Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим функцию у=f(x) и соответствующей ей кривую.

Возьмем на кривой у = f(x) произвольную точку М (х;y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через угол, который касательная образует с положительным направлением оси ОХ. Дадим независимому переменному приращение . тогда функция получит приращение . Значениям . на кривой будет соответствовать точка . Из находим: . т.к. . то . но согласно определению дифференциала . таким образом .

Последнее равенство означает, что дифференциал функции . соответствующий данным значениям х и . равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке х.

2. Найти приближенные значения функции при исходя из ее точного значения при .

Практические занятия к теме 5.

1. Найти производные следующих функций:

А) Вводя дробные и отрицательные показатели, будем иметь:

Применяя правило дифференцирования степеней функции, получим

Б) применяя правило дифференцирования произведения 2-х функций, находим

В) применяем правило дифференцирования дроби,

Если у является функцией от переменной u, a переменная u в свою очередь является функцией от переменной х, т. е. и . то функция называется функцией от функции или сложной функции. Переменная и в этом случае называется промежуточным аргументом. Например, функция является сложной функцией; эту функцию можно представить как: где

Производная сложной функции . где по аргументу х равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу u на производную функции u(x) по независимой переменной х, т. е.

2) Найти производные следующих функций:

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства.

Таблица неопределенных интегралов.

Определение: Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x)=f(x).

Например, найти первообразную от функции f(x) = х 2. Из определения первообразной следует, что

Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной. Так в предыдущем примере можно взять в качестве первообразных следующие функции:

(C – произвольная постоянная), т.к.

С другой стороны, можно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции х 2 .

Определение: Если функция F(x) является первообразной для f(x). то совокупность всех первообразных F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символами ∫f(x)dx .

Таким образом, по определению ∫f(x)dx = F(x) + C. если F’(x)=f(x) .

При этом функцию f(x) называют подинтегральной функцией . f(x)dx – подинтегральным выражением . знак ∫- знаком интеграла .

3.Дифференциал функции.Аналитический и геометрический смысл дифференциала

Дифференциалфункции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента) и обознвчается dy

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции,в общем случае отличаясь от приращения функции ,представляет собой главную часть этого приращения ,линейную относительно приращения аргумента.В этом заключается аналитический смысл дифференциала

Дифференциал функции является приращением ординаты касательной( АВ), которое соответствует приращению  х (МВ) абсциссы. В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Дифференциалом называют приращение аргумента,т.еdx= Δx

4.Первообразная функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов.

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a,b), если она дифференцируема на этом интервале и в каждой его точке

Множество всех первообразных некоторой функции f (x ) называется неопределенным интегралом функции f (x ) и обозначается как

Геометрический смысл дифференциала

Функция f(x) называется подынтегральной функцией ,f(x)dx- подынтегральным выражением

Если F(x)- какая-нибудь первообразная функции f(x),то

Геометрический смысл дифференциала

где С — произвольная постоянная.

Свойства неопр интеграла :

Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Геометрический смысл дифференциала

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Геометрический смысл дифференциала

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Геометрический смысл дифференциала

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

Геометрический смысл дифференциала

Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл.

Разность F(b)-F(a) или значение приращения любой первообразной от данной функции f(x) при изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом функции f(x) в пределах от а до b.

это формула Ньютона-Лейбница

Свойства определенного интеграла. 1. Определенный интеграл с равными пределами равен нулю: baf(x)dx= 0 2. При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную: abf(x)dx= —baf(x)dx 3. Если отрезок интегрирования [a,b] разделен на конечное число nчастичных отрезков [a,x1 ], [x1 ,x2 ],…. [xn-1 ,b], то определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b]равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков (свойств аддитивности): a ∫ b f(x) dx= a ∫ x 1 f(x) d x + x1 ∫ x 2 + …….xn-1 ∫ b f(x) dx 4. a ∫ b kf (x)dx = ka ∫ b f(x) dx. где k- постоянный множитель 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на отрезке [a,b], равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций на данном отрезке. a ∫ b [f1 (x)+f2 (x)+….+fn (x)]dx =a ∫ b f1 (x)dx+a ∫ b f2 (x)dx +…..a ∫ b fn (x)dx Геометрический смысл определенного интеграла. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y=f(x), снизу –осью абцисс, слева-прямой линиейx=a, а справа – прямой линией x=b, называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осенью абцисс и прямыми линиями x=a и x=b,численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке [a,b]. В этом и заключается геометрическая интерпретация .

6.Понятие дифференциального уравнения. Порядок уравнения, общее и частное решение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, алгоритм их решения.Понятие дифференциального уравнения. Уравнение, в общем случае связывающее искомую функцию y=f(x), ее аргумент x, а также производные различных порядков этой функции. называется обыкновеннымдифференциальным уравнением. F( x, y, y’, y»,……,y ( n ) )=0 Порядок уравнения, общее и частное решение дифференциального уравнения. Порядкомдифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. F(x,y,y‘)=0Общим решением дифференциального уравнения называется функция. удовлетворяющая двум условиям: во-первых, эта функция должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению, т.е. при подстановке в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения.

Общее решения дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид. y=F(x,C1,C2,…,Cn)

Общее решение дифференциального уравнения 1_ого порядка имеет вид. y=F(x,С)

В отличие от общего решения дифференциального уравнения его частным решением называют всякую функцию, удовлетворяющую данному уравнению, но не содержащую произвольных постоянных. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, алгоритм их решения .

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид ___________________ ,причем его правая часть может быть представлена в виде произведения двух отдельных функций :_______________________________________________________________ .Тогда:

Можно преобразовать это уравнение ,разделив переменные справа и слева ;

Общий вид уравнения с разделенными переменными :

Уравнение решается непосредственным интегрированием :слева по переменной y и справа по переменной х с прибавлением постоянной С .

Решая это уравнение найдем ответ :

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Геометрический смысл дифференциала

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

Геометрический смысл дифференциала

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

ифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

Геометрический смысл дифференциала

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Пусть, как в предыдущем параграфе, — сложная функция, в которой — промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций и . то есть дифференциалы величины . вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат .

В случае а) дифференциал равен

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных теперь стоят дифференциалы функций . Это свойство называетсяинвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

можно применять, не заботясь о том, являются ли независимыми или же промежуточными переменными.

Пусть y = f (x ) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f. которая обозначается в виде

Аналогично, если f » существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f :

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет непрерывную производную порядка . Множество таких функций, определённых в области обозначается . означает, что для любого . а означает, что — аналитическая.

Например, — множество непрерывных на функций, а — множество непрерывно-дифференцируемых на функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция принадлежит классу . где — целое неотрицательное число и . если имеет производные до порядка включительно и является гёльдеровской с показателем .

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».

Дифференциалом порядка n. где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1). то есть

Содержание [убрать] · 1 Дифференциал высшего порядка функции одной переменной · 2 Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных · 3 Неинвариантность дифференциалов высшего порядка · 4 Дополнения · 5 Литература

[править]Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n -го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от . которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

[править]Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n -го порядка от функции выглядит следующим образом:

где . а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При . -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и :

· если — независимая переменная, то

С учётом зависимости . уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Содержание [убрать] · 1 Определение · 2 Связанные определения · 3 Свойства o 3.1 Формула Тейлора o 3.2 Различные формы остаточного члена · 4 Ряды Маклорена некоторых функций · 5 Формула Тейлора для функции двух переменных · 6 См. также · 7 Литература

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

· В случае, если . этот ряд также называется рядом Макло́рена .

· Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

· Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки . · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при .

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша ).

[править]Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В интегральной форме:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки

· И производную в самой точке . тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

[править]Ряды Маклорена некоторых функций

· Натуральный логарифм: для всех

· Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где

· Квадратный корень: для всех

· Конечный геометрический ряд: для всех

· Тангенс: для всех где — Числа Бернулли

· Секанс: для всех где — Числа Бернулли

· Арксинус: для всех

· Арктангенс: для всех

[править]Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет

где — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной . поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

· Пусть функция дифференцируема раз в точке и . а .

Если чётно и . то — точка локального максимума. Если чётно и . то — точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

График функции y =f(x) называется выпуклым на интервале (a; b). если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y =f(x) называется вогнутым на интервале (a; b). если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры.

  1. Полуокружность выпукла на [–1; 1].
  2. Парабола y = x 2 вогнута на интервале (-∞; +∞).
  3. График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; &#&60; ], выпуклый в интервале (0; &#&60; ) и вогнутый в (&#&60; ; 2&#&60; ).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y =f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f »(x ) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f »(x ) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f »(x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a ; b ) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x0 ) преобразуем по теореме Лагранжа . где c между x и x0 .

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: . где c1 между c0 и x0 . По условию теоремы f »(x ) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a ; b ), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x0 ) = 0 или f »(x0 ) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f »(x ) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f »(x ) < 0 при x < x0 и f »(x ) > 0 при x > x0 . Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A. лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x ) > 0 при x < x0 и f »(x ) < 0 при x > x0 .

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Дифференциал функции, его геометрический смысл

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину Геометрический смысл дифференциала (см. рисунок).

Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

Дифференциал, Геометрический смысл дифференциала является главной, линейной относительно Геометрический смысл дифференциала частью приращения функции; чем меньше Геометрический смысл дифференциала. тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях Геометрический смысл дифференциала (и при Геометрический смысл дифференциала ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью Геометрический смысл дифференциала. т.е.

Геометрический смысл дифференциала

О разных формах записи дифференциала

Дифференциал функции в точке x и обозначают

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а Геометрический смысл дифференциала — наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

Геометрический смысл дифференциала (С – постоянная величина) (5)

Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на Геометрический смысл дифференциала .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное во втором параграфе приближенное равенство

Геометрический смысл дифференциала

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность Геометрический смысл дифференциала приближенного числа Геометрический смысл дифференциала равна абсолютной величине разности между точным числом Геометрический смысл дифференциала и его приближенным значением:

Относительной погрешностью Геометрический смысл дифференциала приближенного числа Геометрический смысл дифференциала называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

Если точное число неизвестно, то

Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина Геометрический смысл дифференциала была достаточно малой по сравнению с Геометрический смысл дифференциала. так как чем меньше Геометрический смысл дифференциала. тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина Геометрический смысл дифференциала вычислялась просто.

24. Приложение дифференциала функции к приближенным вычислениям

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Понятие дифференциала подсказывает, что если какой-Либо процесс по характеру своего изменения близок к линейному, то приращение функции мало отличается от дифференциала. Кроме того, если функция имеет конечную производную в некоторой точке х, то ее приращение и дифференциал также бесконечно малы при Геометрический смысл дифференциала. стремящемся к нулю:

Геометрический смысл дифференциала ,

Так как дифференцируемая функция непрерывна,

Геометрический смысл дифференциала

Потому что произведение ограниченной функции на бесконечно малую при DX, стремящемся к нулю, есть функция бесконечно малая.

Более того, эти две бесконечно малые функции при Геометрический смысл дифференциала эквивалентны:

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Эквивалентность Геометрический смысл дифференциала и Геометрический смысл дифференциала дает возможность при малых приращениях аргумента приближенно считать

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Что может дать эта формула? Пусть в некоторой точке Геометрический смысл дифференциала сравнительно просто вычисляются значения Геометрический смысл дифференциала и Геометрический смысл дифференциала. Тогда в другой точке Геометрический смысл дифференциала. отстоящей недалеко от Геометрический смысл дифференциала. возможно представление :

Здесь остается открытым вопрос о точности получаемого результата. Это обстоятельство снижает ценность данной формулы приближенного вычисления, но в основном она полезна и широко применяется на практике.

Рассмотрим пример. В прямоугольном треугольнике катеты a=5 м и b=12 м. Какой будет гипотенуза этого треугольника, если катет a уменьшить на 0,2 м (рис. 11.5, a)?

Найдем первоначальную длину гипотенузы:

Геометрический смысл дифференциала .

После уменьшения катета a на 0,2 м гипотенуза будет равна (рис. 11.5, a)

Геометрический смысл дифференциала

Применим теперь формулу (11.16) для приближенного нахождения с в связи с уменьшением катета a, рассматривая функцию Геометрический смысл дифференциала вида:

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала ;

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

В обоих случаях мы получили приближенное значение искомой величины. Но в первом случае погрешность возникает в результате приближенных вычислений, а во втором, сравнительно более простом, – В связи с применением приближенной формулы (к ней также может добавиться погрешность, вызванная приближенными вычислениями). Отметим, что при уменьшении катета a На 0,2 м гипотенуза с уменьшилась примерно на 0,08 м, а полученные нами приближенные значения при этом отличаются лишь на 0,001 м.

Рассмотрим другую ситуацию: в этом же треугольнике уменьшим гипотенузу с на 0,2 м, оставив катет b без изменения (рис. 11.5, б). Определим, как в этом случае изменится катет A:

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

25.Приложение производной к исследованию функций и построению графика

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках [a; c] и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке [a; b] не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f ‘(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х1 = 1/3, х2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f ‘(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

26.Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство Геометрический смысл дифференциала для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство Геометрический смысл дифференциала. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается Геометрический смысл дифференциала .

Выражение Геометрический смысл дифференциала называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетсянеопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Геометрический смысл дифференциала
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Геометрический смысл дифференциала
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. Геометрический смысл дифференциала. где k – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Геометрический смысл дифференциала
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Геометрический смысл дифференциала

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

· первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

· второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Найти первообразную функции Геометрический смысл дифференциала. значение которой равно единице при х = 1.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что Геометрический смысл дифференциала (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, Геометрический смысл дифференциала. По второму свойству Геометрический смысл дифференциала. То есть, имеем множество первообразных Геометрический смысл дифференциала. При х = 1 получим значение Геометрический смысл дифференциала. По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид Геометрический смысл дифференциала .

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

где t — параметр (в случае уравнения (10.15) параметром служит x ), и существуют конечные пределы

то говорят, что прямые стремятся приt t0к предельному положению — к прямой, уравнением которой является уравнение

Для того чтобы секущая (10.15) при x 0 стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел ( y/x ), т. е. чтобы существовала конечная производная. При этом уравнение предельного положения секущей, которое называется касательной к графику функции f в точке M0. имеет вид

Отметим, что из непрерывности функции f в точке x0 следует, что y = 0, а поскольку
|M0M | = ( x 2 + y 2 ) 1/2. то и |M0M | = 0, т. е. точка M «стремится к точке M0 » по графику функции f .
Вспомнив геометрический смысл коэффициента при xx0 в уравнении (10.17), получим

где — угол наклона касательной к оси OX (см. рис. 74). Обозначим ординату касательной через yкас ; тогда, положив xx0 = x. запишем уравнение касательной (10.17) в виде

В правой части этого равенства стоит дифференциал dy функции f в точке x0. Таким образом,

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *