Уравнение окружности со смещенным центром

Окружность

Окружностью называется линия, каждая точка на которой находится на одинаковом расстоянии от заданной точки . называемой центром окружности. Величина называется радиусом окружности .

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

где — координаты её центра, — радиус окружности.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. т.е. . . то уравнение окружности примет вид:

§ Признак уравнения окружности. коэффициент при равен коэффициенту при .

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрий.

Точки на окружности равноудалены от центра.

Пример. Найдите координаты центра и радиус окружности .

Разделив уравнение на 2, и сгруппировав члены уравнения, получим .

Дополним выражения и до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4. а ко второму (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

По формуле имеем . . т.е. — координаты центра окружности; — радиус окружности.

Эллипсом называется линия, для каждой точки на которой сумма расстояний до двух заданных точек и (фокусов эллипса) есть величина постоянная: .

§ Уравнение эллипса с центром в начале координат:

Числа называются большой и малой полуосью эллипса .

Между и существует связь: .

Точки и являются фокусами эллипса, причем .

Свойство эллипса: эллипс имеет две оси симметрии .

Признак уравнения эллипса. коэффициент при и коэффициент при имеют одинаковый знак и по абсолютной величине не равны между собой.

§ Уравнение эллипса со смещенным центром в точке :

Пример. Дано уравнение эллипса . Найдите длины его полуосей, координаты фокусов.

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде, разделив обе его части на 1176:

Используя соотношение (4), находим и . Следовательно, и .

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Окружность. Уравнение окружности

Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки Уравнение окружности со смещенным центром данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащих на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности .

В частности, полагая Уравнение окружности со смещенным центром и Уравнение окружности со смещенным центром. получим уравнение окружности с центром в начале координат Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид Уравнение окружности со смещенным центром При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при Уравнение окружности со смещенным центром и Уравнение окружности со смещенным центром равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение Уравнение окружности со смещенным центром текущих координат

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения Уравнение окружности со смещенным центром и Уравнение окружности со смещенным центром получим

Преобразуем это уравнение:

Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности со смещенным центром

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии, Уравнение окружности со смещенным центром Ее центр находится в точке Уравнение окружности со смещенным центром. а радиус Уравнение окружности со смещенным центром. Если же Уравнение окружности со смещенным центром. то уравнение (11.3) имеет вид Уравнение окружности со смещенным центром. Ему удовлетворяют координаты единственной точки Уравнение окружности со смещенным центром. В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).

Если Уравнение окружности со смещенным центром. то уравнение (11.4) а, следовательно, и равносильное уравнение (11.3) не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть – не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).

34.Эллипс ( вершины, оси, полуоси, фокусы…).Уравнение эллипса.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами . есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через Уравнение окружности со смещенным центром и Уравнение окружности со смещенным центром. расстояние между ними через Уравнение окружности со смещенным центром. а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через Уравнение окружности со смещенным центром (см. рис. 49). По определению Уравнение окружности со смещенным центром. т.е. Уравнение окружности со смещенным центром .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы Уравнение окружности со смещенным центром и Уравнение окружности со смещенным центром лежали на оси Ох. а начало координат совпадало с серединой отрезка Уравнение окружности со смещенным центром. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты Уравнение окружности со смещенным центром и Уравнение окружности со смещенным центром .

Пусть Уравнение окружности со смещенным центром – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса Уравнение окружности со смещенным центром. т.е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Уравнение окружности со смещенным центром ,

Уравнение окружности со смещенным центром ,

Уравнение окружности со смещенным центром ,

Уравнение окружности со смещенным центром ,

Уравнение окружности со смещенным центром .

Уравнение окружности со смещенным центром.

Так как Уравнение окружности со смещенным центром. то Уравнение окружности со смещенным центром. Положим

Уравнение окружности. Рiвняння кола

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) . а координаты любой точки окружности (х; у) . то уравнение окружности имеет вид: Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в произвольной точке \(A\left( \right)\) записывается как
\(<\left( \right)^2> + <\left( \right)^2> = \).

Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности в параметрической форме
\( \left\< \begin x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end \right. \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(x\), \(y\) − координаты точек окружности, \(R\) − радиус окружности, \(t\) − параметр.

Общее уравнение окружности
\(A + A + Dx + Ey + F = 0\)
при условии \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Центр окружности расположен в точке с координатами \(\left( \right)\), где
\(a = — \large\frac<<2A>>\normalsize,\;\;b = — \large\frac<<2A>>\normalsize.\)
Радиус окружности равен
\(R = \sqrt <\large\frac<< + — 4AF>><<2\left| A \right|>>\normalsize> \)

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек ( фокусов эллипса ) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через \(a\), малая полуось − через \(b\). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением.
\(\large\frac<<>><<>>\normalsize + \large\frac<<>><<>>\normalsize = 1.\)

Уравнение окружности со смещенным центром

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
\( + = 2a\),
где \(\), \(\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( \right)\) до фокусов \(\) и \(\), \(a\) − большая полуось эллипса.

Уравнение окружности со смещенным центром

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
\( = + \),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(b\) − малая полуось, \(c\) − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса
\(e = \large\frac\normalsize 0\).

Периметр эллипса
\(L = 4aE\left( e \right)\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(e\) − эксцентриситет, \(E\) − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса
\(L \approx \pi \left[ <\large\frac<3><2>\normalsize\left( \right) — \sqrt > \right],\;\;L \approx \pi \sqrt <2\left( < + > \right)>,\)
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса.

Площадь эллипса
\(S = \pi ab\)

Уравнение окружности

Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Уравнение окружности со смещенным центром

Составим уравнение окружности с центром в точке Ао (а; b) и радиусом R (рис. 175). Возьмем произвольную точку А (х; у) на окружности. Расстояние от нее до центра А0 равно R. Квадрат расстояния от точки А до А0 равен (x — a) 2 +(y — b) 2. Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(x — a) 2 +(y — b) 2 = R 2 (*)

Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению (*), принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки Ао равно R. Отсюда следует, что уравнение (*) действительно является уравнением окружности с центром А0 и радиусом R.

Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Задача (30). Какая геометрическая фигура задана уравнением

Уравнение окружности со смещенным центром
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Уравнение окружности со смещенным центром

Мы видим, что рассматриваемая фигура есть окружность

Уравнение окружности со смещенным центром

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Математика за 8 класс бесплатно скачать. планы конспектов уроков, готовимся к школе онлайн

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *