Декремент затухания

3) Свободные затухающие колебания. Декремент и логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы.

Свободные затухающие колебания.

Декремент затухания

Декремент и логарифмический декремент затухания.

Декремент затухания, количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Д. з. d равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Декремент затухания

Д. з. — величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Например, если d = 0,01, то амплитуда уменьшится в е раз после 100 колебаний. Д. з. характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такого затухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.

Добротность колебательной системы.

Добротность колебательной системы, отношение энергии, запасённой в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы, т.к. чем больше Д. к. с. тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Д. к. с. Q связана с логарифмическим декрементом затухания d; при малых декрементах затухания Q » p/d. В колебательном контуре с индуктивностью L, ёмкостью C и омическим сопротивлением R Д. к. с.

Декремент затухания

где w — собственная частота контура. В механической системе с массой m, жёсткостью k и коэффициентом трения b Д. к. с.

Декремент затухания

Добротность — количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы, указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в области столь низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать не зависящей от частоты. На этом свойстве основан метод измерения Д. к. с. Величина добротности характеризует также и избирательность колебательной системы; чем больше добротность, тем уже полоса частот внешней силы, которая может вызвать интенсивные колебания системы. Экспериментально Д. к. с. обычно находят как отношение частоты собственных колебаний к полосе пропускания системы, т. е. Q = w/Dw. Численные значения Д. к. с. для радиочастотного колебательного контура 30—100; для камертона 10000; для пластинки пьезокварца 100000; для объёмного резонатора СВЧ колебаний 100—100000.

Что такое декремент затухания? Как он определяется?

(от лат. decrementum — уменьшение, убыль), количественная хар-ка быстроты затухания колебаний. Д. з. dравен натуральному логарифму отношения двух последующих макс. отклонений х колеблющейся величиныв одну и ту же сторону: d=ln(x1/x2). Д. з.— величина, обратная числу колебаний, по истечении к-рыхамплитуда убывает в е раз. Напр. если d=0,01, то амплитуда уменьшится в е раз после 100 колебаний. Д. з.характеризует число периодов Т, в течение к-рых происходит затухание колебаний. Полное время затуханияопределяется отношением Т/d. Напр. величина ср. значений Д. з. колебательного контура d=0,02—0,05,камертона d»0,001, кварцевой пластинки d»10-4—10-5, оптического резонатора d»10-6—10-7.

Обычно вместо Д. з. пользуются понятием добротности колебательной системы Q, с к-рой Д. з. связансоотношением:

а при больших добротностях d»p/Q.

Физический энциклопедический словарь. — М. Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

(от лат. decrementum — уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) — количественнаяхарактеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральныйлогарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту жесторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону Декремент затухания (где постоянная величина Декремент затухания — коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X1 и X2 (условно наз. «амплитудами9quot; колебаний) разделены промежутком времени Декремент затухания (условно наз. «периодом9quot; колебаний), то Декремент затухания. а Д. з. Декремент затухания .

Так, напр. для механич. колебат. системы, состоящей из массы т, удерживаемой в положении равновесияпружиной с коэф. упругости k и испытывающей трение силой FT , пропорциональной скорости v (F Т =-bv, гдеb — коэф. пропорциональности), Д. з.

Декремент затухания

При малом затухании Декремент затухания. Аналогично для электрич. контура, состоящего изиндуктивности L. активного сопротивления R и ёмкости С, Д. з.

Декремент затухания .

При малом затухании Декремент затухания .

Для нелинейных систем закон затухания колебаний отличен от закона Декремент затухания. т. е. отношение двухпоследующих «амплитуд9quot; (и логарифм этого отношения) не остаётся постоянным; поэтому Д. з. не имееттакого определ. смысла, как для систем линейных.

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

Декремент затухания

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, &#&48; = const — коэффициент затухания, (&#&69;0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при &#&48; =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде

Декремент затухания

Декремент затухания

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим

Декремент затухания

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

Тогда получим уравнение решением, которого является функция u=A0cos(&#&69;t+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Декремент затухания

Если A(t) и A(t+Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

Декремент затухания

называется декрементом затухания, а его логарифм

Декремент затухания

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых во время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Декремент затухания

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

Декремент затухания

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Декремент затухания

Используя формулу Декремент затухания и принимая, что коэффициент затухания Декремент затухания получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Декремент затухания

Колебания маятника подчиняются закону

Коэффициент затухания. Коэффициент d, определяющий быстроту изменения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Если промежуток времени Dt = 1/d, то А0 /А = е. Отсюда вытекает физический смысл коэффициента затухания:

величина 1/d, равна промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раз.

Добротность пружинного маятника

Декремент затухания

При увеличении коэффициента затухания &#&48; период затухающих колебаний растет и при &#&48; = &#&69;0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t&#85&4;∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Логарифмический декремент затухания — безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно .

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

Декремент затухания ,

f — частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

Pd — рассеиваемая мощность.

Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и Декремент затухания (рис. 3.1):

Декремент затухания ,

где β – коэффициент затухания.

Декремент затухания

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:

Декремент затухания ;

Декремент затухания .

Выясним физический смысл χ и β.

Время релаксации τвремя, в течение которого амплитудаАуменьшается вeраз .

Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина , обратная времени , в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда

Декремент затухания Декремент затухания ; Декремент затухания ;

Декремент затухания .

Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается вeраз.

Если χ = 0,01, то N = 100.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому Декремент затухания. а Декремент затухания то круговая частота обращается в нуль ( Декремент затухания ), а ( Декремент затухания ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 3.2).

Декремент затухания

Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения.

Декремент затухания Свободные механические колебания Вынужденные механические колебания Декремент затухания

декремент затухания

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ (от лат. decrementum — уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания ) — количественная характеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральный логарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону Декремент затухания (где постоянная величина Декремент затухания — коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X1 и X2 (условно наз. «амплитудами» колебаний) разделены промежутком времени Декремент затухания (условно наз. «периодом» колебаний), то Декремент затухания. а Д. з. Декремент затухания.

Так, напр. для механич. колебат. системы, состоящей из массы т. удерживаемой в положении равновесия пружиной с коэф. упругости k и испытывающей трение силой FT . пропорциональной скорости v (FТ =-bv. где b — коэф. пропорциональности), Д. з.

Декремент затухания

При малом затухании Декремент затухания. Аналогично для электрич. контура, состоящего из индуктивности L. активного сопротивления R и ёмкости С. Д. з.

Декремент затухания.

При малом затухании Декремент затухания.

Для нелинейных систем закон затухания колебаний отличен от закона Декремент затухания. т. е. отношение двух последующих «амплитуд» (и логарифм этого отношения) не остаётся постоянным; поэтому Д. з. не имеет такого определ. смысла, как для систем линейных.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *