Уравнение директрисы параболы

Парабола, каноническое уравнение. Эксцентриситет и директриса параболы

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине. Каноническое уравнение параболы имеет вид: y = 2px.

Уравнение директрисы: x = −p/2,
где p − параметр параболы.

Уравнение директрисы параболы

Эксцентриситет: Координаты фокуса: F(p/2, 0) Координаты вершины M(0, 0)

Уравнение директрисы параболы

Общее уравнение параболы Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, где B 2 − 4AC = 0.

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси Oy: Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 (A ≠ 0, E ≠ 0),
или в эквивалентной форме: y = ax 2 + bx + c, p = 1/(2a)

Уравнение директрисы: y = y0 − p/2, где p − параметр параболы.

Координаты фокуса: F(x0. y0 + p/2)

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси Oy
y = ax 2. p = 1/(2a)

Уравнение директрисы y = −p/2, где p − параметр параболы.

Координаты фокуса: F(0, p/2) Координаты вершины: M(0, 0)

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

§ 10. Эксцентриситет и директриса параболы.

В § 5 настоящей главы мы определили параболу как геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки — фокуса и данной прямой — директрисы. Таким образом, обозначая через расстояние любой точки М параболы до фокуса, а через d ее расстояние до директрисы, мы имеем , или (рис. 52). Поэтому эксцентриситет параболы принимают равным единице. Уравнение директрисы параболы будет:

если оси координат выбраны так, как это было сделано в § 5.

Объединяя результаты трех параграфов, мы получаем следующее общее определение конического сечения (эллипса, гиперболы и параболы): коническое сечение есть геометрическое место точек,

отношение расстояний которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная . При этом (рис. 59)

© Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

где число p. называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

Уравнение директрисы параболы

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax ² — это квадратный трёхчлен ax ² + bx + c. в котором b = 0 и c = 0. График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p :

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p :

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Поделиться с друзьями

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная

Возьмем систему координат, так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F1 F2 пополам (рис. 30). Обозначим F1 F2 = 2c. Тогда F1 (с; 0); F2 (-c; 0)

M Уравнение директрисы параболыF2 = r2. MF1 = r1 – фокальные радиусы гиперболы.

Согласно определения гиперболы r1 – r2 = const.

Обозначим ее через 2а

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы=> каноническое уравнение гиперболы

Так как уравнение гиперболы х и у в четных степенях, то если точка М00 ; у0 ) лежит на гиперболе, то на ней лежат также точки М10 ; -у0 ) М2 (-х0 ; -у0 ) М3 (-х0 ; -у0 ).

Следовательно, гипербола симметрична относительно обеих координатных осей.

При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гиперболы будут точки А1 (а; 0); А2 (-а; 0).

Уравнение директрисы параболы. В силу симметрии исследование ведем в I четверти Уравнение директрисы параболы

1) при Уравнение директрисы параболы у имеет мнимое значение, следовательно, точек гиперболы с абсциссами Уравнение директрисы параболы не существует

2) при х = а; у = 0 А1 (а; 0) принадлежит гиперболе

3) при x > a; y > 0. Причем при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.

Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей.

П 6. Асимптоты гиперболы

Рассмотрим вместе с уравнением Уравнение директрисы параболы уравнение прямой Уравнение директрисы параболы

К Уравнение директрисы параболыривая будет лежать ниже прямой (рис. 31). Рассмотрим точкиN (x, Y) и М (х, у) у которой абсциссы одинаковы, а У — у = MN. Рассмотрим длину отрезка MN

Уравнение директрисы параболы

Итак, если точка М, двигаясь по гиперболе в первой четверти удаляется в бесконечность, то ее расстояние от прямой Уравнение директрисы параболы уменьшается и стремится к нулю.

В силу симметрии таким же свойством обладает прямая Уравнение директрисы параболы.

Определение. Прямые к которым при Уравнение директрисы параболыкривая неограниченно приближается называются асимптотами.

И Уравнение директрисы параболытак, уравнение асимптот гиперболы Уравнение директрисы параболы.

Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси ох и равна 2а, а другая параллельна оси оу и равна 2в, а центр лежит в начале координат (рис. 32).

П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

r2 – r1 = ± 2a знак + относится к правой ветви гиперболы

знак – относится к левой ветви гиперболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

Определение.Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.

Уравнение директрисы параболы. Так как c > a, ε > 1

Выразим фокальные радиусы гиперболы через эксцентриситет:

Уравнение директрисы параболы

Определение. Назовем прямые Уравнение директрисы параболы, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и расположенными на расстоянии Уравнение директрисы параболыот ее центра директрисами гиперболы, соответствующие правому и левому фокусам.

Т Уравнение директрисы параболыак как для гиперболы Уравнение директрисы параболы следовательно, директрисы гиперболы, располагаются между ее вершинами (рис. 33). Покажем, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная и равная ε.

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

П. 8 Парабола и ее уравнение

О Уравнение директрисы параболыпределение.Парабола есть геометрическое место точек равностоящих от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы примем за ось х прямую, проходящую через фокус F1 перпендикулярную к директрисе и будем считать ось х направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через р (рис. 34). Величину р назовем параметром параболы. Точка координат фокуса Уравнение директрисы параболы.

Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.

Уравнение директрисы параболыу2= 2рх – каноническое уравнение параболы

Для определения вида параболы преобразуем ее уравнение Уравнение директрисы параболы отсюда следует Уравнение директрисы параболы. Следовательно, вершина параболы находится в начале координат и осью симметрии параболы является ох. Уравнение у 2 = -2рх при положительном р сводится к уравнению у 2 = 2рх путем замены х на –х и ее график имеет вид (рис. 35).

У Уравнение директрисы параболыравнение х 2 = 2ру является уравнением параболы с вершиной в точке О (0; 0) ветви которой направлены вверх.

х Уравнение директрисы параболы 2 = -2ру – уравнение параболы с центром в начале координат симметричная относительно оси у, ветви которой направлены вниз (рис. 36).

У параболы одна ось симметрии .

Если х в первой степени, а у во второй, то ось симметрии есть х.

Если х во второй степени, а у в первой, то ось симметрии есть ось оу.

Замечание 1.Уравнение директрисы параболы имеет вид Уравнение директрисы параболы.

Замечание 2.Так как для параболы Уравнение директрисы параболы, тоεпараболы равен 1.ε= 1 .

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ох. имеет вид

Уравнение директрисы параболы

Уравнение директрисы параболы

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу .

Фокальный радиус точки М (х, у), т.е. ее расстояние до фокуса на оси Ох. находится по формуле

Уравнение директрисы параболы

Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением

Уравнение директрисы параболы

и имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке Уравнение директрисы параболы. координаты которой вычисляются по формулам:

  • Парабола — кривая второго порядка.
  • Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
  • Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
  • Для параболы Уравнение директрисы параболы фокус находится в точке (0; 0.25).

Для параболы Уравнение директрисы параболы фокус находится в точке (0; f).

  • Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
  • Парабола является антиподерой прямой.
  • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
  • При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Примеры решения задач на данную тему:

Уравнение директрисы параболы

Источники информации:
Учебное пособие Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред. В.И. Ермакова
on-line учебник Теория и решение задач http://www.math4you.ru

Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/2step5.php
Электронный вариант «Сборника задач по аналитической геометрии» Д.В.Клетеника и их решения http://www.a-geometry.narod.ru/theory/theory_20.htm

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *