Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

Периодические колебания называются гармоническими . если колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону косинуса или синуса:

Здесь — циклическая частота колебаний, A – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия (амплитуда колебаний ), &#&66;(t ) = &#&69;t+ &#&66;0фаза колебаний . &#&66;0начальная фаза .

График гармонических колебаний представлен на рисунке 1.2.

Гармонические колебания и их характеристики

Рисунок 1.2 – График гармонических колебаний

Используя теорему Эйлера (1.1), можно представить уравнение гармонических колебаний в экспоненциальной форме:

Физический смысл имеет только действительная часть выражения (1.6):

На представлении колеблющейся величины в форме (1.6) основан способ изображения гармонического колебания в виде векторной диаграммы (рис.1.3).

Гармонические колебания и их характеристики

Рисунок 1.3 – Векторная диаграмма гармонического колебания

Векторная диаграмма представляет собой вектор, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол &#&66; между вектором и осью Оx – фазе колебаний. Так как фаза меняется с течением времени по закону &#&66;(t ) = &#&69;t+ &#&66;0. то вектор вращается вокруг точки O с угловой скоростью &#&69;, равной круговой частоте гармонического колебания. При этом проекция вектора на ось Оx изменяется в соответствии с уравнением гармонических колебаний (1.5).

При гармонических колебаниях полная энергия системы (механическая энергия при механических колебаниях и энергия электромагнитного поля в электрическом колебательном контуре) с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна:

Гармонически колеблющаяся величина s (t ) подчиняется дифференциальному уравнению:

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Если какой-либо процесс описывается уравнением вида (1.7), то этот процесс представляет собой гармоническое колебаний с частотой &#&69;.

Собственные колебания некоторых физических систем (например, пружинного маятника или электрического колебательного контура) при определенных условиях являются близкими к гармоническим. При этом частота собственных колебаний определяется физическими параметрами системы (например, массой груза и упругостью пружины для пружинного маятника). Значения амплитуды и начальной фазы зависят от начальных условий в системе.

Кроме того, гармоническими будут вынужденные колебания, если они происходят в результате гармонического внешнего воздействия на колебательную систему. Частота вынужденных гармонических колебаний равна частоте внешнего воздействия, а амплитуда и фаза зависят как от внешнего воздействия, так и от физических параметров колебательной системы (см. раздел 1.2.3 «Вынужденные колебания»).

Следует также отметить, что любое колебание (даже непериодическое) можно представить как сумму гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами (разложить в ряд Фурье (1.3) или интеграл Фурье (1.4)). Зависимость амплитуд гармоник ряда или интеграла Фурье от частоты называется спектром колебательного процесса.

Затуханием называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. При механических колебаниях причиной затухания является действие сил трения и излучение энергии колебаний в окружающую среду в виде упругих волн. Свободные колебания всех реальных колебательных систем являются затухающими.

Рассмотрим затухающие колебания линейной системы. Система называется линейной . если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в линейной системе:

где &#&69; – циклическая частота незатухающих собственных колебаний системы, &#&48; (с -1 ) – коэффициент затухания.

Решение уравнения (1.8) имеет вид:

Здесь — амплитуда затухающих колебаний, — циклическая частота затухающих колебаний.

В экспоненциальной форме уравнение затухающих колебаний записывается как:

График затухающих колебаний приведен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – График затухающих колебаний

Промежуток времени &#&64;, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации :

называется логарифмическим декрементом затухания .

Еще одна характеристика системы, совершающей затухающие колебания, — ее добротность . равная:

где E (t ) – полная энергия системы в момент времени t. Чем выше добротность системы, тем медленнее происходит в ней процесс затухания колебаний. Можно показать, что:

При увеличении коэффициента затухания циклическая частота затухающих колебаний уменьшается, и при &#&48;≥ω процесс затухания становится апериодическим . выведенная из положения равновесия колебательная система постепенно (без колебаний) возвращается в него (рис. 1.5).

Рисунок 1.5 – Апериодическое затухание

Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.
Свободными. или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. (ПРИМЕРЫ Гармонические колебания и их характеристики )
Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний — гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебанияминазываются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса иликосинуса .
Уравнение гармонических колебанийимеет вид:

.
где A — амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; —круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса — называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная &#&66; представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания . Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.
Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы,называется периодом колебаний . Косинус — периодическая функция с периодом 2&#&60;, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2&#&60;, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.
Период гармонических колебаний равен . T = 2&#&60;/ .
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний &#&57;.
Частота гармонических колебаний равна: &#&57; = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) — одно колебание в секунду.
Круговая частота = 2&#&60;/T = 2&#&60;ν дает число колебаний за 2&#&60; секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) (рис.1.1.Б). (ПРИМЕР Гармонические колебания и их характеристики )

Гармонические колебания и их характеристики

Рисунок 1.1. Графическое изображение гармонических колебаний

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом &#&66; к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(&#&66;). Угол &#&66; и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью . равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
.
Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний &#&66;, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний &#&57;.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Колебательное движение. Гармонические колебания и их характеристики.

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы имеют широкое распространение в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника меняет свое положение координата его центра масс, при переменном токе меняют свои характеристики с определенной повторяемостью напряжение и ток в цепи. Колебательный процесс может имет различную физическую природу, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Но различные колебательные процессы характеризуются одинаковыми физическими параметрами и одинаковыми уравнениями. Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, которая совершает колебания. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Исследование гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, которые встречаются в природе и технике, часто имеют близкий к гармоническому характер ; 2) различные периодические процессы (процессы, которые повторяются через равные промежутки времени) можно представить как суперпозицию (наложение) гармонических колебаний. Гармонические колебания некоторой величины s описываются уравнением вида

Гармонические колебания и их характеристики

где &#&69;0 — круговая (циклическая) частота, А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, &#&66; — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (&#&69;0t+φ) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания, за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2&#&60;, т. е. Гармонические колебания и их характеристики. откуда Гармонические колебания и их характеристики .

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, &#&69; — циклическая частота колебаний, Гармонические колебания и их характеристики — полная фаза колебаний, Гармонические колебания и их характеристики — начальная фаза колебаний.

Гармонические колебания и их характеристики -Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Пружинный и математический маятники. Энергетические превращения при их колебаниях.

Существуюет системы, представляющие собой тело определенной массы, подвешенное на нити или стержне (например, качели, маятник часов, отвес). Моделью этих систем является математический маятник.

Математический маятник представляет собой тело, подвешенное на нити, размеры которого много меньше длины нити.Считается, что нить нерастяжима и не имеет массы, вся масса такого маятника сосредоточена в подвешенном к нити тела. При этом тело можно считать материальной точкой. Математический маятник совершает колебания под действием внутренних сил: силы тяжести и силы упругости. Колебания, происходящие под действием внутренних сил, называют свободными. Запишем уравнение колебаний математического маятника:

Гармонические колебания и их характеристики

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине. В этой модели маятника мы пренебрегаем массой пружины по сравнению с массой груза, деформацией тела по сравнению с деформацией пружины. Пружинный маятник будет совершать свободные колебания относительно положения равновесия под действием переменной силы. Соответственно в процессе движения изменяются и скорость, и ускорение аналогично тому, как это происходит с математическим маятником. Получим уравнение колебаний для пружинного маятника:

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики. Гармонические колебания и их характеристики. Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики
Главная | О нас | Обратная связь

Гармонические колебания и их характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Гармонические колебания и их характеристики

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, Гармонические колебания и их характеристики &#&69; — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, фи — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Гармонические колебания и их характеристики

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Потенциальная энергия колеб.

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Пружинный, физический и математический маятники.

1. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

Из формулы (1) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(&#&69;0 t+&#&66;) с циклической частотой

Формула (3) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (2) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна

Гармонические колебания и их характеристики

2. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол &#&45;, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, F&#&64; ≈ –mgsin&#&45; ≈ –mg&#&45; — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления F&#&64; и &#&45; всегда противоположны; sin&#&45; ≈ &#&45; поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (4) запишем как

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

идентичное с (1), решение которого (1) найдем и запишем как:

Из формулы (6) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой &#&69;0 и периодом

где введена величина L=J/(ml ) — приведенная длина физического маятника .

Точка О’ на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 1). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

Гармонические колебания и их характеристики

т. е. ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ имеют свойство взаимозаменяемости. если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

где l — длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника

Сопоставляя формулы (7) и (9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

1.18. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение гармонических колебаний. Характеристики гармонических колебаний: смещение от положения равновесия, амплитуда колебаний, фаза колебания, частота и период колебаний. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Энергиягармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: математический, пружинный, крутильный и физический маятники.

Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах. Большую роль играет теория колебаний в механике, в особенности в расчетах на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин и узлов.

Колебания являются процессами, повторяющимися через одинаковые промежутки времени (при этом далеко не все повторяющиеся процессы являются колебаниями!). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел.

Возвращающая сила — сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными(собственными) колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия, т.е. когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, надо либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

· Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу). Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

· Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

· Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой — случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими.

Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса . Они называются гармоническими.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса).

Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция, гармонических колебаний.

Уравнение гармонического осциллятора

Гармоническое колебание описывается периодическим законом:

Гармонические колебания и их характеристики

Таким образом, полная энергия гармонического колебания оказывается постоянной. Из соотношений (18.4) и (18.5) также следует, что средние значения кинетической и потенциальной энергии равны друг другу и половине полной энергии, поскольку средние значения Гармонические колебания и их характеристики и Гармонические колебания и их характеристики за период равны 0,5. Используя тригонометрические формулы, можно получить, что кинетическая и потенциальная энергия изменяются с частотой Гармонические колебания и их характеристики. т.е. с частотой в два раза превышающей частоту гармонического колебания.

В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический, математический маятники и крутильный маятники.

1. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид Гармонические колебания и их характеристики или Гармонические колебания и их характеристики (18.8) Из формулы (18.8) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω0 t+φ) с циклической частотой

Гармонические колебания и их характеристики (18.10) Формула (18.10) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (18.9) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна (см.18.5)

Гармонические колебания и их характеристики 2. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).

Гармонические колебания и их характеристики

Рис.18.3 Физический маятник

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы Гармонические колебания и их характеристики (18.11) где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (18.11) запишем как

Гармонические колебания и их характеристики или Гармонические колебания и их характеристики Принимая Гармонические колебания и их характеристики (18.12) получим уравнение

Гармонические колебания и их характеристики идентичное с (18.8), решение которого найдем и запишем как:

Гармонические колебания и их характеристики (18.13) Из формулы (18.13) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 и периодом

Гармонические колебания и их характеристики (18.14) где введена величина L=J/(ml ) — приведенная длина физического маятника. Точка О’ на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 18.3). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

Гармонические колебания и их характеристики т. е. ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О’ имеют свойство взаимозаменяемости. если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

Гармонические колебания и их характеристики(8) где l — длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника Гармонические колебания и их характеристики (18.15) Сопоставляя формулы (18.13) и (18.15), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Для математического маятника (материальной точки массой m. подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле силы тяжести с ускорением свободного падения равным g ) при малых углах отклонения (не превышающих 5-10 угловых градусов) от положения равновесия собственная частота колебаний: Гармонические колебания и их характеристики .

4. Тело, подвешенное на упругой нити или другом упругом элементе, совершающее колебания в горизонтальной плоскости, представляет собой крутильный маятник.

Эта механическая колебательная система, которая использует силы упругих деформаций. На рис. 18.4 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *