Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами

По определению скалярного произведения

т. е. косинус угла между ненулевыми векторамиа и bравен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин .

и поэтому, используя равенство (1), получим формулу

Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.

Если векторы а = (x1;y1 ) и b = (x2 ; y2 ) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле

Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними.

Подставив координаты векторов в формулу (3), получим

откуда (по таблице) ≈ 16°.

Задача 2. Найти косинус угла между векторами

Используя формулу (2), получим

Нахождение угла между векторами, примеры и решения.

Когда мы говорим о векторах как о направленных отрезках, то такие понятия как длина вектора и угол между векторами кажутся естественными и интуитивно понятными. В этой статье мы дадим определение угла между векторами на плоскости и в трехмерном пространстве, приведем графическую иллюстрацию. Основное внимание сосредоточим на методах нахождения косинуса угла (и самого угла) между векторами, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. Отложим от произвольной точки O векторы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. Тогда справедливо следующее определение.

Углом между векторами Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами называется угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами будем обозначать как Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами.

Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами

Понятно, что угол между векторами может принимать значения от 0 до Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами или, что то же самое, от Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами до Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами.

Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами когда векторы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами сонаправленные, Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами когда векторы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами противоположно направленные.

Векторы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами называются перпендикулярными. если угол между ними равен Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами ( Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами радиан).

Если хотя бы один из векторов Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами нулевой, то угол Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами не определен.

Нахождение угла между векторами, примеры и решения.

Косинус угла между векторами Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами, а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами.

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. Если векторы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами, и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами. Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Вычислите косинус угла между векторами Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами, а также найдите сам угол, если длины векторов Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. Вычисляем косинус угла между векторами Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами: Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами.

Теперь находим угол между векторами: Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами.

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и . заданными в ортонормированном базисе . выражается формулой :
.

Косинус угла между векторами пространства . заданными в ортонормированном базисе . выражается формулой.

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:
Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами
Требуемый угол Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами – особое внимание на среднюю букву Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и . иными словами: .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: . найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы . и убедиться в справедливости канонического равенства

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами и Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами :
Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами
Спроецируем вектор Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами на вектор Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. для этого из начала и конца вектора Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами опустимперпендикуляры на вектор Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами (красная линия) будет «тенью» вектора Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. В данном случае проекцией вектора Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами на вектор Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами является ДЛИНА отрезка Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами. То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: . «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ». попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторыортогональны. то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:
Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами

Скалярное произведение через координаты, вычисление угла между векторами.

Назад Оглавление Вперед
Итак, на предыдущей странице перечислены свойства, которыми обладает скалярное произведение. С помощью них можно доказать и вывести еще одну формулу для вычисления скалярного произведения и формулу для вычисления угла между векторами, координаты которых известны.

Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.

Утверждение (Формула для вычисления скалярного произведения векторов): Для векторов, заданных своими координатами:
и
справедлива формула:
.
Произносится:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Доказательство:
Запишем каждый вектор в виде разложения по базисным векторам:

Запишем скалярное произведение:

Используем свойство 7) :

Используем свойство 6) :

Напомним, что — базисные вектора декартовой системы координат, т.е. они попарно перпендикулярны, значит, по свойству 2). .
В итоге получим:

Последний шаг: по третьему свойству, зная, что :
.
Замечание:
Для векторов на плоскости (двумерных) справедлива аналогичная формула, т.е. без последнего слагаемого:
и : .

Формула для вычисления угла между векторами.

Замечание: Не столько угла, сколько косинуса угла.
Итак, на данный момент, для вычисления скалярного произведения есть:
а) определение:
,
б) выведенная чуть ранее формула:
.

Выразим косинус угла между векторами из первого равенства:

Произносится: косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов.

А вычислить скалярное произведение можно про второй формуле. В результате получится вот такая формула (её и следует запомнить и применять для вычисления угла):
.
На следующей странице рассмотрим примеры решения задач с использование свойств и полученных формул.

Зачет № 3 по геометрии 9 класс

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике «Весенний марафон» для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос — всего 38 рублей ;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое.

Теоретические вопросы и практические задания

к зачету №3 по теме «Соотношения между сторонами

и углами треугольника. Скалярное произведение векторов»

Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не существует и почему?

Напишите формулы приведения.

Что такое скалярное произведение векторов?

Какие два вектора называются перпендикулярными?

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

Даны векторы p < x ; -4> и q <2; 3>. Найдите значение х, если p и q перпендикулярны.

Найдите скалярное произведение векторов a <-5; 7> и b <2; 1>.

Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 м, АС = 6 м и ВС = 12 м.

Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см и угол С равен 30º.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *