Угол между двумя прямыми в пространстве

Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.

§ 69. Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости (§ 32 ). Обозначим через φ величину угла между прямыми l1 и l2. а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

ψ <909deg; (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > &09deg; (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (1) § 20 имеем

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:
а
= (—√ 2 ; √ 2 ; —2), b = (√ 3 ; √ 3 ; √ 6 ).

По (формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n1 = (3; 0; —12) и n2 = (1; 1; —3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле (4) § 22 получаем

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен &09deg;.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3),
С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому CA > = (4; — 6;0), DB > = (—2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

Угол между двумя прямыми в пространстве.

Об угле между прямыми в пространстве можно говорить в двух случаях: если прямые пересекаются и если они скрещиваются.

Пересекающиеся прямые l и l1 образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.

Если прямые скрещиваются (l2 и l3 ), то в углом между прямыми называется угол между пересекающимися прямыми (l2 и m ), который получается в результате параллельного переноса одной из прямых ( l3 ) так, чтобы она пересекала вторую прямую.

В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых или 180 0 — .

Пусть направляющие вектора прямых заданы своими координатами и .

Тогда для вычисления величины угла между прямыми получаем формулу:

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Угол между двумя прямыми в пространстве
Главная | О нас | Обратная связь

Вычисление угла между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве зафиксирована декартова система координат, и пусть две прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями:

По данным уравнениям для каждой прямой мы можем легко определить направляющий вектор: t1 = (m1. n1. k1 ) — направляющий вектор прямой l1 ,

Угол между прямыми равен углу между векторами t1 и t2 или составляет с ним в сумме p, так что косинусы этих углов равны по модулю и cos j = (где j — угол между прямыми l1 и l2 ).

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть в декартовой системе координат определены направляющие векторы прямых l1 и l2. t1 = (m1. n1. k1 ) — направляющий вектор прямой l1. t2 = (m2. n2. k2 ) — направляющий вектор прямой l2. Тогда cos j = . где j — угол между прямыми l1 и l2 .

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть две прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями:

По данным уравнениям для каждой прямой мы можем легко определить точку, лежащую на прямой, и направляющий вектор:

Две прямые в пространстве могут совпадать, бать параллельными, пересекаться в точке, скрещиваться.

1 случай. Прямые l1 и l2 совпадают Û t1 || t2 и || t2. то есть координаты векторов t1. t2 и пропорциональны Û t1 ´ t2 = q и ´ t2 = q.

2 случай. Прямые l1 и l2 параллельны Û t1 || t2. а векторы и t2 не коллинеарны, то есть координаты векторов t1 и t2 пропорциональны, а координаты векторов и t2 не пропорциональны Û t1 ´ t2 = q и ´ t2 ≠ q.

3 случай. Прямые l1 и l2 пересекаются в точке Û векторы t1 и t2 не коллинеарны, но векторы t1. t2 и компланарны Û t1 ´ t2 ≠ q и t1 t2 = 0.

4 случай. Прямые l1 и l2 скрещиваются Û Векторы t1. t2 и не компланарны

Угол между прямой и плоскостью.

Пусть прямая l задана каноническим уравнением . а плоскость a общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

По данным уравнениям легко определить направляющий вектор прямой — вектор = (m, n, k), и вектор нормали к плоскости — вектор = (A, B, C).

Пусть j — угол между прямой l и плоскостью a, y — угол между векторами и .

Так как угол между прямой l и плоскостью a — это угол между прямой l и ее проекцией на плоскость a, а вектор нормали перпендикулярен любой прямой в плоскости a (то есть и проекции прямой l), то j + y = или y — j = и sin j = | cos y| = .

Итак, мы доказали следующую теорему:

Пусть j — угол между прямой и плоскостью, и пусть в декартовой системе координат определены направляющий вектор прямой — вектор = (m, n, k), и вектор нормали к плоскости — вектор = (A, B, C). Тогда sin j = .

Кривые второго порядка

Угол между двумя прямыми в пространстве

Даны 2 прямые в пространстве, заданные каноническими уравнениями прямых в пространстве, следовательно, известны их направляющие векторы;

За угол между двумя прямыми в пространстве принимается угол между их направляющими векторами:

Условие параллельности. так как прямые параллельны, их направляющие векторы коллинеарны, следовательно, — условие параллельности прямых;

Условие перпендикулярности. если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы тоже перпендикулярны, следовательно, — условие перпендикулярности прямых в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Дано: плоскость P. под

— направляющий вектор прямой;

Условие параллельности прямой и плоскости. . т.е.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. . т.е.

Угол между двумя плоскостями

— нормальный вектор плоскости Р1

— нормальный вектор плоскости Р2

Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двухгранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами. Обозначая один из этих углов через . имеем:

Выбирая знак «+», получаем . выбирая знак « — «, получаем

Условие параллельности 2-х плоскостей

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны:

. следовательно, их координаты пропорциональны:

Условие перпендикулярности 2-х плоскостей

Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы перпендикулярны:

Кривые второго порядка

Алгебраические уравнения второй степени относительно декартовой системы координат вида Ах 2 +2Вху+Су 2 +Dх+Еу+F=0 представляют собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Опр.:Эллипс — геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до 2 данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная и равна 2а .

Исследование формы эллипса

т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно осей координат.

A1 A2 =2a – большая ось эллипса, a — большая полуось;

Эксцентриситет эллипса и его влияние на форму

Опр.:Эксцентриситет — отношение фокусного расстояния к большой оси .

Директриса эллипса и фокальный радиус

Директриса эллипса – это прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстающие от центра на расстояние

т.к. <1, то . расстояние между директрисами ;

Опр. Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2a .

Исследование формы гиперболы

Т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно координатных осей.

2а – действительная ось гиперболы

а – действительная полуось

2b – мнимая ось гиперболы

b – мнимая полуось

Опр. Прямая l называется асимптотой кривой с, если расстояние от точек кривой до прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точек по кривой.

Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы

Опр. Эксцентриситет гиперболы – отношение фокусного расстояния к действительной оси.

Опр. Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки — фокуса и от данной прямой — директрисы.

Пусть p — расстояние от фокуса до директрисы, т.е. BF=p. тогда, если ось ординат проходит через середину BF ,то т.F имеет координаты ( ). а т.B( ).

Обозначим FM=r. a NM=d

Т.к. y входит в уравнение в четной степени, то график функции симметричен относительно OX .

p >0, ветви вправо

p <0, ветви влево

Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения.

Начнем с краткого обзора материала статьи.

Сначала дано определение угла между пересекающимися прямыми с поясняющим рисунком. Далее показаны методы, позволяющие найти синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве по известным уравнениям этих прямых в фиксированной прямоугольной системе координат, получены соответствующие формулы и приведены подробные решения примеров и задач.

Навигация по странице.

Угол между пересекающимися прямыми — определение.

Чтобы определить угол между двумя пересекающимися прямыми нам потребуются определения, данные в статье геометрическая фигура угол и некоторые вспомогательные определения.

Две прямые называются пересекающимися. если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча. Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу Угол между двумя прямыми в пространстве. Тогда вертикальный с ним угол также равен Угол между двумя прямыми в пространстве, а смежные с ним углы равны Угол между двумя прямыми в пространстве. Если Угол между двумя прямыми в пространстве, то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые ).

Угол между двумя прямыми в пространстве

Теперь можно переходить к определению угла между пересекающимися прямыми.

Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.

Из приведенного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися прямыми выражается действительным числом из интервала Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между перпендикулярными прямыми по определению равен девяноста градусам.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми на плоскости.

Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.

Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур. Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов. При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.

Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. заданы две прямые a и b уравнениями прямых некоторого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости ), которые пересекаются в точке М. и требуется определить угол между пересекающимися прямыми a и b. Обозначим искомый угол между пересекающимися прямыми как Угол между двумя прямыми в пространстве.

Решим поставленную задачу.

Для начала опишем принцип нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости в заданной системе координат Oxy.

Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой. и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.

Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через

  • угол между направляющими векторами этих прямых;
  • угол между нормальными векторами прямых;
  • угол между направляющим вектором одной прямой и нормальным вектором другой прямой.

Разберем каждый случай.

Пусть Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющий вектор прямой a. Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющий вектор прямой b. Если отложить векторы Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве от точки пересечения прямых, то они будут лежать на прямых a и b соответственно, и возможны четыре варианта их расположения относительно пересекающихся прямых a и b. изображенные на рисунке ниже.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Очевидно, если угол между векторами Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве не тупой, то он равен углу между пересекающимися прямыми a и b. Если же угол между направляющими векторами прямых a и b тупой, то угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу, смежному с углом Угол между двумя прямыми в пространстве. То есть, Угол между двумя прямыми в пространстве, если Угол между двумя прямыми в пространстве, а Угол между двумя прямыми в пространстве, если Угол между двумя прямыми в пространстве.
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде: Угол между двумя прямыми в пространстве, если Угол между двумя прямыми в пространстве, а Угол между двумя прямыми в пространстве (в последнем переходе мы использовали формулы приведения ), если Угол между двумя прямыми в пространстве. Следовательно, Угол между двумя прямыми в пространстве, то есть, косинус угла между пересекающимися прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами пересекающихся прямых.

Формула для вычисления косинуса угла между векторами Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве имеет вид Угол между двумя прямыми в пространстве.
Тогда косинус угла между двумя пересекающимися прямыми a и b мы можем найти по формуле Угол между двумя прямыми в пространстве,
а сам угол между пересекающимися прямыми — по формуле Угол между двумя прямыми в пространстве,
где Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющие векторы прямых а и b соответственно.

Разберем решение примера.

Пересекающиеся прямые a и b определены на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy уравнениями Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве. Требуется найти угол между пересекающимися прямыми a и b.

Параметрические уравнения прямой на плоскости позволяют сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой – их дают соответствующие коэффициенты при параметре, то есть, Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющий вектор прямой Угол между двумя прямыми в пространстве. Прямой b по условию соответствует каноническое уравнение прямой на плоскости вида Угол между двумя прямыми в пространстве. Числа в знаменателях этого равенства дают координаты направляющего вектора прямой b. то есть, Угол между двумя прямыми в пространстве. Чтобы найти угол между пересекающимися прямыми a и b нам осталось подставить полученные координаты направляющих векторов прямых в формулу Угол между двумя прямыми в пространстве:
Угол между двумя прямыми в пространстве

угол между указанными пересекающимися прямыми равен 45 градусам.

Аналогично угол между пересекающимися прямыми a и b может быть найден через угол между нормальными векторами этих прямых. Если Угол между двумя прямыми в пространстве — нормальный вектор прямой a. Угол между двумя прямыми в пространстве — нормальный вектор прямой b. то угол между пересекающимися прямыми а и b равен углу между векторами Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве, или углу, смежному с углом Угол между двумя прямыми в пространстве. Приведем чертеж, иллюстрирующий эти ситуации.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Формулы для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми а и b через координаты нормальных векторов этих прямых имеют вид Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве соответственно, где Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве — нормальные векторы прямых а и b.

Вычислите синус угла, косинус угла и сам угол между пересекающимися прямыми a и b. которым в прямоугольной системе координат Oxy соответствуют уравнения
3x+5y-30=0 и x+4y-17=0.

Мы знаем, что общее уравнение прямой вида Ax+By+C=0 определяет на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор Угол между двумя прямыми в пространстве. Таким образом, Угол между двумя прямыми в пространстве — нормальный вектор прямой 3x+5y-30=0. а Угол между двумя прямыми в пространстве — прямой x+4y-17=0. Подставляем координаты нормальных векторов в формулу для определения косинуса угла между пересекающимися прямыми:
Угол между двумя прямыми в пространстве

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла при известном косинусе этого угла. Так как угол Угол между двумя прямыми в пространстве между двумя пересекающимися прямыми не тупой, то Угол между двумя прямыми в пространстве.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Осталось разобраться, как найти угол между пересекающимися прямыми, если известен направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор другой прямой.

Пусть Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющий вектор прямой a. Угол между двумя прямыми в пространстве — нормальный вектор прямой b. Отложим векторы Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве от точки пересечения прямых и рассмотрим возможные варианты расположения этих векторов относительно пересекающихся прямых a и b.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Если угол между векторами Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве не превосходит 90 градусов, то он дополняет угол между пересекающимися прямыми a и b до прямого угла, то есть, Угол между двумя прямыми в пространстве, если Угол между двумя прямыми в пространстве. Если же Угол между двумя прямыми в пространстве, то Угол между двумя прямыми в пространстве.
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде Угол между двумя прямыми в пространстве, если Угол между двумя прямыми в пространстве, и Угол между двумя прямыми в пространстве, если Угол между двумя прямыми в пространстве. Следовательно,
Угол между двумя прямыми в пространстве

Таким образом, синус угла между пересекающимися прямыми a и b равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой a и нормальным вектором прямой b.

Следовательно, формулы для нахождения синуса угла и самого угла между двумя пересекающимися прямыми a и b имеют вид Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве, где Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющий вектор прямой a. Угол между двумя прямыми в пространстве — нормальный вектор прямой b.

Найдите угол между пересекающимися прямыми Угол между двумя прямыми в пространстве и x+4y-17=0.

(Обратите внимание: заданные прямые совпадают с прямыми из предыдущего примера).

Мы можем легко определить координаты направляющего вектора прямой Угол между двумя прямыми в пространстве и координаты нормального вектора прямой x+4y-17=0. Имеем: Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве. Осталось воспользоваться формулой Угол между двумя прямыми в пространстве для нахождения угла между пересекающимися прямыми:
Угол между двумя прямыми в пространстве

Очевидно, получили такой же угол между пересекающимися прямыми, как и в предыдущем примере.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Дадим еще формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми a и b через угловые коэффициенты этих прямых.

Пусть прямую a на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида Угол между двумя прямыми в пространстве, а прямую b — Угол между двумя прямыми в пространстве. Тогда угол между пересекающимися прямыми может быть вычислен по формуле Угол между двумя прямыми в пространстве, где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых a и b соответственно. Эту формулу легко получить на основании формулы для определения угла между пересекающимися прямыми через координаты нормальных векторов прямых.

Определите угол между пересекающимися прямыми Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве.

(В условии даны все те же пересекающиеся прямые из предыдущих примеров).

Заданные прямые имеют угловые коэффициенты Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве. Подставляем эти значения в формулу Угол между двумя прямыми в пространстве для нахождения угла между пересекающимися прямыми по угловым коэффициентам:
Угол между двумя прямыми в пространстве

Угол между двумя прямыми в пространстве

В заключении этого пункта отметим, что совсем не обязательно запоминать все выведенные формулы для нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости. Достаточно понимать, что угол между пересекающимися прямыми может быть найден с помощью угла между направляющими или нормальными векторами прямых, уметь определять координаты этих векторов по известным уравнениям прямых, а также помнить формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями прямой некоторого вида (смотрите статью виды уравнений прямой в пространстве ). По уравнениям прямых мы можем определить координаты их направляющих векторов. Итак, Угол между двумя прямыми в пространстве и Угол между двумя прямыми в пространстве — направляющие векторы заданных пересекающихся прямых a и b соответственно. Тогда косинус угла между пересекающимися прямыми a и b в пространстве вычисляется по формуле Угол между двумя прямыми в пространстве,
а сам угол – по формуле Угол между двумя прямыми в пространстве.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства определена уравнением Угол между двумя прямыми в пространстве и пересекает ось аппликат. Найдите косинус угла и угол между заданной прямой и координатной прямой Oz.

Пусть искомый угол между пересекающимися прямыми равен Угол между двумя прямыми в пространстве. Направляющим вектором прямой Угол между двумя прямыми в пространстве является вектор Угол между двумя прямыми в пространстве, а в качестве направляющего вектора оси аппликат можно принять координатный вектор Угол между двумя прямыми в пространстве. Теперь у нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми:
Угол между двумя прямыми в пространстве

Тогда искомый угол между пересекающимися прямыми равен Угол между двумя прямыми в пространстве.

  • Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. Позняк Э.Г. Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. Киселева Л.С. Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright © by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.cleverstudents.ru, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *