Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности, или неразрывно с т и, движения, т. е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом Уравнение неразрывности потока. ребра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. 5).

Уравнение неразрывности потока

Рис. 5 К Выводу уравнения неразрывности потока

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью Уравнение неразрывности потока. равна Уравнение неразрывности потока. Тогда, согласно уравнению (4-1), через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси Уравнение неразрывности потока за единицу времени масса жидкости Уравнение неразрывности потока pwxdydz, а за промежуток времени Уравнение неразрывности потока – масса жидкости Уравнение неразрывности потока

где Уравнение неразрывности потока – плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны

Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время Уравнение неразрывности потока выйдет масса жидкости

Уравнение неразрывности потока

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси Уравнение неразрывности потока :

Уравнение неразрывности потока

Если составляющие скорости вдоль осей Уравнение неразрывности потока и Уравнение неразрывности потока равны Уравнение неразрывности потока и Уравнение неразрывности потока соответственно, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят:

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время dr равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

Уравнение неразрывности потока

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому

Уравнение неразрывности потока

Приравнивая оба выражения:

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока

Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности патока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости .

Уравнение (4-14) может быть записано и в несколько иной форме. Проводя дифференцирование произведений Уравнение неразрывности потока. получим

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. Уравнение неразрывности потока. и уравнение (4-14) принимает вид

Уравнение неразрывности потока

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, Уравнение неразрывности потока и, следовательно

Уравнение неразрывности потока

Уравнение (4-15) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (4-15) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через Уравнение неразрывности потока. Поэтому данное уравнение можно представить как

Уравнение неразрывности потока

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения (рис. 6), проинтегрируем дифференциальное уравнение (4-15).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х ) интегрирование уравнения (4-15) дало бы зависимость

Уравнение неразрывности потока

где Уравнение неразрывности потока – средняя скорость жидкости.

Уравнение неразрывности потока

Рис. 6 К выводу уравнения постоянства расхода

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, те, интегрируя также по площади, получим

Уравнение неразрывности потока

Для трех различных сечений (/–/, 2–2 и 3–3) трубопровода, имеем

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока

где Уравнение неразрывности потока — массовый расход жидкости, кг/сек.

Выражения (4-17) или (4-17а) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода .

Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости .

Для капельных жидкостей Уравнение неразрывности потока. и уравнение (4-17) принимает вид:

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока

где Уравнение неразрывности потока объемный расход жидкости, м 3 /сек.

Из уравнения (4-17а) следует, что скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Согласно уравнению (4-17), массовый расход жидкости через начальное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубопровода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к разрыву потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов, уравнение неразрывности потока не выполняется.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dydz, равна &#&69;х. Тогда через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса жидкости &#&61;ωх dydz, а за промежуток времени d&#&64; – масса жидкости.

На противоположной грани параллелепипеда скорость и плотности жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны и . Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время d&#&64; выйдет масса жидкости

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси х:

Если составляющие скорости вдоль осей y и z равны &#&69;y и &#&69;z соответственно, то приращения массы вдоль этих осей по аналогии составят:

Общее накопление массы жидкости за время d&#&64; равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме:

Приравнивая оба выражения dM, сокращая на (–dxdydz) и перенося в левую часть уравнения, окончательно получим:

Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т.е. и уравнение (1) примет вид

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, &#&61; = const и, следовательно:

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (3) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через div&#&69;. Поэтому данное уравнение можно представить как div&#&69; = 0.

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения, проинтегрируем дифференциальное уравнение (2).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегрирование уравнения (2) дало бы зависимость &#&61;ω = const.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то интегрируя также по площади, получим

&#&61;ωS = const (4)

Для трёх различных сечений трубопровода

Уравнение неразрывности потока

Выражение (4) и (5) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося течения или уравнение постоянного расхода

При установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одно и то же количество жидкости.

Для капельных жидкостей &#&61;1 = &#&61;2 = &#&61;3 = &#&61; = const, тогда уравнение (4) примет вид

Скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности потока отражает закон сохранения массы: количество втекающей жидкости равно количеству вытекающей. Например, на рис. 8 расходы во входном и выходном сечениях трубы равны: q1 =q2 .

Уравнение неразрывности потока

С учётом, что q=v &#&69;, получим уравнение неразрывности по­то­ка:

А если выразим скорость для выходного сечения

то можно заметить, что она увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади живого сечения потока. Такая обратная зависимость между скоростью и площадью является важным следствием уравнения неразрывности и применяется в технике, например, при тушении пожара для получения сильной и дальнобойной струи воды.

Гидродинамический напор H (м) — это энергетическая характе­ри­стика движущейся жидкости. Понятие гидродинамического напора в гидравлике имеет фундаментальное значение.

Гидродинамический напор H (рис. 9) определяется по формуле :

Уравнение неразрывности потока ,

где z — геометрический напор (высота), м ;

hp — пьезометрический напор (высота), м ;

v — скорость потока, м/c ;

g — ускорение свободного падения, м2/с .

Уравнение неразрывности потока

Гидродинамический напор, в отличие от гидростатического, скла­дывается не из двух, а из трёх составляющих, из которых дополни­тель­ная третья величина hv отражает кинетическую энергию, то есть нали­чие дви­жения жидкости. Первые два члена z+hp ,также как и у гидро­ста­тического, представляют потенциальную энергию. Таким обра­зом, гидродинамический напор отражает полную энергию в конкретной то­чке потока жидкости. Отсчитывается напор от нулевой горизонтальной пло­скости О-О .

В лаборатории величина скоростного напора hv может быть измерена с помощью пьезометра и трубки Пито по разности уровней жидкости в них (см. рис. 9). Трубка Пито отличается от пьезометра тем, что её нижняя часть, погружённая в жидкость, обращена против движения потока. Тем самым она от­кликается не только на давление столба жидкости (как пьезометр), но и на скоростное воздействие набегающего потока.

Практически же величина hv определяется расчётом по значению ско­рости потока v .

2.4.1. Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.

Если рассматривать установившееся течение жидкости, то в результате интегрирования уравнения Эйлера можно получить уравнение Бернулли для несжимаемой идеальной жидкости при течении без обмена механической энергией с внешней средой.

Уравнение неразрывности потока

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли представляет собой сумму удельной потенциальной энергии положения Уравнение неразрывности потока. удельной потенциальной энергии давления Уравнение неразрывности потока и удельной кинетической энергии жидкости Уравнение неразрывности потока .

С напорной точки зрения:

Сумма всех напоров Н представляет собой полный гидродинамический напор.

Напор измеряется в единицах длины.

Так как слогаемые уравнения Бернулли представляют собой удельную энергию, отнесённую к единичной силе, то:

Уравнение неразрывности потока

Закон неразрывности потока жидкости

Закон неразрывности потока жидкости (рис. 8.3) -основной закон гидродинамики и формулируется следующим образом: при установившемся движении жидкости произведение средней скорости движения на площадь живого сечения является величиной постоянной, т.е. vS = const.

И действительно, если выбрать два произвольных живых сечения S1 и S2 (см. рис. 8.3), то вследствие того, что жидкость несжимаема, форма потока во времени не изменяется и в потоке не образуются пустоты, будем иметь следующие отношения:

что и подтверждает основной закон гидродинамики.

Уравнение неразрывности потока

Рис. 8.3. Схема потока жидкости

Из выражения (8.1) следует, что средние скорости v1 и v2 обратно пропорциональны соответствующим площадям живых сечений S1 и S2 потока жидкости:

Итак, уравнение неразрывности выражает постоянство объемного расхода Q. а следовательно, и условие неразрывности струи жидкости, по длине установившегося потока жидкости.

Уравнение неразрывности потока. Вывод уравнения. Применение уравнения к решению практических задач.

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов.

Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через Уравнение неразрывности потока. Скорость жидкости, вытекающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна

Уравнение неразрывности потока

Рис. 2.35. Движение жидкости через контур

Уравнение неразрывности потока .

Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не зависит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой Уравнение неразрывности потока. а вытекает через правую грань

Уравнение неразрывности потока .

Значит, за 1 с из параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем втекает, на

Уравнение неразрывности потока

Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю:

Уравнение неразрывности потока.

Это уравнение называют уравнением неразрывности . т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой.

Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь Уравнение неразрывности потока и в этом сечении скорость жидкости Уравнение неразрывности потока. а ее плотность Уравнение неразрывности потока. Площадь сечения на выходе из трубки тока Уравнение неразрывности потока. скорость течения жидкости Уравнение неразрывности потока. и ее плотность Уравнение неразрывности потока. Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу времени масса жидкости Уравнение неразрывности потока. Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости Уравнение неразрывности потока. В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левым и правым сечениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет:




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *