Графики тригонометрических функций

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода . где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x) .

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида «.

Свойства функции синус y = sinx .

— Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

— Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

— Функция обращается в ноль при . где . Z – множество целых чисел.

— Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

— Функция синус — нечетная, так как .

— Функция убывает при ,

— Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

— Функция y = sinx вогнутая при ,
выпуклая при .

— Координаты точек перегиба .

Функция косинус y = cos(x) .

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx .

— Область определения функции косинус: .

— Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .

— Функция обращается в ноль при . где рimg src=»http://ok-t.ru/studopediaru/baza13/488088887583.files/image085.gif» />. Z – множество целых чисел.

— Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .

— Функция косинус — четная, так как .

— Функция убывает при ,
возрастает при .

— Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

— Функция вогнутая при ,
выпуклая при .

— Координаты точек перегиба .

Функция тангенс y = tg(x) .

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx .

— Область определения функции тангенс:

. где . Z – множество целых чисел.
Поведение функции y = tgx на границе области определения
Следовательно, прямые . где . являются вертикальными асимптотами.

— Наименьший положительный период функции тангенс .

— Функция обращается в ноль при . где . Z – множество целых чисел.

— Область значений функции y = tgx. .

— Функция тангенс — нечетная, так как .

— Функция возрастает при .

— Функция вогнутая при ,

— Координаты точек перегиба .

— Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x) .

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx .

— Область определения функции котангенс: . где . Z – множество целых чисел.
Поведение на границе области определения
Следовательно, прямые . где являются вертикальными асимптотами.

— Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .

— Функция обращается в ноль при . где . Z – множество целых чисел.

— Область значений функции котангенс: .

— Функция нечетная, так как .

— Функция y = ctgx убывает при .

— Функция котангенс вогнутая при ,
выпуклая при .

— Координаты точек перегиба .

— Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Тема.Построение графиков тригонометрических функций

Цель урока: построение графиков функций у = sin х. у = cos x. у = tg х. у = ctg x.

Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b ), у = Acos ( kx + b ), у = Atg ( kx + b ), у = Actg ( kx + b ).

И. Проверка домашнего задания

1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).

2. Фронтальная беседа:

1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.

2) Дайте определение периодической функции.

3) Если функция у = f ( x ) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3 T. Ответ обоснуйте.

4) Найдите наименьший положительный период функций:

a ) y = cos ; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .

5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.

II. Построение графика функции у = sin х

Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.

Графики тригонометрических функций

На ось ОХ нанесем точки ; π ; ; 2 π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке [0;π ].

За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2 π. то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2 π. 4 π. 6 π. единиц влево и вправо (рис. 58).

Графики тригонометрических функций

Кривая, которая является графиком функции у = sin x. называют синусоидой.

1. Постройте графики функций.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2 sin х ; г) у = sin (-x).

Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

III. Построение графика функции у = cos x

Как известно, cos х = sin . поэтому у = cos x и у = sin — одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х. затем у = sin ( -х ) и в конце у = sin .

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

1. Постройте графики функций:

a ) y = cos ; б) y = cos ; в) y = cos х ; г ) у = | cos x |.

Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

IV. Построение графика функции у = tg x

График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.

Графики тригонометрических функций

На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .

За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π. 2 π. 3 π. 4 π. единиц влево и вправо (рис. 69).

Графики тригонометрических функций

График функции у = tg x называется тангенсоїдою.

1. Постройте график функций

а) у = tg 2х; б) у = t g x ; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

V. Построение графика функции у = ctg x

График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

IV. Домашнее задание

Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).

Графики тригонометрических функций
Главная | О нас | Обратная связь

Графики тригонометрических функций

Тема: «Методика изучения тригонометрических функций»

В лекции использованы материалы из лекций проф. Ананченко К.О.

§1 Содержание темы. Перечень знаний и умений по теме.

Тригонометрия — один из наиболее важных разделов курса алгебры и начал анализа.

Он включает изучениеследующих вопросов :

— введение тригонометри­ческих функций числового аргумента и их простейшие свойства;

— тригонометрические уравнения и неравенства.

Содержание темы по классам :

— Периодичность функции. Функции y=sin x, y=cos x, . их свойства и графики.

— Простейшие тригонометрические уравнения sin x=а, cos x=а, . Тригонометрические уравнения.

Тригонометрические функции – класс элементарных функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Они предоставляют удобный аппарат для решения разнообразных геометрических задач. Тригонометрические функции имеют многочисленные приложения в астрономии, геодезии, механике, электротехнике и других науках.

В результате изучения темы “ Тригонометрические функции ” учащиеся должны :

знать определения тригонометрических функций, определение периодической функции, формулировку и доказательство теоремы о периодичности тригонометрических функций, наименьший положительный период для функций синус, косинус, тангенс, котангенс;

уметь исследовать тригонометрические функции на четность и нечётность; применять свойство периодичности тригонометрических функций при вычислении их значений и построении их графиков; уметь по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, экстремумы данных функций.

§ Графики тригонометрических функций 2 Определение тригонометрических функций

Пусть М-точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице ; a- угол между осью абсцисс и радиусом ОМ, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 18). При этом если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Если (Хa ; Ya ) – координаты точки М, то тригонометрические функции синус и косинус определяются формулами :

Другие тригонометрические функции определяются формулами :

Угол может измеряться как в градусах, так и в радианах и изменяться от — до +. Чаще используется радианное измерение, причём обозначение радиан опускается, и тогда тригонометрические функции считаются функциями числового аргумента.

В методической литературе предлагаются различные подходы к определению тригонометрических функций. Функции синус и косинус рассматриваются:

как отношение сторон в прямоугольном треугольнике для острых углов с последующим распространением на любые углы;

как координаты точек единичной окружности или координаты конца подвижного единичного радиуса;

как отношение координат конца подвижного радиуса некоторой окружности к длине этого радиуса;

как отношение координат конца радиуса-вектора к его длине;

как проекции единичного вектора на оси координат;

как отношения проекций вектора на векторные оси к длине указанного вектора.

Графики тригонометрических функций

В методической литературе для построения графиков тригонометрических функций рекомендуются различные подходы. Рассмотрим некоторые из них на примере функций y=sin x.

1. Сначала предлагается построить часть графика функции синус на отрезке [0:p] по точкам:

Пользуясь проведённым исследованием, строят график функции y=sin x на отрезке [-p;p], а затем на всей оси OX.

Задание для самостоятельного изучения

1) Ознакомьтесь с действующим учебным пособием “АиНА” и установите, какой способ используется при построении графика функции y=sin x.

2) Подумайте, с помощью каких преобразований из графика функции y=sin x можно получить график функции y=-2sin(x- )+1.

Для закрепления навыка построения графиков тригонометрических функций с помощью простейших преобразований графиков рекомендуется провести лабораторную работу на тему “Построение графиков тригонометрических функций”.

Вариант 1. С использованием шаблона вычертите графики: y=sin x. y=sin x -1. y=sin(x- ). y=sin(x+ ).

Вариант 2. С использованием шаблона вычертите графики функций. y=cos x. y=cos x+2, y=cos(x+ ). y=cos(x- ).

§4 Свойства и график функции y = sin x

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок [-1; 1].

3. Функция нечётная.

4. Функция периодическая, основной период равен 2 .

5. Функция возрастает на промежутках [ ] и убывает на промежутках [ ], k Z

6. В точках (k Z) синус имеет максимумы, равные 1; в точках — минимумы, равные –1.

График функции y = sin x изображён на рис. 21.

§5 Свойства и график функции y = cos x.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок [-1; 1].

3. Функция чётная.

4. Функция периодическая с основным периодом 2 .

5. Функция возрастает на промежутках [ ] и убывает на промежутках [ ], k Z

6. Косинус имеет максимумы, равные 1, в точках x = . k Z; косинус имеет минимумы, равные –1, в точках x = . k Z.

График функции y = cos x изображён на рис. 22.

§6 Свойства и график функции

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме числе вида где k Î Z.

2. Область определения – вся числовая прямая.

3. Функция нечётная.

4. &#&60; – основной период функции.

5. Функция возрастает на промежутках (-&#&60;/2 + &#&60;k, &#&60;/2 + &#&60;k), где k Î Z.

6. Функция не имеет экстремумов.

7. График функции изображён на рисунке 23.

Величины углов (аргументы функций): \(\alpha\), \(x\)
Тригонометрические функции: \(\sin \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \), \(\cot \alpha \), \(\sec \alpha \), \(\csc \alpha \)
Множество действительных чисел: \(\mathbb\)
Координаты точки окружности: \(x\), \(y\)

Радиус круга: \(r\)
Целые числа: \(k\)

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций ( ряда Фурье ). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус. косинус. тангенс. котангенс. секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом \(r = 1\). На окружности обозначена точка \(M\left( \right)\). Угол между радиус-вектором \(OM\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\alpha\).

Графики тригонометрических функций

Синусом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left( \right)\).

Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)

Тангенсом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)

Котангенсом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)

Секанс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left( \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)

Косеканс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left( \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)

В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left( \right)\) и радиус \(r\) образуют прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)

Графики тригонометрических функций

График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Графики тригонометрических функций

График функции тангенс
\(y = \tan x\), область определения: \(x \in \mathbb, x \ne \left( <2k + 1> \right)\pi/2\), область значений: \(- \infty


Область определения функции
— множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .

Функция нечетная: sin(−x)=9minus;sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π :

sin(x+2 π9middot; k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .

sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ ( 2π9middot;k. π+29pi;9middot;k ), k ∈ Z .

sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ ( π+29pi;9middot;k. 2π+29pi;9middot;k ), k ∈ Z .

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция косинус


Область определения функции
— множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π :

cos x > 0 для всех

cos x < 0 для всех

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .

Функция нечетная: tg(−x)=9minus;tg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π. т.е. tg(x+ π9middot; k ) = tg x, kZ для всех х из области определения.

Функция возрастает на промежутках:

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: ctg(−x)=9minus;ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π. т.е. ctg(x+ π9middot; k )=ctg x, kZ для всех х из области определения.




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *