Второй признак равенства треугольников доказательство

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1 B1 C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1 В1. а АС=А1 С1. то B совпадёт с В1. а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

2) Второй признак равенства треугольников доказательство по стороне и прилежащим к ней углам

ПустьАВС и А1 В1 С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1 В1, угол А равен углу А1. и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1 B1 C1 так, чтобы AB совпало с A1 B1. Так как ∠ВАС =∠В1 А1 С1 и ∠АВС=9ang;А1 В1 С1. то луч АС совпадёт с А1 С1. а ВС совпадёт с В1 С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

3) по трём сторонам

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1 B1 C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1. вершина В — с вершиной В1. а вершины С и С1. оказались по разные стороны от прямой А1 В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1 С про­ходит внутри угла А1 С1 В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1 C1. ВС и В1 С1 равны, то треугольники A1 C1 C и В1 С1 С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=9ang;A1 C1 B1 .

Итак, AC=A1 C1. BC=B1 C1. ∠C=9ang;C1. Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников доказательство Второй признак равенства треугольников доказательство

2. Второй признак равенства треугольников доказательствоДеление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Второй признак равенства треугольников доказательство Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. ΔABB2 =ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1 B1 = AB2 = CD2 = C1 D1 Второй признак равенства треугольников доказательство

Второй признак равенства треугольников доказательство

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1.Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними — Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны )

Пусть у треугольников АВС и А1 В1 С1 угол А равен углу А1. АВ равно А1 В1, АС равно А1 С1. докажем, что треугольники равны.

Пусть А1 В2 С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1 В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1 В1. где лежит вершина С1 .

2-ойпризнак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. — Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам — Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Пусть АВС и А1 В1 С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1 В1, угол А равен углу А1. и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Пусть А1 В2 С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1 В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1 В1. где лежит вершина С1 .

3-ийпризнак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. — Признак равенства треугольников по трем сторонам — Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Пусть АВС и А1 В1 С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1 В1, АС равно А1 С1. и ВС равно В1 С1. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1. угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А1 В1 С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1 В1 .

Пусть D – середина отрезка С1 С2. Треугольники А1 С1 С2 и В1 С1 С2 – равнобедренные с общим основанием С1 С2. Поэтому их медианы А1 D и В1 D – являются высотами, значит прямые А1 D и В1 D – перпендикулярны прямой С1 С2. Прямые А1 D и В1 D не совпадают, так как точки А1, В1. D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1 С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Похожие документы:

вопрос – практический, он содержит задачу. Билет № 1 1. Первый признакравенстватреугольников. Найдите все возможные значения площади треугольника. Билет № 2 1. Признакиравенстватреугольника (доказательствовсехпризнаков ). 2. Деление отрезка на.

точки до прямой. Признакиравенстватреугольников. Треугольники. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Признакиравенстватреугольников. Признакиравенства прямоугольных треугольников. Геометрические места точек.

ответ на вопросбилета. Единственное слово помогло восстановить в памяти во всех логических связях. вопросительным знаком. Необычным сигналом к доказательству третьего признакаравенстватреугольников являются обрывки медиан, выполненные к тому.

уравнение? (1). Сумма длин всех сторон многоугольника? (Периметр). на шуточный вопрос. На лотерейном билете записано условие задачи. 3. Утверждение, не требующее доказательств. (Аксиома) 4. Сколько признаковравенстватреугольников мы знаем? (Три).

треугольника. 2. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник. километров всех друзей. доказательство. равенства (или неравенства) регистра нулю, которая позволяет организовать по этому признаку. билете № 13, а билет № 21 затрагивал вопрос.

Задачи на второй признак равенства треугольников

Сначала проведем анализ задачи.

Второй признак равенства треугольников доказательство Выделим треугольники, равенство которых надо доказать. разными цветами.

Цветовая визуализация сразу же дает подсказку — треугольники имеют общую сторону MK.

Кроме того, по условию, данные треугольники имеют равные углы AMK и BKM.

Для доказательства равенства треугольников не хватает равенства еще одной пары элементов.

В условии сказано, что углы AKB и BMA равны. Угол AKM равен сумме углов AKB и BKM, угол BMK — сумме углов BMA и AMK. Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы. Значит, углы AKM и BMK равны.

Теперь запишем доказательство.

Рассмотрим ∆AKM и ∆BMK.

1) MK — общая сторона.

2) ∠AMK=∠BKM (по условию).

Второй признак равенства треугольников доказательство

Следовательно, ∆AKM=∆BMK (по стороне и двум прилежащим к ней углам, то есть, по второму признаку равенства треугольников ).

Что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников доказательство Выделим треугольники ABO и DOC разными цветами.

По условии, данные треугольники имеют одну пару равных элементов — стороны AB и CD равны.

Видим пару равных вертикальных углов AOB и DOC. Однако, они нам не подходят — раз равные стороны AB и CD, углы должны быть рядом с ними.

Чтобы определить равные углы этих треугольников, можно воспользоваться подсказкой .

Так как прямые AB∥CD, ищем и находим две пары равных внутренних накрест лежащих углов.

Все три пары равных элементов для второго признака равенства треугольников имеются. Теперь можно перейти к записи доказательства.

1) AB=CD (по условию).

2) ∠ABO=∠CDO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BC).

3) ∠BAO=∠DCO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей AD).

Следовательно, ∆ABO=∆DOC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

∆CFD — равнобедренный с основанием CD,

Доказать: ∆AFB — равнобедренный.

Второй признак равенства треугольников доказательство Чтобы доказать, что треугольник AFB — равнобедренный, нужно доказать либо равенство двух его сторон: AF=BF, либо равенство двух углов: ∠A=∠B.

Равенство сторон и углов следует из равенства треугольников.

Значит, нужно доказать равенство пары треугольников со сторонами AF и BF и углами A и B. Подходят треугольники AFC и BFD.

Выделим эти треугольники разными цветами.

Их углы AFC и BFD равны по условию. Также из условия известно, что ∆CFD — равнобедренный с основанием CD. Из этого следует, что его боковые стороны CF и DF равны и углы при основании равны ∠FCD=∠FDC. Равенство сторон CF и DF можно использовать для доказательства равенства треугольников AFC и BFD, а что делать с углами?

Углы ACF и BDF смежные с углами FCD и FDC. А так как ∠FCD=∠FDC, то и смежные с ними углы ACF и BDF тоже равны.

Три пункта для второго признака равенства треугольников получили. Переходим к записи доказательства.

Рассмотрим треугольники AFC и BFD.

1) ∠AFC =∠BFD (по условию).

2) CF=DF (как боковые стороны равнобедренного треугольника CFD).

3) ∠ACF=∠BDF (как смежные с равными углами: ∠FCD=∠FDC как углы при основании равнобедренного треугольника CFD).

Следовательно, ∆AFC = ∆BFD (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF. Значит, ∆AFB — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников доказательство wiki.eduVdom.com

Признаки равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников доказательство

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1 В1 С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1 B1 C1. изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1 В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1 В1 С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1 В1 С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Второй признак равенства треугольников доказательство

Теорема 1.Первый признак равенства треугольников.Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Так как ∠ А = ∠ А1. то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1 В1 С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1. а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1 В1 и A1 C1. Поскольку АВ = A1 B1. АС = А1 С1. то сторона АВ совместится со стороной А1 В1 а сторона АС — со стороной А1 C1 ; в частности, совместятся точки В и В1. С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1 С1. Итак, треугольники ABC и А1 В1 С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Второй признак равенства треугольников доказательство

Теорема 2.Второй признак равенства треугольников.Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5.Третий признак равенства треугольников.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее ).

Второй признак равенства треугольников доказательство

Второй признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников доказательство

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников доказательство

Второй признак равенства треугольников доказательство

Наложим треугольник АВС на треугольник А1 В1 С1 таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1. сторона АВ — с равной ей стороной А1 В1. а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1 В1 .

Второй признак равенства треугольников доказательство

Так как ∠А=∠А1 и ∠В=∠В1, то сторона АС наложится на луч А1 С1. а сторона ВС — на луч В1 С1. Поэтому вершина С (общая точка сторон АС и ВС) окажется лежащей на лучах А1 С1 и В1 С1. а следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной С1. Значит, совместятся стороны АС и А1 С1. ВС и В1 С1. Получаем, что ∆ АВС и ∆ А1 В1 С1 полностью совместятся, то есть они равны.

Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, поведённые к боковым сторонам, равны между собой.

Второй признак равенства треугольников доказательство

Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=ВС. АМ и CN — биссектрисы. Рассмотрим треугольники АМВ и CNB. У них угол В — общий, АВ=ВС по условию, углы NСВ и МАВ равны как половинки двух равных углов при основании равнобедренного треугольника.

Тогда получаем, что ∆ АМВ=∆ CNB по второму признаку. Откуда следует, что АМ=СN.

Точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD квадрата ABCD так, что ∠FВС=∠ЕDА. Доказать, что ∆ СBF= ∆ ADE.

Второй признак равенства треугольников доказательство

Рассмотрим ∆ СBF и ∆ ADE. У них сторона ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, ∠ВСF=∠DAE, так как все углы квадрата прямые, ∠FВС=∠ЕDА по условию задачи. А следовательно, ∆ СBF и ∆ ADE равны по второму признаку равенства треугольников.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠EAD и ∠EBC — равны. Доказать, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ=7 см?

Второй признак равенства треугольников доказательство

Рассмотрим ∆ СВЕ и ∆ ADE. У них сторона АЕ=ВЕ, так как Е — середина отрезка АВ. ∠EAD и ∠EBC равны по условию задачи. А ∠СЕВ и ∠AED равны как вертикальные. Получаем, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны по второму признаку. Следовательно, у них соответственные стороны равны. Значит, сторона AD=СВ. То есть AD=7 см.




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *