Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения

Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.

Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.

Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).

Определитель однополостного гиперболоида S (l, i ^ П1 )

Определитель однополостного гиперболоида (образующая — прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям

Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.

Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.

Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).

Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l ) от экватора до горла (рис. 2-92):

1. Разбить горловую (А,В,С. ) и нижнюю (1,2,3. ) параллели на 12 равных частей;

2. Из точки 41 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В1 и Е1 ), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р1 . которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П2 пройдут через те же точки (42. В2. Е2 ).

3. Для остальных точек построение повторить.

Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:

1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 + y 2 = R 2 ;

2. конус, если образующая пересекает ось вращения k 2 (x 2 + y 2 ) – z 2 = 0;

3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются

(x 2 + y 2 ) / a 2 – z 2 / d 2 = 0

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Гиперболоид вращения

Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.

Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.

Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).

Определитель однополостного гиперболоида S (l, i ^ П1 )

Определитель однополостного гиперболоида (образующая — прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям

Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.

Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.

Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).

Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l ) от экватора до горла (рис. 2-92):

1. Разбить горловую (А,В,С. ) и нижнюю (1,2,3. ) параллели на 12 равных частей;

2. Из точки 41 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В1 и Е1 ), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р1 . которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П2 пройдут через те же точки (42. В2. Е2 ).

3. Для остальных точек построение повторить.

Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:

1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 + y 2 = R 2 ;

2. конус, если образующая пересекает ось вращения k 2 (x 2 + y 2 ) – z 2 = 0;

3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются

(x 2 + y 2 ) / a 2 – z 2 / d 2 = 0

Однополостный гиперболоид, его каноническое уравнение; прямолинейные образующие. Однополостный гиперболоид вращения.

однополосный гиперболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =1 a>0,b9gt;0,c9gt;0; Пересек. координатные осиплоскостями x=0,y=0,z=0 по гиперболам y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 и эллипсоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 соответственно. В сечениях однополосного гиперболоида плоскостями z=h всегда получаются эллипсы x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 с полуосями Гиперболоид вращения и Гиперболоид вращения .

Гиперболоид вращения

a = b — однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz .

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями — либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Через произвольную точку Гиперболоид вращения проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами Гиперболоид вращения и Гиперболоид вращения где:

Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения

В частности, если точку Гиперболоид вращения выбирать на горловом эллипсе Гиперболоид вращения то уравнениями прямолинейных образующих будут:

Гиперболоид вращения

Двуполостный гиперболоид, его каноническое уравнение.

двуполостный гиперболоид x 2 /a 2 — y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =1 a>0,b9gt;0,c9gt;0; x=h получается эллипс x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 с полуосями b*Корень(h 2 /a 2 -1) и с*Корень(h 2 /a 2 -1). При h=a получим в сечении точки (±а,0,0) – вершины двуполостного. В сечениях координ пл. z=0 и y=0 получим гиперболы x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 и x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 соответсвенно.

a = b — двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz .

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо Гиперболоид вращения .

Гиперболоид вращения

Эллиптический параболоид, его каноническое уравнение.

эллиптический параболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b9gt;0;

p = q — параболоид вращения вокруг оси Oz .

Сечения эллиптического параболоида плоскостями — либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо Гиперболоид вращения. Гиперболоид вращения

Гиперболический параболоид, его каноническое уравнение. Семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.

гиперболический параболоид x 2 /a 2 — y 2 /b 2 =2pz a>0,b9gt;0;

Гиперболоид вращения

Сечения гиперболического параболоида плоскостями — либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие

Через каждую точку Гиперболоид вращения проходят две прямолинейные образующие:

Гиперболоид вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Гиперболоид вращения

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) — произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
. но т.к. если взять точку M1 с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о. чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

цилиндры второго порядка: эллиптический цилиндр x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; гиперболический цилиндр x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; параболический цилиндр y 2 =2px; пара пересекающихся плоскостей a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 пара параллельных или совпадающих плоскостей x-a=0 a>=0; прямая x 2 +y 2 =0

конус второго порядка x 2 /a 2 — y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =0 a>0,b9gt;0,c9gt;0; Пересекая пл. z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. В сечении плоскостями x=0 y=0 имеем пары пересек прямых y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 — z 2 /c 2 =0 соотв.

©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Двуполостный гиперболоид вращения– это поверхность вращения гиперболы

вокруг той оси, которая ее пересекает (вокруг действительной оси).

ДГиперболоид вращенияля того, чтобы перейти от уравнения линии (43) к уравнению поверхности вращения, заменимх на Гиперболоид вращения, получим уравнение двуполостного гиперболоида вращения

Гиперболоид вращения.

В результате сжатия этой поверхности получается поверхность, задаваемая уравнением

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (44), называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность (рис. 60).

Гиперболоид вращенияАсимптотический конус для двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного (рис. 61).

Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида (44) с плоскостями, параллельными координатным.

Плоскость z = h при |h | < c пересекает поверхность (44) по мнимым эллипсам, при |h | > c по вещественным. Если а = b. то эти эллипсы являются окружностями, а гиперболоид – есть гиперболоид вращения. При |h | = c получаем

Гиперболоид вращения,

т. е. пару сопряженных прямых с одной вещественной точкой (0; 0; с ) (или (0; 0; –с ) соответственно).

Плоскости x = α и y = β пересекают гиперболоид (44) по гиперболам

8. эллиптический параболоид

При вращении параболы x 2 = 2pz вокруг ее оси симметрии получим поверхность с уравнением

X2 + y2 = 2pz,

нГиперболоид вращенияазываемуюпараболоидом вращения. Сжатие к плоскости у = 0 переводит параболоид вращения в поверхность с уравнением

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.

Внешний вид эллиптического параболоида ясен из способа его построения. Он весь расположен по одну сторону от плоскости z = 0, в полупространстве z> 0 (рис. 62). Сечения плоскостями z = h. h > 0 имеют уравнение:

Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения

и являются эллипсами.

Сечения эллиптического параболоида (45) плоскостями у = 0 и х = 0 являются параболами

Эти параболы называют главными параболами эллиптического параболоида, при этом параболу (46) условно назовем неподвижной. а параболу (47) – подвижной .

Можно дать следующее очень наглядное построение эллиптического параболоида посредством скольжения одной параболы вдоль другой (система координат предполагается прямоугольной).

Возьмем сечение параболоида (45) плоскостью x = α, получим в этой плоскости, содержащей систему координат O0e2e3. где O0 = (α, 0, 0), кривую, уравнение которой будет

Перейдем в плоскости x = α от системы координат Oe2e3 к системе координат Oe2e3. где O ′ = (α, 0, γ) есть точка пересечения плоскости x = α с неподвижной параболой x 2 = 2a 2 z. y = 0.

Перенеся начало координат системы O0e2e3 в точку O ′, произвели следующее преобразование координат:

В результате этого преобразования уравнение (48) получает вид:

Кривая (48) – это та же «подвижная» парабола, но перенесенная параллельно себе в плоскость x = α. Этот перенос можно осуществить следующим образом. Вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе из точки О в точку O ′, а сама парабола при этом перемещается. как твердое тело, оставаясь все время в плоскости, параллельной плоскости yOz .

Этот результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Эллиптический параболоид есть поверхность, описываемая при движении одной («подвижной») параболы (47) вдоль другой, неподвижной (46), так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе, причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвижная) обращены вогнутостью в одну и ту же сторону (а именно в положительную сторону оси Oz ).

Заметим, что эллиптический параболоид прямолинейных образующих не имеет. Действительно, прямая, параллельная плоскости xOy. может пересекать лишь сечение параболоида некоторой плоскостью z = h. а это сечение, как уже было отмечено, представляет собой эллипс. И значит, у прямой не более двух общих точек с параболоидом.

Если же прямая не параллельна плоскости xOy. то ее полупрямая лежит в полупространстве z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. гиперболический параболоид

По аналогии с уравнением (45) можем записать уравнение

Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида (49) назовем гиперболическим параболоидом .

Гиперболоид вращенияИсследуем внешний вид гиперболического параболоида с помощью сечений (рис. 63). Сечение плоскостью z = h представляет собой гиперболу, которая в этой плоскости имеет уравнение:

Для больших значений h полуоси гиперболы Гиперболоид вращенияиГиперболоид вращениявелики и уменьшаются с уменьшениемh. При этом ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e1.

При h = 0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

Гиперболоид вращения, Гиперболоид вращения.

Если h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e2. Полуоси растут с увеличением |h |. Отношение полуосей для всех гипербол при одном знаке h одно и то же. Поэтому, если мы нарисуем все сечения гиперболического параболоида на одной и той же плоскости, то получим семейство всех гипербол, имеющих в качестве асимптот пару пересекающихся прямых с уравнениями

Гиперболоид вращения, Гиперболоид вращения.

Сечения гиперболического параболоида с плоскостями у = 0 и х = 0 являются двумя «главными параболами»:

– неподвижная парабола, и

Эти параболы обращены вогнутостью в противоположные стороны: неподвижная – «вверх» (т.е. в положительном направлении оси Oz ), а подвижная – «вниз» (т.е. в отрицательном направлении оси Oz ). Сечение в плоскости x = α имеет в системе координат O0e2e3. где O0 = (α, 0, 0), уравнение

После перенесения начала координат в точку O ′ = (α, 0, z0 ), уравнение (51) примет вид:

где y = y ′, z = z ′ + z0. Последнее уравнение показывает, что кривая (52) – это та же подвижная парабола (51), только сдвинутая параллельно себе при скольжении ее вершины вдоль неподвижной параболы из точки О в O ′.

Отсюда вытекает следующее утверждение. Гиперболический параболоид, заданный (в прямоугольной системе координат) уравнением (49) есть поверхность, описываемая параболой y 2 = –2b 2 z. х = 0 при ее движении вдоль неподвижной параболы (50) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными себе самим, при этом обе параболы вогнутостью все время обращены в противоположные стороны: неподвижная – вогнутостью «вверх», т. е. в положительном направлении оси OГиперболоид вращенияz. а подвижная – «вниз».

Из этого построения видно, что гиперболический параболоид имеет вид седла.

Гиперболический параболоид, как и однополостной гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 64). Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямые, которые всеми точками лежат на этой плоскости.

Найдем уравнения прямолинейных образующих. Перепишем уравнение (49) в виде

Гиперболоид вращения.

Рассмотрим прямую, заданную как пересечение двух плоскостей

Гиперболоид вращения

Очевидно, что любая точка, удовлетворяющая уравнениям (53), удовлетворяет и уравнению (49), которое является произведением уравнений (53)

Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения.

А это значит, что каждая точка прямой (53) принадлежит гиперболическому параболоиду (49).

Аналогично рассматривается прямая

Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения

Прямая (54) также всеми своими точками лежит на гиперболическом параболоиде.

Гиперболоид это:

где a и b  — действительные полуоси, а c  — мнимая полуось;

где a и b  — мнимые полуоси, а c  — действительная полуось.

Если a = b. то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: Гиперболоид вращения. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью ; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

Содержание

В науке и технике

Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения

Оптическая схема телескопа Кассегрена. Малое зеркало имеет форму гиперболоида.

Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Кассегрена и в антеннах Кассегрена .

В искусстве

В архитектуре

Гиперболоид вращения

Гиперболоид вращения

Линейчатая конструкция, имеющая форму однополостного гиперболоида, является жёсткой. если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил.

Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.

Примерами гиперболоидных конструкций являются:

В литературе

Смотреть что такое «Гиперболоид» в других словарях:

ГИПЕРБОЛОИД — (греч. от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н. 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч. от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка

гиперболоид — а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ГИПЕРБОЛОИД — ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

гиперболоид — сущ. кол во синонимов: 2 • коноид (4) • поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гиперболоид — Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

гиперболоид — hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

Гиперболоид — (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Гиперболоид — м. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

гиперболоид — гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

ГИПЕРБОЛОИД — незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г. однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия

  • Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита. Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века… Подробнее Купить за 1000 руб
  • Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита. Алексей Толстой. Роман «Гиперболоид инженера Гарина» и повесть «Аэлита» положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с… Подробнее Купить за 500 руб
  • Гиперболоид инженера Гарина. Алексей Толстой. В книгу включены произведения, которые принесли Алексею Толстому славу первого российского фантаста, — увлекательный фантастический детектив «Гиперболоид инженера Гарина» и… Подробнее Купить за 490 руб

Другие книги по запросу «Гиперболоид» >>

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *