Формула дифференцирования

Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)

Дифференцирование – это вычисление производной.

1. Формулы дифференцирования.
Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

1) Начнем с формулы (kx + m )′ = k .
Ее частными случаями являются формулы x ′ = 1 и C ′ = 0.
Поясним.
В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k .
Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

Производная функции у = 9х + 5 в любой точке равна 9. И т.д.
А давайте найдем производную функции у = 5х. Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

Наконец, выясним, чему равна x ′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:

Таким образом, мы самостоятельно вывели еще одну формулу из таблицы:

Идем дальше. Пусть k = 0. Мы знаем, что производная равна коэффициенту. То есть:
(0 • x + m )′ = 0. Но тогда получается, что m ′ тоже равна 0 (иначе равенство будет неверным).

Пусть m = C. где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы: C′ = 0.

2) Рассмотрим две формулы: (x 2 )′ = 2x и (x n )′ = nx n -1. Они вроде разные. На самом деле первая формула – это частный случай второй, а на практике они весьма просты.

Например, n = 2, 3, 4, 5, 6. Получится следующее:

Что мы видим? Степень переходит в сомножитель перед x. а новая степень на единицу меньше предыдущей. К примеру, возьмем (x 6 )′. Число 6 из степени переходит в сомножитель, а новая степень равна 5 (на 1 меньше прежней степени).

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Дифференцирование по формулам, правила дифференцирования

Производная сложной функции

Если функция дифференцируема в точке . а функция дифференцируема в соответствующей точке . то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле:

Примеры с решениями

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Обозначим . тогда . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,где

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Здесь . где

Пример 4. Найти производную функции где

Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида .

Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:

Получили сложную функцию . где

Примеры для самостоятельного решения

Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)

Дифференцирование – это вычисление производной.

1. Формулы дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

1) Начнем с формулы (kx + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x ′ = 1 и C′ = 0.

В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.

Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

А давайте найдем производную функции у = 5х. Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

Наконец, выясним, чему равна x ′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:

Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:

Идем дальше. Пусть k = 0. Мы знаем, что производная равна коэффициенту. То есть:

Но тогда получается, что m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы:

Формула дифференцирования Формула дифференцирования

Производная, правила и формулы дифференцирования

Определение производной

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). Зафиксируем точку x внутри (a,b) и придадим x приращение ∆x, MP секущая, приращение функции ∆y = f(x+∆x)-f(x). Рассмотрим отношение

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования это тангенс угла наклона секущей MP, он зависит от ∆x.

Определение. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента. когда приращение аргумента стремится к нулю:

Формула дифференцирования

Существует несколько способов обозначения производной, самые важные это Формула дифференцирования.

Пример нахождения , используя определение:

Формула дифференцирования Формула дифференцирования

Формула дифференцирования Формула дифференцирования

Геометрический смысл производной

Формула дифференцирования

По определению Формула дифференцированияустремим точку M к точке P. это эквивалентно стремлению Формула дифференцирования.

Предельное положение секущей MP это касательная к кривой в точке M. ее угловой коэффициент равен Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Следовательно, производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке.

Уравнение касательной в точке Формула дифференцирования имеет вид Формула дифференцирования, т.к.

Формула дифференцирования, то уравнение касательной примет вид Формула дифференцирования. Найдем уравнение нормали, перпендикулярной данной касательной и проходящей через точку Формула дифференцирования. Из условия перпендикулярности прямых Формула дифференцирования угловой коэффициент нормали равен Формула дифференцирования, а уравнение нормали в точке Формула дифференцирования примет вид

Формула дифференцирования

Механический смысл производной

Пусть прямолинейное движение материальной точки задано законом S = S(t). Путь, который проследует точка за время ∆ равен ∆S = S(t+∆t)-S( t). Средняя скорость есть Формула дифференцирования, мгновенная скорость Формула дифференцирования

Пусть дан закон движения материальной точки Формула дифференцирования, найти скорость точки через t = 3 сек.

Формула дифференцирования

Дифференциал функции

Пусть задана y = f(x) на интервале (a,b). Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ∆y можно представить с помощью следующего выражения:

∆y = A∆x + &#&45;(∆)∆x

где А= const при фиксированном х и Формула дифференцирования при Формула дифференцирования

Теорема. Для дифференцируемости функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную.

Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение вида dy=A Формула дифференцирования— это главная линейная часть приращения ∆y. на основании предыдущей теоремы Формула дифференцирования, обозначив дифференциал независимой переменной через dx=∆x, получим выражение для дифференциала:

Формула дифференцирования

Геометрический смысл дифференциала виден из следующего рисунка

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования, т.е. дифференциал функции равен отрезку PQ это приращение ординаты касательной, а приращение ∆y это отрезок Формула дифференцирования

Формулы дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Таблица производных

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Производная сложной функции

Если y = f(x) и u = u(x), то есть y=f[u(x)] сложная функция, где f(u) и u(x) имеют производные, то

Формула дифференцирования

это правило дифференцирования сложной функции.

Формула дифференцирования

Производная обратной функции

Пусть задана y = f(x), тогда определена обратная функция x = &#&81;(y). Для y = 5x обратная функция Формула дифференцирования, для Формула дифференцирования обратная функция Формула дифференцирования. Пусть y = f(x) возрастает или убывает на (a,b) и непрерывна, тогда существует обратная функция x = &#&81;(y) и ее производная

Формула дифференцирования.

Примеры. Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx. Обратная функция x = siny и Формула дифференцирования, по формуле для обратной функции Формула дифференцирования.

Найдем Формула дифференцирования для y = arctgx Обратная функция x = tgy Формула дифференцирования.

Логарифмическое дифференцирование

Пусть имеется функция Формула дифференцирования найдем ее производную. Сначала прологарифмируем данное выражение, получим lny = v(x)lnu(x). Теперь продифференцируем Формула дифференцирования; Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Пример. Найти Формула дифференцирования функции Формула дифференцирования

Логарифмируем данную функцию lny = xlnx, теперь дифференцируем

Формула дифференцирования; Формула дифференцирования

Применение дифференциалов в приближенных вычислениях

Используем приближенное равенство Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Виджет для нахождения on-line

В окошко введите свою функцию вместо x^2+x+1, и нажмите кнопку Submit, получите искомую . А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) — кубический корень, exp(x) — экспонента, ln(x) — натуральный логарифм, sin(x) — синус, cos(x) — косинус, tan(x) — тангенс, cot(x) — котангенс, arcsin(x) — арксинус, arccos(x) — арккосинус, arctan(x) — арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

Copyright © 2004-2015

12 Таблица основных формул дифференцирования

Формула дифференцирования

Производные высших порядков

Если функция Формула дифференцированияимеет производную в каждой точке Формула дифференцированиясвоей области определения, то ее производная Формула дифференцированияесть функция от Формула дифференцирования. Функция Формула дифференцирования, в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции Формула дифференцирования(или второй производной ) и обозначают символом Формула дифференцирования. Таким образом

Формула дифференцирования

адание. Найти вторую производную функции Формула дифференцирования

Решение. Для начала найдем первую производную:

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

Формула дифференцирования

15.Признак возрастания ,убывания функции .

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х1 и x2 из интервала. Пусть x1 2. По формуле Лагранжасуществует число с∈(х1. x2 ), такое, что

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х1 и x2 принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x1 )2 ) — это следует из формулы (1), так как x2 — x1 >0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈i то f'(с)<0, и потому f(x1 )>f (х2 ) — следует из формулы (1), так как x2 —x1 >0. Доказано убывание функции f на I. Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания). Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t1 2. то f (t1 )2 ). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I. Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. Замечание 2. Для решения неравенств f’ (х)>0 и f’ (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу). точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.

16.Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке Формула дифференцированияимеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки Формула дифференцированияи для всех точек x некоторой области: Формула дифференцирования, выполнено соответственно неравенство

Формула дифференцирования(в случае максимума) или Формула дифференцирования(в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: Формула дифференцирования, если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие.

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки Формула дифференцированиятакой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки Формула дифференцированияи слева от этой же точки, тогда точку Формула дифференцированияможно охарактеризовать следующим образом Формула дифференцирования

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной Формула дифференцированияпричем в некоторой точке Формула дифференцированияпервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка Формула дифференцированияэкстремум функции g(x), причем если Формула дифференцирования, то точка является максимумом; если Формула дифференцирования, то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки Формула дифференцированияN производных, причем значение первых (N — 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N — четно, то точка Формула дифференцированияэкстремум функции: Формула дифференцированияу функции точка максимума, Формула дифференцированияу функции точка минимума.

б) Если N — нечетно, то в точке Формула дифференцированияу функции g(x) экстремума нет.

Наибольшее(наименьшее) значение на сегменте [a;b] непрерывной функции g(x) достигается или в критической точке этой функции(т.е. где производная равна нулю или не существует), или в граничных точках а и b данного сегмента.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *