Уравнение касательной и нормали

III Уравнение касательной и нормали к кривой

Из курса геометрии известно, что в прямоугольной декартовой системе координат уравнение прямой с угловым коэффициентом . проходящем через точку имеет вид

Поэтому, подставив в уравнение (1) . получим уравнение касательной к кривой в точке :

Как известно, условием перпендикулярности прямых, задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами и . является условие . Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

Замечание. Уравнение (3) задает нормаль к графику функции в точке . если существует отличная от нуля производная .

Если . то касательная к кривой в такой точке будет параллельна оси . а ее уравнение будет иметь вид: . Из определения же нормали следует, что нормаль к кривой в такой точке будет перпендикулярна оси . а ее уравнение имеет вид .

Если же . то касательная к кривой в такой точке параллельна оси и ее уравнение имеет вид . а нормаль параллельна оси и ее уравнение имеет вид

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

1) Найдем значение функции в точке с . .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

Найдем значение производной в точке :

Так как . то по замечанию уравнение касательной примет вид . то есть . а уравнение нормали . то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

Теперь найдем значение производной:

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

1) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

2) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

3) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси . проведенных к кривой в точках с абсциссами .

4) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

5) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

6) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135 о с осью .

7) Найти скорость тела, движущегося по закону .

8) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты . и .

9) Найти скорость движения тела в момент времени . если закон движения задан формулой: .

10) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону . равна нулю?

11) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе . проведенная в точке . Составить уравнение этой касательной.

12) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами . и .

13) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Уравнение касательной и нормали
Главная | О нас | Обратная связь

Уравнения касательной и нормали к графику функции

Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

1. Производная функции, её геометрический и физический смысл

2. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3. Таблица производных.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Связь непрерывности и дифференцируемости.

6. Дифференциал функции.

7. Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала.

8. Основные теоремы дифференциального исчисления

9. Формула Тейлора.

10. Исследование функции с помощью первой производной.

11. Исследование функции с помощью второй производной.

12. Пример полного исследования функции.

Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Рассмотрим функцию . дадим аргументу приращение получим новое значение функции В результате функция получит приращение ( х).

Определение. Производной функции в произвольной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при

Производная функции в точке обозначается Итак, по определению

Пример 1. Найти производную функции

Решение. По определению

Если аргумент интерпретировать как время t движения материальной точки, а путь, пройденный этой точкой изменяется по закону . то отношение означает среднюю скорость точки на временном промежутке Тогда означает мгновенную скорость точки в любой момент времени – в этом состоит физический смысл производной.

Поскольку все процессы в природе находятся в движении, в развитии, а характеристикой всякого движения является скорость, то ясно, какое значение в изучении реальных процессов принадлежит производной функции.

Мы часто пользуемся графиками функций, поэтому рассмотрим геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Рассмотрим функцию и напишем уравнение касательной к графику этой функции в некоторой точке где ( см.рис.2)

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и опорной точкой: у — =k(x — Исходя из геометрического смысла производной Обозначим это число следовательно, уравнение касательной имеет вид: .

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. Условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что произведение их угловых коэффициентов равно – 1. Получаем окончательный вывод:

— уравнение нормали к графику функции в точке . где .

Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной и нормали — осталось найти ( (0). Так как (x)= =cosx, то (0)=cos0=1. Получаем: . т.е. биссектриса I-III координатных углов, является касательной графика синуса в начале координат; — уравнение нормали.

Первым непременным условием освоения техники дифференцирования является знание таблицы производных, т.е. производных всех основных элементарных функций. Приводим доказательства.

а) – показательная функция.

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Касательная — это прямая . которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

Вспомним уравнение прямой с угловым коэффициентом :

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0. y 0 ). где y 0 = f (x 0 ). В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Уравнение касательной и нормали

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень ( ) сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

9. Уравнения касательной и нормали.

Уравнение касательной к данной кривой в точке Уравнение касательной и нормалиимеет вид:

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке Уравнение касательной и нормалиимеет вид:

Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называетсядлиной касательной, проекция этого отрезка на ось абсцисс называетсяподкасательной.

Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называетсядлиной нормали,проекция этого отрезка на ось абсцисс называетсяподнормалью.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой Уравнение касательной и нормалив точке, абсцисса которой равна Уравнение касательной и нормали.

Найдем значение функции в точке Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной и нормали

Найдем производную заданной функции в точке Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Ответ: Уравнение касательной : Уравнение касательной и нормали

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

Уравнение касательной и нормали

в точке Уравнение касательной и нормали, для которой Уравнение касательной и нормали.

Найдем Уравнение касательной и нормаликак производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Найдем координаты точки касания Уравнение касательной и нормали: и значение производной в точке касания Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Уравнение касательной и нормали

Найдем координаты Уравнение касательной и нормалиточки Уравнение касательной и нормалипересечения касательной с осью Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной и нормали

Длина касательной равна длине отрезка Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной и нормали

Согласно определению, подкасательная Уравнение касательной и нормалиравна

Уравнение касательной и нормали

Где угол Уравнение касательной и нормали– угол между касательной и осью Уравнение касательной и нормали. Поэтому, Уравнение касательной и нормали— угловой коэффициент касательной, равный Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Таким образом, подкасательная Уравнение касательной и нормалиравна

Уравнение касательной и нормали

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Уравнение касательной и нормали

Найдем координаты Уравнение касательной и нормалиточки Уравнение касательной и нормалипересечения нормали с осью Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной и нормали

Длина нормали равна длине отрезка Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной и нормали

Согласно определению, поднормаль Уравнение касательной и нормалиравна

Уравнение касательной и нормали

Где угол Уравнение касательной и нормали– угол между нормалью и осью Уравнение касательной и нормали. Поэтому, Уравнение касательной и нормали— угловой коэффициент нормали, равный Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Поэтому, поднормаль Уравнение касательной и нормалиравна:

Уравнение касательной и нормали

Ответ: Уравнение касательной. Уравнение касательной и нормали

Длина касательной Уравнение касательной и нормали; подкасательная Уравнение касательной и нормали;

Длина нормали Уравнение касательной и нормали; поднормаль Уравнение касательной и нормали

Задания 7.Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

Уравнение касательной и нормали.

2. К окружности Уравнение касательной и нормалив точках пересечения её с осью абсцисс Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали.

3. К циклоиде Уравнение касательной и нормалив точке, для которой Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали.

4. В каких точках кривой Уравнение касательной и нормаликасательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на Уравнение касательной и нормалифункция Уравнение касательной и нормалине возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих Уравнение касательной и нормалиее производная была неположительна .

Для того, чтобы дифференцируемая на Уравнение касательной и нормалифункция Уравнение касательной и нормалине убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих Уравнение касательной и нормалиее производная была неотрицательна.

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции Уравнение касательной и нормали

Найти промежутки монотонности функции Уравнение касательной и нормали.

Найдем производную функции Уравнение касательной и нормали .

Уравнение касательной и нормали

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

Уравнение касательной и нормали.

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Уравнение касательной и нормали

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на Уравнение касательной и нормалии убывает на Уравнение касательной и нормали.

Ответ: Заданная функция Уравнение касательной и нормаливозрастает на Уравнение касательной и нормалии убывает на Уравнение касательной и нормали.

Определение Функция Уравнение касательной и нормалиимеет в точке Уравнение касательной и нормалилокальный максимум (минимум). если существует такая окрестность точки Уравнение касательной и нормали Уравнение касательной и нормали, что для всех Уравнение касательной и нормаливыполняется условие Уравнение касательной и нормали

( Уравнение касательной и нормали).

Локальный минимум или максимум функции Уравнение касательной и нормалиназываетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума .

Пусть функция Уравнение касательной и нормалиопределена в некоторой окрестности точки Уравнение касательной и нормали. Если функция Уравнение касательной и нормалиимеет в точке Уравнение касательной и нормалиэкстремумом, то производная Уравнение касательной и нормалив точке Уравнение касательной и нормалилибо равна нулю, либо не существует.

Точка Уравнение касательной и нормалиназываетсякритической точкой функции Уравнение касательной и нормали, если производная Уравнение касательной и нормалив точке Уравнение касательной и нормалилибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке Уравнение касательной и нормали .

Пусть точка Уравнение касательной и нормалиявляется критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция Уравнение касательной и нормалинепрерывна в некоторой окрестности Уравнение касательной и нормалиточки Уравнение касательной и нормалии дифференцируема в каждой точке Уравнение касательной и нормали.

Точка Уравнение касательной и нормалиявляется локальным максимумом, если при переходе через Уравнение касательной и нормали

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка Уравнение касательной и нормалиявляется локальным минимумом, если при переходе через Уравнение касательной и нормали

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Найти экстремумы функции Уравнение касательной и нормали.

Найдем производную заданной функции

Уравнение касательной и нормали

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Из рисунка видно, что при переходе через точку Уравнение касательной и нормалипроизводная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке Уравнение касательной и нормали— локальный максимум.

При переходе через точку Уравнение касательной и нормалипроизводная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке Уравнение касательной и нормали— локальный минимум.

При переходе через точку Уравнение касательной и нормалипроизводная не меняет знак. Следовательно, критическая точка Уравнение касательной и нормалине является экстремумом заданной функции.

Ответ: Уравнение касательной и нормали — локальный максимум, Уравнение касательной и нормали— локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые Уравнение касательной и нормалипроизводные функции Уравнение касательной и нормалив точке Уравнение касательной и нормалиравны нулю, а Уравнение касательной и нормали-ная производная функции Уравнение касательной и нормалив точке Уравнение касательной и нормалиотлична от нуля, то точка Уравнение касательной и нормалиявляется экстремумом функции Уравнение касательной и нормали, причем,

то Уравнение касательной и нормали-локальный минимум

то Уравнение касательной и нормали-локальный максимум.

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной Уравнение касательной и нормали.

Найдем первую производную заданной функции

Уравнение касательной и нормали

Найдем критические точки функции:

Уравнение касательной и нормали

Точку Уравнение касательной и нормалимы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности Уравнение касательной и нормали.

Найдем вторую производную

Уравнение касательной и нормали

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при Уравнение касательной и нормали Уравнение касательной и нормали— локальный максимум.

Ответ: Уравнение касательной и нормали— локальный максимум.

Исследовать на возростание и убывание функции:

Уравнение касательной в декартовых координатах

Предположим, что функция \(y = f\left( x \right)\) определена на интервале \(\left( \right)\) и непрерывна в точке \( \in \left( \right).\) В этой точке (точка \(M\) на рисунке \(1\)) функция имеет значение \( = f\left( <> \right).\)

Пусть независимая переменная в точке \(\) получает приращение \(\Delta x.\) Соответствующее приращение функции \(\Delta y\) выражается формулой \[\Delta y = f\left( < + \Delta x> \right) — f\left( <> \right).\] На рисунке \(1\) точка \(\) имеет координаты \(\left( < + \Delta x, + \Delta y> \right).\) Построим секущую \(M.\) Ее уравнение имеет вид \[y — = k\left( > \right),\] где \(k\) − угловой коэффициент, зависящий от приращения \(\Delta x\) и равный \[k = k\left( <\Delta x> \right) = \frac<<\Delta y>><<\Delta x>>.\] При уменьшении \(\Delta x\) точка \(\) стремится к точке \(M:\) \( \to M.\) В пределе \(\Delta x \to 0\) расстояние между точками \(M\) и \(\) стремится к нулю. Это следует из непрерывности функции \(f\left( x \right)\) в точке \(:\) \[ <\lim\limits_<\Delta x \to 0> \Delta y = 0,>\;\; <\Rightarrow \lim\limits_<\Delta x \to 0> \left| > \right| > = <\lim\limits_<\Delta x \to 0> \sqrt <<<\left( <\Delta x> \right)>^2> + <<\left( <\Delta y> \right)>^2>> = 0.> \] Предельное положение секущей \(M\) как раз и представляет собой касательную прямую к графику функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \(M.\)

Возможны два вида касательных − наклонные и вертикальные.

Определение \(1\).
Если существует конечный предел \(\lim\limits_<\Delta x \to 0> k\left( <\Delta x> \right) = ,\) то прямая, имеющая уравнение \[y — = k\left( > \right),\] называется наклонной касательной к графику функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \(\left( <,> \right).\)

Определение 2.
Если предельное значение \(k\) при \(\Delta x \to 0\) является бесконечным: \(\lim\limits_<\Delta x \to 0> k\left( <\Delta x> \right) = \pm \infty,\) то прямая, имеющая уравнение \[x = ,\] называется вертикальной касательной к графику функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \(\left( <,> \right).\)

Важно отметить, что \[ < = \lim\limits_<\Delta x \to 0> k\left( <\Delta x> \right) > = <\lim\limits_<\Delta x \to 0> \frac<<\Delta y>><<\Delta x>> > = > \right),> \] то есть угловой коэффициент касательной равен значению производной функции \(f\left( <> \right)\) в точке касания \(.\) Поэтому уравнение наклонной касательной можно записать в таком виде: \[ = f’\left( <> \right)\left( > \right)\;\;\text<или>>\;\; > \right)\left( > \right) + f\left( <> \right).> \] Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона \(\alpha,\) который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то справедливо следующее тройное равенство: \[k = \tan \alpha = f’\left( <> \right).\]

Уравнение касательной и нормали

Уравнение касательной и нормали

Уравнение нормали в декартовых координатах

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания \(\left( <,> \right),\) называется нормалью к графику функции \(y = f\left( x \right)\) в этой точке (рисунок \(2\)).

Из геометрии известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно \(-1.\) Поэтому, зная уравнение касательной в точке \(\left( <,> \right):\) \[y — = f’\left( <> \right)\left( > \right),\] можно сразу записать уравнение нормали в виде \[y — = — \frac<1><> \right)>>\left( > \right).\]

Уравнения касательной и нормали в параметрической форме

Уравнения касательной и нормали в полярных координатах

Предположим, что кривая задана полярным уравнением \(r = f\left( \theta \right),\) выражающим зависимость длины радиуса-вектора \(r\) от полярного угла \(\theta.\) В декартовых координатах такая кривая будет описываться системой уравнений \[\left\< \begin x = r\cos \theta = f\left( \theta \right)\cos \theta \\ y = r\sin \theta = f\left( \theta \right)\sin\theta \end \right..\] Таким образом, мы записали уравнение кривой в параметрической форме, где роль параметра играет угол \(\theta.\) Далее легко получить выражение для углового коэффициента касательной, проведенной к кривой в точке \(\left( <,> \right):\) \[ >><<>> > = <\frac<<<<\left( \right)>^\prime >>><<<<\left( \right)>^\prime >>> > = <\frac<<\sin \theta + r\cos \theta >><<\cos\theta — r\sin \theta >>.> \] В результате уравнения касательной и нормали будут записываться в следующем виде: \[ = \frac<<>><<>>\left( > \right)>\;\;\; <(\text<касательная>),> \] \[ = -\frac<<>><<>>\left( > \right)>\;\;\; <(\text<нормаль>).> \] Исследование кривой можно провести непосредственно в полярных координатах без перехода к декартовой системе. В таком случае наклон касательной удобно определять не углом \(\theta\) с полярной осью (т.е. с положительным направлением оси абсцисс), а углом \(\beta\) с прямой, содержащей радиус-вектор \(r\) (рисунок \(3\)).

Уравнение касательной и нормали

Парабола задана уравнением \(y = + 2x + 3.\) Составить уравнения касательных к параболе, проходящих через точку \(A\left( < - 1,1> \right).\)

Преобразуем уравнение параболы к виду \[ + 2x + 3 > = < + 2x + 1 + 2 > = <<\left( \right)^2> + 2.> \] Видно, что график данной параболы получается из графика функции \(y = \) в результате параллельного переноса на \(1\) единицу влево и на \(2\) единицы вверх (рисунок \(7\)).

Найдем уравнения двух касательных к параболе, проходящих через точку \(A\left( < - 1,1> \right).\) Каждая из этих касательных определяется уравнением \[ = k\left( > \right),>\;\; <\Rightarrow y - 1 = k\left( \right)> \right),>\;\; <\Rightarrow y - 1 = kx + k,>\;\; <\Rightarrow y = kx + k + 1,> \] где \(k\) − угловой коэффициент (\(\) − для первой касательной и \(\) − для второй).

Таким образом, задача сводится к определению угловых коэффициентов касательных \(\) и \(.\) Учтем, что в точках касания \(B\) и \(C\) выполняется условие \[ <\left\< \begin y = kx + k + 1\\ y = + 2x + 3 \end \right.,>\;\; <\Rightarrow kx + k + 1 = + 2x + 3.> \] Кроме того, в точках касания \(B\) и \(C\) угловой коэффициент равен значению производной функции \(y = + 2x + 3.\) Поскольку \[ + 2x + 3> \right)^\prime > > = <2x + 2,> \] то, следовательно, получаем еще одно уравнение в виде \[k = 2x + 2.\] В результате мы имеем систему двух уравнений \[\left\< \begin kx + k + 1 = + 2x + 3\\ k = 2x + 2 \end \right.\] с двумя неизвестными \(k\) и \(x.\) Решая эту систему, находим значения \(k\) и \(x\) (т.е. угловые коэффициенты касательных \(,\) \(\) и абсциссы точек касания \(B\) и \(C\)): \[ <\left\< \begin kx + k + 1 = + 2x + 3\\ k = 2x + 2 \end \right.,>\;\; <\Rightarrow \left( <2x + 2> \right)x + 2x + 2 + 1 = + 2x + 3,>\;\; <\Rightarrow 2 + 2x + 2x + 3 = + 2x + 3,>\;\; <\Rightarrow + 2x = 0,>\;\; <\Rightarrow = — 2,\; = 0.> \] Первое решение \( = — 2\) соответствует точке \(B.\) Второе решение \( = 0\) является координатой точки касания \(C.\) Угловые коэффициенты имеют следующие значения:

Тогда уравнения касательных к данной параболе записываются в виде

  1. касательная \(AB:\;\) \(y = -2x — 1;\)

    касательная \(AC:\;\) \(y = 2x + 3.\)

    К графику функции \(y =\cos x\) проведена касательная в точке \(M\left( <,> \right),\) где \(0 0,\] то производная имеет лишь одну критическую точку, которая определяется условием \[ z = 0,>\;\; <\Rightarrow \cos z\left( \right) = 0,>\;\; <\Rightarrow z - \cot z = 0.> \] Такое уравнение решается численно. Однако можно заметить, что если \(z = \large\frac<\pi ><4>\normalsize,\) то левая часть уравнения отрицательна: \[ <4>:>\;\; <4> — \cot \frac<\pi ><4> > = <\frac<\pi ><4> — 1 \approx — 0,21 0.> \] Следовательно, точка экстремума функции \(S\left( z \right)\) находится в интервале углов \(\left( <\large\frac<\pi ><4>\normalsize,\large\frac<\pi ><3>\normalsize> \right)\) (рисунок \(12\)), причем это точка является точкой минимума (судя по характеру изменения знака производной).

    Приближенную координату точки минимума можно вычислить, например, в Excel. Она составляет примерно \(0.86\;\text<рад>\) или \(49,3^<\circ>.\)

    Уравнение касательной и нормали

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *