Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

На практике геометрическое распределение возникает при следующих условиях: пусть производится серия независимых опытов, в каждом из которых может произойти событие А с одной и той же вероятностью p. Опыты продолжаются до первого появления события А. Тогда случайная величина X. определяющая число неудач, предшествующих успеху . распределена по геометрическому закону.

Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, …, n. …, а вероятность каждого из этих значений определяется по формуле

Геометрическое распределение зависит от параметра p .

Замечание – Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность a1. a2 ,…, an ,…, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число, называемое знаменателем геометрической прогрессии q ,

Сумма бесконечно убывающей (q < 1) геометрической прогрессии .

Условие выполняется, так как принимая во внимание условие сходимости геометрического ряда . ( ) и формулу для его суммы, получаем

Ряд распределения случайной величины X. имеющей геометрический закон:

Для случайной величины, распределенной по геометрическому закону,

Пример 31 Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партии изделие и сразу проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер проверяет следующее изделие и т. д. Записать закон распределения случайной величины Xчисла стандартных изделий . проверенных до выявления брака.

Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0,06 может осуществиться событие A = <обнаружено нестандартное изделие>. В этом случае неудача – обнаружение стандартного изделия, успех – обнаружение нестандартного изделия. Случайная величина X – число стандартных изделий, проверенных до выявления брака, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3, …, m. …. По условию p = 0,06, q = 1 – 0,06 = 0,94.

Вероятности значений определяются по формуле (24):

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено сразу же при проверке первого изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака . будет равно 0);

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке второго изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака . будет равно 1);

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке третьего изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака . будет равно 2) и т. д.

Закон распределения можно записать в виде . или в виде ряда распределения случайной величины X :

Для случайной величины, распределенной по геометрическому закону,

Пример 32 На основании данных примера 31з аписать закон распределения случайной величины Xчисла проверенных изделий до выявления брака.

Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0,06 может осуществиться событие A = <обнаружено нестандартное изделие>. В этом случае неудача – обнаружение стандартного изделия, успех – обнаружение нестандартного изделия. Случайная величина X – число проверенных изделий до выявления брака, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, …, m ,…. По условию p = 0,06, q = 0,94.

Вероятности возможных значений определяются по формуле (25):

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено сразу же при проверке первого изделия и партию задержат);

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке второго изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 1);

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке третьего изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 2) и т. д.

Закон распределения рассмотренной случайной величины можно записать в виде . или в виде ряда распределения случайной величины X :

Пример 33 Производится подбрасывание игрального кубика до первого выпадения шести очков. Какова вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором подбрасывании игрального кубика?

Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 1/6 может осуществиться событие A = <выпадение шести очков>. В этом случае неудача – выпадение любого числа от 1 до 5, успех – выпадение шести очков. Случайная величина X – число подбрасываний игрального кубика до выпадения шестерки, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, …, m ,…. Вероятность успеха p = 1/6, вероятность неудачи q = (1 – 1/6) = 5/6.

Вероятности появления шестерки при втором подбрасывании кубика определим по формуле (25):

(то есть шестерка появится при втором подбрасывании кубика . при этом при первом подбрасывании появится любое число от 1 до 5).

Закон распределения рассмотренной случайной величины можно записать в виде .

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Геометрическое распределение. Примеры

Геометрический закон распределения имеет место в таких науках как микробиология, генетика, физика. На практике эксперимент или опыт осуществляют до первого появления успешной события А. Число проведенных попыток будет целочисленной случайной величиной 1,2. Вероятность появления события А в каждом опыте не зависит от предыдущих и составляет p, q=1-p. Вероятности возможных значений случайной величины Х определяется зависимостью

Есть во всех предыдущих опытах кроме k -го експернимент дал плохой результат и только в k -му был успешным. Данную формулу вероятностей называют геометрическим законом распределения, поскольку правая его часть совпадает с выражением общего элемента геометрической прогрессии.

В табличной форме геометрический закон распределения имеет вид

При проверке условия нормировки используется формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

Вероятностную образующую функцию выражаем по формуле

Поскольку то образующую функцию можно просуммировать

Числовые характеристики для геометрического закона распределения вероятностей определяют по формулам:

1. Математическое ожидание

2. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение по формулам

3. Коэффициент асимметрии и эксцесса для геометрического распределения определяют по формуле

Среди дискретных случайных величин только геометрическому закону дано свойство отсутствия последействия. Это означает, что вероятность появления случайного события в k -ом эксперименте не зависит от того, сколько их появилось до k -го, и всегда равна p.

Пример 1. Игральная кость подбрасывается до первого появления цифры 1. Определить все числовые характеристики М (Х), D (X), S (Х), A(X), E(X) для случайной величины Х числа осуществляемых подбрасываний.

Решение. По условию задачи случайная величина Х вляется целочисленной с геометрическим закон распределения вероятностей. Вероятность успешного подбрасывания величина постоянная и равна единице разделенной на количество граней кубика

Имея p,q необходимые числовые характеристики Х находим по приведенным выше формулам

Пример 2. Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равна 0,65. Стрельба по мишени ведется до первого попадания.

Определить числовые характеристики М (Х), D (X), S (Х), A(X), E(X) числа израсходованных охотником патронов.

Решение. Случайная величина Х подчиняется геометричниму закона распределения поэтому вероятность попадания в каждой попытке постоянна и составляет p=0,65;q=1-p=0,35.

По формулам вычисляем математическое ожидание

среднее квадратическое отклонение

Вычисление числовых характеристик для геометрического закона распределения не так сложны, поэтому пользуйтесь приведенным формулам в подобных задачах и получайте только правильные результаты.

Теория вероятностей

Геометрическое распределение

3.4. Гипергеометрическое распределение

Пусть в урне N шаров, из них n белых, остальные черные. Случайно отбирают m шаров, причем отобранный шар перед отбором следующего не возвращается обратно (поэтому формула Бернулли неприменима).

Пусть — число белых шаров среди отобранных. Очевидно, это дис­крет­ная случайная величина. Ее возможные значения:

Как известно, вероятность того, что из m отобранных шаров ровно k белых равна

Эта формула определяет распределение случайной величины k. называемое гипергеометрическим. Оно характеризуется тремя пара­мет­рами: N, m, n. Пример построения гипергеометрического закона распре­де­ления приведен на стр. 40.

Закон равномерного распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения Х. плотность вероятностей постоянна и равна

Графики плотности вероятностей равномерно распределенной слу-чайной величины Х и функции распределения F(x) показаны на рисунке.

Геометрическое распределение

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожи-дание Х и половину ширины области возможных значений случайной величины.

Дисперсия закона равномерного распределения

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал . принадлежащий . равна

Пример. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Найти среднее зна-чение времениожидания поезда, его дисперсию и вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной поезд не более 0,5 мин.

Решение. Пусть Т — время ожидания поезда. Это непрерывная слу-чайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,2). Следова-тельно,

Пример. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти ве-роятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,05.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как непре-рывную случайную величину X. распределеннуюравномерно в интервале между двумя соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина ин-тервала в котором заключены возможные значения X. равна 0,2. Поэтому плотность равномерного распределения вероятностей вне этого интервала

Ошибка округления превышает 0,05, если она заключена в интервале

Геометрическое распределение
Главная | О нас | Обратная связь

Геометрический закон распределения (геометрическое распределение) дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина распределена геометрически. если она принимает значения 1,2,…m …(бесконечное, но счетное количество раз) с вероятностями, находящимися по формуле общего члена геометрической прогрессии:

Геометрическое распределение

Случайная величина X = m. распределенная геометрически, представляет собой число испытаний (m ) до первого положительного исхода.

Составим ряд распределения:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной геометрически, вычисляются по формулам:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4‒х выстрелов.

Составить закон распределения числа выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле равна p = 0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду числа выстрелов.

Составим закон распределения числа выстрелов:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

1. Математическое ожидание:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

3. Среднее квадратическое отклонение:

Геометрическое распределение

4. Геометрическое распределение так как при m = 1 вероятность максимальная, она составляет: p = 0,7.

Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Случайная величина X — число сделанных выстрелов — имеет геометрическое распределение с параметром p =0,6. Ряд распределения X имеет вид:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов:

Распределение Пуассона дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0,1,2…mn …, бесконечное, но счетное число раз, с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона:

Геометрическое распределение

Закон распределения примет вид:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение ,

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны параметру Пуассона.

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность изготовления бракованной детали p = 0,0001.

Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено 5 бракованных деталей.

Обозначим n = 100 000, k = 5, p = 0,0001. События, состоящие в том, что отдельная деталь бракована, независимы, число испытаний n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона:

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Устройство состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002.

Найти математическое ожидание Геометрическое распределение. дисперсию Геометрическое распределение. среднее квадратическое отклонение Геометрическое распределение и моду Геометрическое распределение .

X ‒ случайная величина ‒ число отказавших за время t элементов.

Геометрическое распределение. Геометрическое распределение. Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона.

Составим закон распределения Пуассона:

Геометрическое распределение

6.3. Геометрическое распределение

Пусть производится стрельба по заданной мишени до первого попадания, при этом вероятность p попадания в цель в каждом выстреле одна и та же и не зависит от результатов предыдущих выстрелов. Другими словами, в рассматриваемом опыте осуществляется схема Бернулли. В качестве случайной величины X будем рассматривать число произведенных выстрелов. Очевидно, что возможными значениями случайной величины X являются натуральные числа: x1 =1, x2 =2, … тогда вероятность того, что понадобится k выстрелов будет равна

Полагая в этой формуле k =1,2, … получим геометрическую прогрессию с первым членом p и множителем q :

Геометрическое распределение.

По этой причине распределение, определяемое формулой (6.11) называется геометрическим .

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, легко убедится, что

Геометрическое распределение.

Найдем числовые характеристики геометрического распределения.

По определению математического ожидания для ДСВ имеем

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение.

Дисперсию вычислим по формуле

Геометрическое распределение.

Для этого найдем

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение.

Итак, математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения равна

6.4.* Производящая функция

При решении задач, связанных с ДСВ, часто используются методы комбинаторики. Одним из наиболее развитых теоретических методов комбинаторного анализа является метод производящих функций, который является одним из самых сильных методов и в применениях. Кратко познакомимся с ним.

Если случайная величина  принимает только целые неотрицательные значения, т.е.

Геометрическое распределение,

то производящей функцией распределения вероятностей случайной величины  называется функция

где z – действительная или комплексная переменная. Отметим, что между множеством производящих функций (x ) и множеством распределенийk )>существует взаимно однозначное соответствие .

Пусть случайная величина  имеет биномиальное распределение

Геометрическое распределение.

Тогда, используя формулу бинома Ньютона, получим

Геометрическое распределение,

т.е. производящая функция биномиального распределенияимеет вид

Добавление.Производящая функция распределения Пуассона

Геометрическое распределение

Производящая функция геометрического распределения

Геометрическое распределение

При помощи производящих функций удобно находить основные числовые характеристики ДСВ. Например, первый и второй начальный моменты связаны с производящей функцией следующими равенствами:

Метод производящих функций часто бывает удобен тем, что в некоторых случаях функцию распределения ДСВ очень трудно определить, тогда как производящую функцию порой легко найти. Например, рассмотрим схему последовательных независимых испытаний Бернулли, но внесем в нее одно изменение. Пусть вероятность осуществления события A от испытания к испытанию меняется. Это означает, что формула Бернулли для такой схемы становится неприменимой. Задача нахождения функции распределения в таком случае представляет значительные трудности. Однако для данной схемы легко находится производящая функция, а, следовательно, легко находятся и соответствующие числовые характеристики.

Широкое применение производящих функций основано на том, что изучение сумм случайных величин можно заменить изучением произведений соответствующих производящих функций. Так, если 1. 2. …, n независимы, то

Пусть pk =Pk (A ) – вероятность «успеха» в k -м испытании в схеме Бернулли (соответственно, qk =1–pk – вероятность «неуспеха» в k -м испытании). Тогда, в соответствие с формулой (6.19), производящая функция будет иметь вид

Пользуясь данной производящей функцией, можем написать

Геометрическое распределение.

Здесь учтено, что pk+qk =1. Теперь по формуле (6.1) найдем второй начальный момент. Для этого предварительно вычислим

Геометрическое распределение.

В частном случае p1 =p2 =…=pn =p (т.е. в случае биномиального распределения) из полученных формул следует, что M=np. D=npq.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *