Корнемn-й степени из комплексного числаzназывается комплексное число Формула муавра для комплексных чисел, такое, что Формула муавра для комплексных чисел.

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисел, существует ровноnкорнейn-й степени из комплексного числаzи все они могут быть найдены по формуле

где Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел– арифметический кореньn-й степени из положительного числа Формула муавра для комплексных чисел.

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числаz.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что все элементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексного числаz. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой кореньn-й степени из комплексного числаzявляется элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел

2) Допустим, что Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел. Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрической форме записи следует, что равны их аргументы.

Но, аргумент числа Формула муавра для комплексных чиселможет отличаться от числа Формула муавра для комплексных чиселна число кратное числу Формула муавра для комплексных чисел(т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа Формула муавра для комплексных чисел. Отсюда следует, что Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисел. Умножим это равенство наn: Формула муавра для комплексных чисел. Отсюда следует, что Формула муавра для комплексных чисели т.к. по нашему предположению Формула муавра для комплексных чисел, то Формула муавра для комплексных чисел, чего не может быть, т.к. Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел. Получили противоречие. Следовательно, среди корней в множестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число Формула муавра для комплексных чиселявляется корнемn-й степени из комплексного числаz, т.е. Формула муавра для комплексных чисел. Так как Формула муавра для комплексных чисел. Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисел. Из первого равенства получаем, что Формула муавра для комплексных чисел, а из второго следует Формула муавра для комплексных чисел.

Далее, разделим целое число tнаnс возможным остатком: Формула муавра для комплексных чисел, где Формула муавра для комплексных чисел, а остатокrтакже является целым числом, но Формула муавра для комплексных чисел. Отсюда

Формула муавра для комплексных чисел. Таким образом, корень Формула муавра для комплексных чиселявляется корнем из множества корней (4), ч.т.д.

Решение. Запишем число Формула муавра для комплексных чиселв тригонометрической форме записи: Формула муавра для комплексных чисел. Тогда

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел.

Формула муавра для комплексных чисел,

Формула муавра для комплексных чисел,

Формула муавра для комплексных чисел.

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

Так как модуль у всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от начала координат на одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими на окружности радиуса Формула муавра для комплексных чиселс центром в начале координат. Из формулы (5) мы видим, что угол между такими двумя соседними точками одинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются на окружности равномерно. Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильныйn-угольник.

Формула муавра для комплексных чисел

При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется корень проставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

Пример. Изобразить все корни Формула муавра для комплексных чиселна комплексной плоскости.

Решение. Сами корни мы уже вычислили (см. предыдущий пример). Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса Формула муавра для комплексных чиселс центром в начале координат и отмечаем на ней точки полярный угол которых равен:

Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел.

Соединим построенные точки отрезками прямых и получаем правильный треугольник.

Формула муавра для комплексных чисел Формула муавра для комплексных чисел

п.5*. Корни из единицы.

Пусть Формула муавра для комплексных чисел– натуральное число. По формуле корней из комплексного числа, существует ровноnкорней из комплексного числа Формула муавра для комплексных чисел. Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрической форме:

Обозначим все множество корней через Формула муавра для комплексных чисел. По формуле корней получаем:

Заметим, что Формула муавра для комплексных чиселверна формула:

Действительно, равенство (9) сразу же получается по формуле Муавра:

Формула муавра для комплексных чисел.

Теперь мы все множество корней Формула муавра для комплексных чиселиз 1 можем записать так:

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество Формула муавра для комплексных чиселзамкнуто относительно умножения. Пусть Формула муавра для комплексных чисел– два произвольных корня из 1, т.е. Формула муавра для комплексных чисел. Найдем их произведение:

Формула муавра для комплексных чисел.

Отсюда следует, что Формула муавра для комплексных чисел, если Формула муавра для комплексных чисел. В противном случае, Формула муавра для комплексных чисел. Обозначим через Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел. Тогда

Таким образом, на множестве Формула муавра для комплексных чиселопределена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна в поле комплексных чисел, то она ассоциативна и коммутативна и на множестве Формула муавра для комплексных чисел. Далее, Формула муавра для комплексных чисел. Покажем, что любой элемент из Формула муавра для комплексных чиселимеет обратный элемент также принадлежащий множеству Формула муавра для комплексных чисел:

Формула муавра для комплексных чисел.

Действительно, по условию Формула муавра для комплексных чисел. Тогда

Пример. Построить таблицу умножения для группы Формула муавра для комплексных чисел.

Решение. Обозначим для простоты

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

Формула муавра для комплексных чисел

Изобразим все корни третьей степени из 1 на комплексной плоскости. Т.к. их модуль равен 1, то все они лежат на тригонометрической (т.е. единичной) окружности:

Формула муавра для комплексных чисел

п.6*. Многочлен деления круга.

Формула муавра для комплексных чисел

называется многочленом деления круга.

Теорема. Все корни многочлена

Формула муавра для комплексных чисел

являются корнями Формула муавра для комплексных чисел-й степени из 1.

Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда

Формула муавра для комплексных чисел.

Так как корни из 1 делят единичную окружность на nравных дуг, то из теоремы следует, что все корни многочлена Формула муавра для комплексных чиселвместе с 1 делят окружность на равные дуги, откуда и произошло название этого многочлена.

Поставим задачу разложить многочлен деления круга на неприводимые (неразложимые) множители с действительными коэффициентами.

Известно (см. Дополнение 6), что любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

Формула муавра для комплексных чисел

где Формула муавра для комплексных чисел– все различные действительные корни многочлена Формула муавра для комплексных чисел,m– их число, Формула муавра для комплексных чисел– их кратности,t– число квадратных трехчленов с действительными коэффициентами Формула муавра для комплексных чисели отрицательными дискриминантами, Формула муавра для комплексных чисел– кратности соответствующих комплексных корней, Формула муавра для комплексных чисел– старший коэффициент многочлена Формула муавра для комплексных чисел,n– его степень.

Замечание. Линейных множителей может и не быть. Тогда Формула муавра для комплексных чисели многочлен не имеет действительных корней. Аналогично, многочлен может не иметь комплексных корней, тогда Формула муавра для комплексных чисел. Далее, очевидно, что степень многочлена Формула муавра для комплексных чисел

Из последнего равенства вытекает следующее следствие.

Следствие. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Легко получить разложение (12), если известны все корни многочлена f(x). Тогда многочлен раскладывается над полем комплексных чисел на линейные множители. Так как коэффициенты многочленаf(x) предполагаются действительными, то если многочлен имеет комплексный корень Формула муавра для комплексных чисел, то комплексно сопряженное ему число Формула муавра для комплексных чиселтакже является корнем этого многочлена. Действительно, если Формула муавра для комплексных чисел, то Формула муавра для комплексных чисел.

Разложение многочлена f(x) на линейные множители будет иметь вид:

Формула муавра для комплексных чисел

где Формула муавра для комплексных чисел– все различные действительные корни многочлена Формула муавра для комплексных чисел,m– их число, Формула муавра для комплексных чисел– их кратности, Формула муавра для комплексных чисел– все различные комплексно сопряженные корни многочлена Формула муавра для комплексных чисел,t– число пар всех различных комплексно сопряженных корней, Формула муавра для комплексных чисел– их кратности, Формула муавра для комплексных чисел– старший коэффициент многочлена Формула муавра для комплексных чисел,n– его степень.

Теперь, перемножим пару линейных множителей содержащие комплексно сопряженные корни. Пусть

Формула муавра для комплексных чисел.

Тогда Формула муавра для комплексных чисел, откуда и получаем:

Формула муавра для комплексных чисел.

Проделав то же самое со всеми парами комплексно сопряженных корней, из разложения (14) получим разложение (12).

Осталось заметить, что все корни многочлена деления круга различны и их легко вычислить и, следовательно, получить разложение на линейные множители.

Пример. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами (т.е. на полем R) многочлен Формула муавра для комплексных чисел.

Решение. Решим уравнение Формула муавра для комплексных чисел. Так как

Формула муавра для комплексных чисел, то найдя все корни уравнения Формула муавра для комплексных чисел, мы найдем тем самым все корни многочлена Формула муавра для комплексных чисел.

Формула муавра для комплексных чисел.

Формула муавра для комплексных чисел

Вычисляя остальные корни по формуле

Формула муавра для комплексных чисел,

Формула муавра для комплексных чисел, получаем (см. рис.4):

Формула муавра для комплексных чисел; Формула муавра для комплексных чисел;

Формула муавра для комплексных чисел; Формула муавра для комплексных чисел.

Формула муавра для комплексных чисел Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел

Формула муавра для комплексных чисел.

п.7*. Исторический экскурс к вопросу о построении правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.

(Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики.)

Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.

Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и правильные 6-ти, 10-ти и 15-ти угольники и все правильные n-угольники, где Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисели Формула муавра для комплексных чисел, Формула муавра для комплексных чисел. Очень важно, что с помощью линейки проводятся только отрезки прямых, а длины отрезков измеряются с помощью циркуля, а не делений на линейке. Так, используя эти инструменты можно построить отрезок, длина которого выражается числом, полученным из 1 с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и извлечением квадратного корня. Т.е. вначале есть только отрезок, длина которого принимается за 1. Тогда можно построить отрезок, длина которого равна рациональному числу или квадратному корню из рационального числа. Далее, если отрезок длины а уже построен с помощью циркуля и линейки, то можно построить с помощью этих инструментов отрезок длиныb, если числоbвыражается через а с помощью арифметических действий и квадратного корня. Говорят, что такое число выражается в квадратных радикалах.

Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого выражается в квадратных радикалах. Все это знали еще математики древней Греции. Задачу построения других правильных многоугольников (или доказательство невозможности таких построений) не могли решить в течение двух последующих тысячелетий, а решена она была немецким студентом филологического факультета Гёттингенского университета Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году. В то время Гауссу было 18 лет и он разрывался между занятиями филологией и математикой и не мог сделать окончательного выбора. Решение древней задачи помогло ему сделать окончательный выбор в пользу (и на пользу) математики. Страшно даже подумать на сколько бы затормозилось развитие математики останься Гаусс филологом! До сих пор математики всего мира называют Гаусса королем математики.

С метками формула Муавра

Любое комплексное число можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами и , где ось абсцисс называется вещественной. а ось ординат — мнимой .

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. , ,

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
. .

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи

Найти геометрическое место точек (ГМТ):

Алгебра на Dropbox

  • Формула муавра для комплексных чисел Воеводин В.В. Линейная…
  • Формула муавра для комплексных чисел Кострикин А.И. Введение…
  • Формула муавра для комплексных чисел Курош А.Г. Курс…
  • Формула муавра для комплексных чисел Проскуряков И.В. Сборник…
  • Формула муавра для комплексных чисел Фаддеев Д.К. Лекции…
  • Формула муавра для комплексных чисел Фаддеев Д.К. Соминский И.С.
  • Формула муавра для комплексных чисел Федорчук В.В. Курс…
  • Формула муавра для комплексных чисел Цубербиллер О.Н. Задачи…

Лучшее на Dropbox

  • Формула муавра для комплексных чисел Конкретная математика
  • Формула муавра для комплексных чисел Математика и правдоподобные…

Математический анализ на Dropbox

  • Формула муавра для комплексных чисел В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс… 1
  • В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс… 2
  • Формула муавра для комплексных чисел Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.1
  • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.2
  • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.3
  • Формула муавра для комплексных чисел Демидович Б.П. Сборник задач…
  • Формула муавра для комплексных чисел Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 1
  • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 2
  • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 3
  • Формула муавра для комплексных чисел ТерКрикоров и Шабунин. Курс…

Разное на Dropbox

Software developer AI Scientist Ass.prof Odessa National I.I.Mechnikov University

Личные Ссылки

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *