Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны9raquo; и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятностьсобытия А определяется отношением:
Геометрическое определение вероятности.
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r ( Геометрическое определение вероятности ). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок Геометрическое определение вероятности. Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. Геометрическое определение вероятности. или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. Геометрическое определение вероятности .

Для искомой вероятности получаем: Геометрическое определение вероятности .

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

Геометрическое определение вероятности (2) где m-число появлений события, n-общее число испытаний. Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

Геометрическое определение вероятности

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события. Геометрическое определение вероятности

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема.Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Геометрическое определение — вероятность

Геометрическое определение вероятности является весьма специфичным.  [1]

Геометрическое определение вероятности удобно использовать тогда, когда в результате испытания возможно появление любого из бесконечного набора случаев. Множество исходов испытания интерпретируется некоторым множеством точек.  [2]

Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов ( возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.  [3]

Геометрическое определение вероятности пригодно не только для плоскости, но и для прямой или пространства. В первом случае основой испытания служит некоторый отрезок, случайным событиям соответствуют части этого отрезка, и вероятность вычисляется как отношение длины этой части к длине всего отрезка. Во втором случае испытание проводится в некотором кубе, случайным событиям соответствуют различные тела, расположенные в этом кубе, и вероят-ность равна отношению соответствующих объемов.  [4]

В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области О равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.  [5]

Если же вспомнить геометрическое определение вероятности. то мы столкнемся с событиями, вероятность которых даже равна 1 и которые, тем не менее, в отдельном испытании могут не произойти.  [6]

Можно сказать, что геометрическое определение вероятности является, по сути дела, обобщением классического определения на случаи, когда число исходов бесконечное и подсчету не поддается.  [7]

Это определение обычно называют геометрическим определением вероятности.  [8]

В ряде случаев можно воспользоваться геометрическим определением вероятности. сущность которого выясняется следующим примером.  [9]

Поскольку мы уже упомянули о геометрическом определении вероятности. рассмотрим его в качестве простейшего примера недискретной случайной величины. Возьмем за основу испытания отрезок [0,1] некоторой числовой оси и будем в нем выбирать случайнуюточку.  [10]

Согласно формуле ( 1) имеем геометрическое определение вероятности. под вероятностью события А понимается отношение меры I множества элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновозможньг.  [11]

К описанию такой ситуации было приспособлено геометрическое определение вероятности. Пусть Q является квадрируемой областью плоскости.  [12]

Мы будем исходить в первую очередь из объективистской позиции и использовать классическое и геометрическое определения вероятности. а там, где это невозможно, частотное определение.  [13]

Теперь продемонстрируем правило сложения вероятностей несовместных событий для некоторой ситуации, когда используется геометрическое определение вероятности.  [14]

До сих пор мы сначала вычисляли вероятность того или иного случайного события ( опираясь на классическое либо геометрическое определение вероятности и используя равновозможность элементарных исходов), а уже потом обращались к эксперименту, убеждаясь на практике, что частота появления данного события в достаточно больших сериях испытаний колеблется вблизи вероятности события. При этом отклонения частоты от вероятности в ту или другою сторону оказываются тем меньше, чем больше число испытаний в серии.  [15]

Страницы:    9ensp;9ensp;1  9ensp;9ensp;2

Поделиться ссылкой:

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 150601.65, 160301.65, 220301.65, 230102.65. Указания выделяют основные понятия темы и определяют последовательность изучения материала.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что его нельзя применить к испытаниям с бесконечным числом исходов. По классической схеме испытания число возможных исходов испытания должно быть конечным. Этот недостаток можно преодолеть, если ввести понятие геометрического определения вероятности.

Рассмотрим геометрическую схему испытания. результат испытания определяется случайным положением точки в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможны. Геометрическая вероятность тогда определяется как вероятность попадания точки в некоторую область: одномерную (например, отрезок прямой, длина дуги и т.п.), двумерную (площадь некоторой фигуры) или трехмерную (объем некоторого тела в пространстве).

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (размера) области, благоприятствующей появлению события А. к мере (размеру) всей области:

где G – размер (длина, площадь или объем) всей области, G0 – размер той части области, попадание в которую благоприятствует данному событию.

ПРИМЕР 1. На отрезке длиной40 см помещен отрезок длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

Решение. Вероятность попадания точки на меньший отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно большого отрезка. Тогда:

ПРИМЕР 2. В квадрат вписан круг радиусом r. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, окажется внутри круга.

Решение. Площадь квадрата S =4r 2 ; площадь круга S0 =&#&60;r 2. Тогда:

ПРИМЕР 3. Два друга условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 ч. и ждет в течение 30 мин. Если один из них к этому времени еще не пришел или уже успел уйти, то встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. Обозначим моменты прихода двух друзей через х и у. По условию: или (если за начало отсчета взять 11 ч.). Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис.1).

5. Геометрическое определение вероятности. Примеры.

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности .

Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.

Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной.

Пример. В круг радиуса R=50 бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат.

Решение. P(A) = Геометрическое определение вероятности = Геометрическое определение вероятности; ( R = Геометрическое определение вероятности; a = Геометрическое определение вероятности)

6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В — совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В — несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В.

А + В = В + А – коммутативность сложения.

А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность сложения.

А(В + С) = (А+В)(А+С) – законы дистрибутивности.

1) Событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие В – попадание в цель при втором выстреле, тогда событие С = А + В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

2) Если событие А – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то С = А + В есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

7. Теорема сложения вероятностей (с доказательством) и ее следствия. Примеры. 8 Произведение событий и его свойства.

Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности

9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры

Вероятность Р(В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается РА(В), или Р(В/А), или Р(В/А).

Теорема Умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

В противном случае, если РА(В) не равно Р(В) событие В называется зависимым от А.

Несколько событий А,В,М… называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимо любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события А,В,М называются зависимыми.

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

10. Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть события H1. H2 ,K, Hn образуют полную группу попарно несовместных событий. Такие события называются гипотезами. Пусть событие A происходит вместе с гипотезами H1. H2 ,K, Hn. Тогда для вероятности события A справедлива формула

Что и требовалось доказать.

Пример. На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году – с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе – в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов?

Решение. Другими словами, нужно вычислить вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом. Обозначим следующие события: A воздействие вредных выбросов, H1 ветер дует с севера,H2 ветер дует с запада. По условию имеем

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности

Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.

Краткая теоретическая часть.

Сущность геометрического определения вероятности.

Еще в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность «классического» определения вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо бесконечное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие «равновероятности» некоторых событий.

Общая задача, которая ставилась и привела к расширению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом.

Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g с квадрируемой границей. В область G наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выражению «точка бросается наудачу в область G » придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G. вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Таким образом, по определению, вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область G равна .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Задача о встрече.

Два лица А и В условились Встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы .

Будем изображать хOу как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече — расположатся в заштрихованной области (рис. 2.1).

Искомая вероятность равна отно­шению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

Пример 2. Задача Бюффона.

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу бросается игла длины 2l(l≤a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Обозначим через х расстояние от центра до ближайшей параллели и через —угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины х и полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами a и . Из рис. 2.2. видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы .

Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 2.3. области к площади прямоугольника

Заметим, что задача Бюффона являлась исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры снаряда

1. Применимо ли геометрическое определение вероятности, если число исходов опыта бесконечно?

2. Пусть на плоскости имеется некоторая область G с квадрируемой границей и в ней содержится подобласть g. В область G наудачу бросается точка. Определить, какова вероятность того, что точка попадет в подобласть g. Выберите условия, выполнение которых необходимо для того, чтобы эту задачу можно было бы решить с использованием геометрического определения вероятности.

а) Точка может попасть в любую точку области G с равной вероятностью

б) Вероятность попадания брошенной точки в каждую точку области G определяется по некоторому закону и необязательно одинакова

в) Вероятность попадания точки в подобласть g зависит от ее формы и расположения

г) Вероятность попадания точки в подобласть g не зависит от ее формы и расположения

д) Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.)

е) Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G не пропорциональна мере этой части

3. Если выполняются все необходимые условия для применения геометрического определения вероятности, то вероятность попадания в подобласть g при бросании наудачу точки в область G равна:

а) P = mes g / mes G

б) P = mes G / mes g

д) P = mes G — mes g

е) P = mes g mes G

4. В чем заключается основное преимущество геометрического определения вероятности над классическим?

б) Возможность применения в случае бесконечного числа исходов опыта

в) Нет необходимости в том, чтобы исходы опыта были равновозможны

г) Никаких преимуществ нет, эти определения полностью эквивалентны

5. Какую из следующих задач нельзя решить с использованием геометрического определения вероятности?

а) В большой лекционной аудитории объема V летает комар. Один из студентов выпустил струю газа инсектицида из баллончика, в результате чего образовалось облако объема v. Какова вероятность того, что комар попадет в это облако, если нахождение его в любой точке аудитории равновероятно и вероятность попадания в любую подобласть аудитории пропорциональна размерам этой подобласти.

б) В лужу площади S падает камушек. Определить вероятность того, что камушек упадет на монетку, лежащую на дне, если и камушек, и монетка рассматриваются как материальные точки, расположение монетки в луже известно заранее, а попадание камушка в любое место лужи равновозможно.

в) В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r.Определить вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

г) Все задачи можно решать с использованием геометрического определения вероятности.

д) Ни к одной из перечисленных задач геометрическое определение неприменимо.

Решение типовых задач

Пример 2.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал l расположены оси одинаковых вертикальных цилиндров с радиусом основания г. Под углом q к прямой бросается шар радиуса R. Определить вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение линии движения центра шара с прямой АВ равновозможное в любой точке.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что произойдет столкновение шара с цилиндром. Пусть х — расстояние от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению перемещения центра шара. Возможные значения x определяются условиями (рис.1):

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности

Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если Геометрическое определение вероятности .

Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения x .

Геометрическое определение вероятности

Пример 2.2. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй — записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможные в любой точке от 0 до 180 м.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи. Пусть x и у — координаты начала записей, причем . Так как . то областью возможных значений x и у является, треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника .

Найдем область значений x и у. благоприятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись, необходимо выполнение неравенства . Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть . Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85м должно быть . .

Геометрическое определение вероятности Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значения x и y заключены в треугольнике, площадь которого Геометрическое определение вероятности (рис. 2). Искомая вероятность равна отношению площади SБ . попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области S возможных значений x и у. т. е. Геометрическое определение вероятности .

Пример 2.3. В любые моменты промежутка времени Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше Геометрическое определение вероятности. Определить вероятность того, что приемник будет забит.

Геометрическое определение вероятности Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что приемник будет забит.

Пусть x и у — моменты поступления сигналов в приемник.

Областью возможных значений x. у является квадрат площадью T 2 (рис. 3). Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямыми и .

Ее площадь . поэтому .

Пример 2.4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше ?

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше . Пусть x и у — взятые числа. Их возможные значения . . что на плоскости соответствует квадрату с площадью S =1. Благоприятствующие значения удовлетворяют условиям: и .

Геометрическое определение вероятности Граница Геометрическое определение вероятности делит квадрат пополам, причем область Геометрическое определение вероятности представляет собой нижний треугольник (рис. 4).

Вторая граница является гиперболой. Абсциссы точек пересечения этих границ: и . Величина благоприятствующей площади . Искомая вероятность .

2.4. Задачи для самостоятельной работы

2.1. В точке С. положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки A на расстояние, не меньшее l .

2.2. На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

2.3. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R. если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

2.4. Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2h. расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска перпендикулярна отрезку. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно l .

2.5. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

2.6. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k =1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки:

а) в круг радиуса 2r ;

б) в заштрихованную область.

2.7. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судком курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин. после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.

2.8. На отрезке длиной l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше kl. где Геометрическое определение вероятности ?

2.9. На отрезке АВ длиной l наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М. чем к точке А .

2.10. На отрезке длиной l наудачу ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник.

2.11. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго — два часа.

2.12 Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t .

2.13. Два судна в тумане: одно идет вдоль пролива шириной L. а другое курсирует без остановок поперек этого пролива перпендикулярно курсу первого. Скорости движения судов соответственно равны и . Второе судно подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоя­нии d < L. Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива.

2.14. Стержень длиной l =200мм наудачу ломается на части. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня между точками излома будет не более 10 мм, если точек излома

б) три, причем излом стержня равновозможен в любом месте.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *