Коэффициент эластичности формула

/ Эконометрика ИСЭМ

формула расчета коэффициента эластичности:

Коэффициент эластичности формула,

где f'(x) — первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит: Коэффициент эластичности формула. Соответственно, коэффициент эластичности окажется равным:

Коэффициент эластичности формула

Коэффициент эластичности только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактораx. Так, для линейной регрессии Коэффициент эластичности формулапроизводная функции и эластичность следующие:

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x. то обычно рассчитываетсясредний показатель эластичности по формуле:

Коэффициент эластичности формула.

Для оценки параметров степенной функции Коэффициент эластичности формулаприменяется МНК к линеаризованному уравнению Коэффициент эластичности формула, т.е. решается система нормальных уравнений:

Коэффициент эластичности формула

Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметрa — косвенным путем после потенцирования величины lna. Так, решая систему нормальных уравнений для зависимости спроса от цен, было получено уравнение: Коэффициент эластичности формула. Если потенцировать его, получим:

Коэффициент эластичности формула.

Поскольку параметр a экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически-линейной, т.е. Коэффициент эластичности формула.В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметромb <0, а эластичность предложения -b >0.

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии .

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций.

Коэффициент эластичности формула

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1%. Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации) не может быть экономически интерпретирована. Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита y (в процентах годовых) и срока их предоставленияx (в днях), было получено уравнение регрессии: Коэффициент эластичности формулас очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352% лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция Коэффициент эластичности формула, имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает в процентных пунктах изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.

Обобщенный метод наименьших квадратов.

В тех случаях, когда все пять предпосылок МНК выполняются, рассматриваемая модель Коэффициент эластичности формуланазывается классической нормальной линейной регрессионной моделью (Classical Normal Linear Regression model) Если распределение случайных остатков εi не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

При нарушении гомоскедастичности и при наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т. е. методом GLS (Generalized Least Squares).

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Специфика обобщенного МНК, применительно к корректировке данных при автокорреляции остатков, будет рассмотрена далее. Здесь остановимся на использовании обобщенного МНК для корректировки гетероскедастичности.

Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине Ki . т. е. Коэффициент эластичности формула, где Коэффициент эластичности формула— дисперсия ошибки при конкретномi – ом значении фактора, Коэффициент эластичности формула— постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков,Ki – коэффициент пропорциональности, меняющий с изменением свою величину, что и обуславливает неоднородность дисперсии. При этом предполагается, что Коэффициент эластичности формуланеизвестна, а в отношении величиныK выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения Коэффициент эластичности формулапри Коэффициент эластичности формула, модель примет вид: Коэффициент эластичности формула. В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходеi – ого наблюдения, т. е. Коэффициент эластичности формула.

Иными словами, от регрессии y поx мы перейдем к регрессии на новых переменных: Коэффициент эластичности формула, и Коэффициент эластичности формула. Уравнение регрессии примет вид:

Коэффициент эластичности формула.

Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

Коэффициент эластичности формула, Коэффициент эластичности формула.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными, представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные y иx взяты с весами Коэффициент эластичности формула.

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида:

Коэффициент эластичности формула

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

Коэффициент эластичности формула.

Если преобразованные переменные x иy взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессииb можно определить как:

Коэффициент эластичности формула.

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней, коэффициент регрессии b определяется по формуле:

Коэффициент эластичности формула.

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности, коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК, с весами Коэффициент эластичности формула.

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида:

Коэффициент эластичности формула,

для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна Коэффициент эластичности формула. Коэффициент эластичности формула— коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующихi значений факторов Коэффициент эластичности формулаи Коэффициент эластичности формула. Ввиду того, что Коэффициент эластичности формула, рассматриваемая модель примет вид:

Коэффициент эластичности формула,

где ошибки гетероскедастичны. Чтобы получить уравнение, где остатки Коэффициент эластичности формулагомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональностиK. Уравнение с преобразованными переменными составит:

Коэффициент эластичности формула.

Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:

Коэффициент эластичности формула.

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности Коэффициент эластичности формула. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки Коэффициент эластичности формулапропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении:

Коэффициент эластичности формула

предположить, что Коэффициент эластичности формула, т. е. Коэффициент эластичности формулаи Коэффициент эластичности формула, то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

Коэффициент эластичности формула.

Если предположить, что ошибки пропорциональны Коэффициент эластичности формула, то модель примет вид:

Коэффициент эластичности формула.

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных x/K имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь ввиду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание, и регрессия по ним имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.

Пусть y – издержки производства,x1 – объем продукции,x2 – основные производственные фонды,x3 –численность работников, тогда уравнение

Коэффициент эластичности формула

является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что Коэффициент эластичности формулапропорциональна квадрату численности работниковx3 . мы получим в качестве результативного признака Коэффициент эластичности формула— затраты на одного работника, а в качестве факторов – показатели — Коэффициент эластичности формула— производительность труда, Коэффициент эластичности формула— фондовооруженность труда. Соответственно исходная модель примет вид:

Коэффициент эластичности формула,

где параметры Коэффициент эластичности формула, Коэффициент эластичности формула, Коэффициент эластичности формулачисленно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономические содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу, они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на 1 работника, с изменением производительности труда на единицу, и неизменном уровне фондовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.

Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, Коэффициент эластичности формула, то тогда мы перейдем к уравнению регрессии вида:

Коэффициент эластичности формула.

В нем новые переменные: Коэффициент эластичности формула— затраты на единицу (или на один рубль продукции), Коэффициент эластичности формула— фондоемкость продукции, Коэффициент эластичности формула— трудоемкость продукции.

Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия, большим объемным значениям фактора может соответствовать и большая дисперсия результативного признака, и большая дисперсия остаточных величин.

При наличии одной объясняющей переменной гипотеза Коэффициент эластичности формулатрансформирует линейное уравнение:

Коэффициент эластичности формула,

Коэффициент эластичности формула,

в котором параметры α иβ поменялись местами, константа стала коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент регрессии – свободным членом. Так, например, рассматривая зависимость сбереженийy от доходаx. по первоначальным данным было получено уравнение регрессии:

Коэффициент эластичности формула.

Применяя обобщенный МНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено уравнение для преобразованных данных:

Коэффициент эластичности формула.

Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т. е. 0,1178 и 0,1026 – оценки параметра b зависимости сбережений от дохода.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помощью обобщенного МНК. Возможны и усложнения рассмотренный процедуры за счет выдвижения иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов. Например, Коэффициент эластичности формула, т. е. рассматривается характер взаимосвязи Коэффициент эластичности формулаот Коэффициент эластичности формула. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей. Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.

Обобщённый МНК устраняет гетероскедастичность, если известна взаимосвязь ошибок регрессии Коэффициент эластичности формулас факторомх (например, на основе рассмотренных тестов гетероскедастичности). Иными словами, должны быть установлены коэффициенты пропорциональностиКi . что и приводит к взвешенному методу наименьших квадратов.

Регрессионные модели с переменной структурой

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем, может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, они должны быть упорядочены и им присвоены те или иные значения, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. В отечественной литературе за ними закрепился термин структурные переменные.

Качественные признаки могут приводить к неоднородности исследуемой совокупности, что может быть учтено при моделировании двумя путями:

— регрессия строится для каждой качественно отличной группы единиц совокупности, т.е. для каждой группы в отдельности, чтобы преодолеть неоднородность единиц общей совокупности;

— построение общей регрессионной модели для совокупности в целом, учитывающей неоднородность данных. В этом случае в регрессионную модель вводятся фиктивные переменные, т.е. строится регрессионная модель с переменной структурой, отражающей неоднородность данных.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:

Коэффициент эластичности формула,

где: y — количество потребляемого кофе,

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского Коэффициент эластичности формулаи женского пола: Коэффициент эластичности формула.

Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних Коэффициент эластичности формулаи Коэффициент эластичности формула. Вместе с тем, сила влиянияx на y может быть одинаковой, т.е. Коэффициент эластичности формула. В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Объединяя уравненияy1 и y2 и вводя фиктивные переменные, можно придти к следующему соотношению:

Коэффициент эластичности формула,

где: z1 и z2 фиктивные переменные, принимающие значения:

Коэффициент эластичности формула; Коэффициент эластичности формула.

В общем уравнении регрессии зависимая переменная y рассматривается как функция не только цены x. но и пола (z1 . z2 ). Переменная z рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая всего два значения: 1 и 0. При этом, когда z1 = 1, то z2 =0 и, наоборот, при z1 = 0 переменная z2 = 1.

Для лиц мужского пола, когда z1 = 1 иz2 = 0, объединенное уравнение регрессии составит: Коэффициент эластичности формула, а для лиц женского пола, когдаz1 = 0 иz2 = 1, Коэффициент эластичности формула. Иными словами, различия в потреблении для лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов уравнения регрессии: Коэффициент эластичности формула. Параметрb является общим для всей совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.

Вместе с тем, при практическом введении фиктивных переменных z1 и z2 в модель Коэффициент эластичности формулаприменение МНК для оценивания параметровα1 и α2 . приведет к вырожденной матрице исходных данных, а, следовательно, и к невозможности получения их оценок. Объясняется это тем, что при использовании МНК для данного уравнения появляется свободный член, т.е. уравнение примет вид:

Коэффициент эластичности формула.

Предполагая при параметре A независимую переменную 1, имеем матрицу исходных факторов:

Коэффициент эластичности формула.

В рассматриваемой матрице существует линейная зависимость между первым, вторым и третьим столбцами: первый равен сумме второго и третьего. Поэтому матрица исходных факторов вырождена. Выходом из создавшегося затруднения может явиться переход к уравнениям вида:

Коэффициент эластичности формула,

каждое из которых включает только одну фиктивную переменную: z1 илиz2 .

Предположим, что определено уравнение Коэффициент эластичности формула,

где: z1 — принимает значения 1 для мужчин и 0 для женщин. Теоретические значения размера потребления кофе для мужчин окажутся равными:

Коэффициент эластичности формула.

Для женщин соответствующие значения получим из выражения:

Коэффициент эластичности формула.

Сопоставляя эти результаты, видим, что различия в уровне потребления мужчин и женщин состоят в различии свободных членов данных уравнений: A — для женщин и A + A1 для мужчин.

Примером использования фиктивных переменных может служить зависимость урожайности пшеницы y от вида вспашки z и количества внесенного органического удобрения x. По 25 наблюдениям парное уравнение регрессии (без учета вида вспашки) составило:

Коэффициент эластичности формула;

При его расчете использовалась следующая система нормальных уравнений:

Коэффициент эластичности формула.

Уравнение регрессии статистически значимо: F , tb , ryx превышают табличные значения (при 5 %-ом уровне существенности и числе степеней свободы 23: F = 4,28; tb = 2,069; ryx = 0,3&8; при 1%-ой вероятности ошибки: F = 7,88; tb = 2,807; ryx = 0,507;).

По виду вспашки поля характеризовались двумя категориями: зяблевая и весенняя. Вид вспашки не влияет на количество внесенных удобрений, но обусловливает различия в урожайности. Чтобы убедиться в этом введем в уравнение регрессии фиктивную переменную z для отражения эффекта вида вспашки, а именно: z = 1 для зяблевой вспашки и z = 0 для весенней вспашки. Уравнение регрессии примет вид: Коэффициент эластичности формула. Применяя метод наименьших квадратов для оценки параметров данного уравнения, получим следующую систему нормальных уравнений:

Коэффициент эластичности формула

В виду того, что z принимает лишь два значения (1 и 0), Коэффициент эластичности формула(число полей с зяблевой вспашкой), Коэффициент эластичности формула(количество внесенных удобрений на полях с зяблевой вспашкой), Коэффициент эластичности формула, Коэффициент эластичности формула(суммаy по полям зяблевой вспашки).

В рассматриваемом примере вся совокупность из 25 единиц подразделена на две подгруппы: с зяблевой вспашкой — 13 полей и с весенней — 12 полей, т.е. n1 = 13 и n2 = 12. Соответственно этим двум группам имеем:

Коэффициент эластичности формула; Коэффициент эластичности формула.

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Коэффициент эластичности формула

Решая ее, получим уравнение регрессии:

Коэффициент эластичности формула

Уравнение регрессии статистически значимо: F = 15,6; R = 0,766; Коэффициент эластичности формула= 0,741; ta = 11,8; tb = 3,9; tc = 4,1. Как видим, добавление в регрессию фиктивной переменной существенно улучшило результат модели: доля объясненной вариации выросла с 27,5% ( Коэффициент эластичности формула) до 58,7% ( Коэффициент эластичности формула). При этом, сила влияния количества внесенных органических удобрений на урожайность осталась практически неизменной: коэффициенты регрессии по существу одинаковы (0,326 в парном уравнении и 0,330 во множественном). Корреляция между видом вспашки и количеством внесенного удобрения на 1 га практически отсутствует: Коэффициент эластичности формула. Вместе с тем, применение зяблевой вспашки способствует росту урожайности в среднем на 2,9 ц с 1 га при одном и том же количестве внесенного удобрения на 1 га, что в целом соответствует и различию средней урожайности по видам вспашки (15,3 ц с 1 га для зяблевой вспашки и 12,5 ц с 1 га для весенней вспашки). ЧастныйF -критерий для фактора z составил 16,58, что выше табличного значения при числе степеней свободы 1 и 22 (4,30 при α = 0,05 и 7,94 при α = 0,01). Это подтверждает целесообразность включения фиктивной переменной в уравнение регрессии.

Парные уравнения регрессии по отдельным видам вспашки показывают, практически одинаковую меру влияния количества внесенного удобрения на урожайность:

Коэффициент эластичности формула— при зяблевой вспашке и

Коэффициент эластичности формула— при весенней вспашке.

Поэтому вполне реально предположить единую меру влияния данного фактора не зависимо от вида вспашки, что и имеет место в уравнении регрессии с фиктивной переменной. Включив фиктивную переменную, удалось измерить ее влияние на изменение урожайности: частный коэффициент корреляции Коэффициент эластичности формула, оценивающий в чистом виде влияние данного фактора, составил 0,6555, что несколько выше, чем аналогичный показатель для фактораx. Коэффициент эластичности формула.

Коэффициент эластичности для разных типов регрессий

Коэффициент эластичности для разных типов регрессий

При решении задач некоторых разделов статистики и эконометрики вычисляется коэффициент эластичности. Это характерно для задач, в которых определяется наличие связи между двумя некоторыми экономическими факторами. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентом изменится в среднем результатирующий фактор, при изменении зависимого фактора на 1% .

Формула для расчета коэффициента эластичности:

Так как для некоторых функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора x, то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии

Формулы коэффициентов эластичности

В эконометрических исследованиях

Парная регрессия и корреляция

Эконометрика – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической статистики.

Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов.

Задачи – построение экономических моделей и оценивание их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.

Эконометрический анализ служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия обоснованных экономических решений.

При моделировании экономических процессов оперируют типами данных: пространственными и временными.

Пространственные данные – это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов (фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (пространственный срез). Например, данные об объеме производства, количестве работников, доходе разных фирм в один и тот же момент времени.

Временные данные – это данные, характеризующие один и тот же объект в различные моменты времени (временной срез). Например, ежеквартальные данные об инфляции . средней заработной плате, данные о национальном доходе за последние годы.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель. Эконометрические модели могут представлять собой модель временного ряда. систему одновременных уравнений. а также регрессионную модель с одним уравнением. Регрессионная модель с одним уравнением представляет собой уравнение регрессии, где среднее значение зависимой (объясняемой, эндогенной) переменной у объясняется как функция одной или нескольких независимых (объясняющих, экзогенных) переменных:

где х1. х2. ….хn независимые переменные или факторы, оказывающие влияние

на зависимую переменную.

Рассмотрим уравнение регрессии: ,

где 10000 – постоянные затраты, не зависящие от объема производства;

500 – переменные затраты, зависящие от объема производства. Подставляя в уравнение регрессии различные значения х (объем производства) можно получить общее значение затрат на производство. Таким образом, мы имеем дело с эконометрической моделью, которая позволяет делать прогнозы, однако для этого необходимо предварительно построить эту модель и оценить ее.

Наиболее простым является построение и оценка парной регрессии.

Парная регрессия – это уравнение связи двух переменных y и x :

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия имеет вид: ,

где a – параметр, представляющий собой значение y при x=0. Если фактор не имеет или не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка не имеет смысла. Параметр может и не иметь экономического содержания.

b – коэффициент регрессии, который указывает направление связи (если , связь прямая, если , связь обратная). Величина b показывает, на какую величину в среднем изменится результат, если фактор х увеличится на одну единицу своего измерения.

Практически в каждом отдельном случае величина у складывается из двух слагаемых:

где уi – фактическое значение результативного признака;

x — теоретическое значение результативного признака, найденное по уравнению регрессии.

— случайная составляющая, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам используют метод наименьших квадратов, который позволяет получить такие оценки параметров, что при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е. .

Для этого решается следующая система нормальных уравнений относительно a и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из данной системы:

где − ковариация двух переменных x, y. т.е. средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних;

− дисперсия фактора (объясняющей переменной) x.

Пример. По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек . Необходимая для расчета оценок параметров информация представлена в таблице 1.1.

Система нормальных уравнений будет иметь вид:

Решив ее, получим:

Уравнение регрессии примет вид:

Коэффициент регрессии при этом отражает, что с увеличением выпуска продукции на 1 тыс. ед. издержки возрастают в среднем на 36,84 млн. руб. то есть дополнительный прирост продукции на одну единицу своего измерения потребует увеличения затрат на производство продукции в среднем на 36,84 млн. руб.

Подставив в уравнение значения х. найдем теоретические значения у. В данном случае параметр не имеет экономического смысла. В рассматриваемом примере также имеем следующие значения средних квадратических отклонений в ряду х и у :

Ниже представлен расчет относительного показателя вариации: коэффициент вариации:

То, что ‹ 0, соответствует опережению изменения результата над изменением фактора: .

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии (-1 ≤ ≤ 1):

где — среднее квадратическое отклонение в ряду x,

— среднее квадратическое отклонение в ряду y.

Линейный коэффициент корреляции как измеритель тесноты линейной связи признаков связан не только с коэффициентом регрессии b. но и с коэффициентом эластичности, который является показателем силы связи, выраженным в процентах.

Коэффициент эластичности отражает, на сколько процентов изменится значение y при изменение значения фактора на 1%. Коэффициент эластичности рассчитывается как .

Обобщающий (средний) коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения :

и показывает, на сколько процентов изменится y относительно своего среднего уровня при росте x на 1% относительно своего среднего уровня.

Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения x=x0 :

и показывает, на сколько процентов изменится y относительно своего уровня y(x0 ) при увеличении на 1% от уровня x0 .

На основе данных примера рассчитаем коэффициент корреляции и средний коэффициент эластичности.

Полученный показатель близок к единице, следовательно между х и у связь весьма сильная, кроме того, так как полученное значение больше 0, то связь между х и у прямая.

Средний коэффициент эластичности при значении х равном 3,14 составит:

. Показатель при расчете сразу получается в процентах, умножать на 100% не нужно.

Средний коэффициент эластичности отражает. что с ростом средней величины факторного признака х на 1% среднее значение результативного признака возрастает в среднем на 1,053%.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации – это квадрат линейного коэффициента парной корреляции; он характеризует долю дисперсии результативного признака у. объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

где — сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией

— общая сумма квадратов отклонений.

Чем больше доля объясненной вариации. тем соответственно меньше роль прочих факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Иначе, чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем в большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования.

После того как уравнение линейной регрессии найдено, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверка значимости уравнения регрессии осуществляется путем расчета F -критерия Фишера. F -тест состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Непосредственному расчету F -критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений на две части: объясненную (факторную) и остаточную:

где — остаточная сумма квадратов отклонений.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df. т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должны показать, сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов необходимо (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из n единиц после расчета среднего уровня свободно варьируют лишь (n-1) число отклонений. Например, имеем ряд значений у. 1, 2, 3, 4, 5.

, и тогда n отклонений от среднего составят: -2; -1; 0; 1; 2. Поскольку сумма отклонений равна нулю ( ), то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое отклонение может быть определено, если четыре предыдущие известны.

При расчете объясненной. или факторной, суммы квадратов используются теоретические (расчетные) значения результативного признака, найденные по линии регрессии. При заданном объеме наблюдений по х и у факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии b. то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы.

Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, т.е. dfобщ = n – 1.

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы:

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравниваемому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии на одну степень свободы, получим величину F -отношения, т.е. критерий F :

При линейной связи возможно использование формул:

где m – число параметров в уравнении регрессии;

(m-1) – число степеней свободы для факторной дисперсии;

n – число наблюдений;

(n-m) – число степеней свободы для остаточной дисперсии;

k – количество коэффициентов регрессии в уравнении регрессии.

Вместо числа параметров уравнения регрессии m можно использовать число коэффициентов регрессии k. которое на единицу меньше m. т.е. k=(m−1).

Вычисленное значение F- отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного значения F- критерия. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи:

Fтабл это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы ( ) и уровне значимости , который принимается равным 0,05 или 0,01.

Если же величина F окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод о наличии связи.

Продолжая рассмотрение примера, рассчитаем коэффициент детерминации и F -критерий Фишера.

− высокое значение коэффициент детерминации говорит о пригодности уравнения регрессии для прогнозирования.

В таблицу дисперсионного анализа подставим значения сумм квадратов отклонений.

Расчетная таблица для определения общей суммы квадратов отклонений

Затраты на производство, млн. руб. у

Fтабл = 6,61приуровнезначимости равным 0,05 и .

Следовательно можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии.

Расчет F -критерия Фишера можно также провести следующим образом:

В данном случае более высокое значение показателя обусловлено тем, что при расчете значения очень сильно округляются и точность такого способа расчета бает меньше чем расчет через дисперсионный анализ.

Для упрощения расчетов сумм квадратов отклонений также можно использовать следующие формулы:

где − дисперсия результативного признака.

Для оценкистатистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки:

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициент корреляции определяются по формулам:

где S 2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы;

Сравнивая фактическоеtфакт и критическое (табличное) значения t -статистики tтабл (при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n-2 )) – принимаем или отвергаем гипотезу Н0 . Если tтабл < tфакт ,то Н0 отклоняется, т.е. a, b, rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт ,то гипотеза Н0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b, rxy .

Рассмотренную формулу оценки коэффициента корреляции рекомендуется применять при большом числе наблюдений, а также если rxy не близко к +1 или –1. Если же величина rxy близка к +1, то распределение его оценок отличается от нормального, или распределения Стьюдента, так как величина коэффициента корреляции ограничена значения от –1 до +1. Для устранения данного затруднения Р.Фишер ввел вспомогательную величину z. связанную с rxy следующим соотношением: . При изменении rxy от –1 до +1 величина z изменятся от до , что соответствует нормальному распределению.

Стандартная ошибка величины z рассчитывается по формуле:

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение yp определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения xp . Вычисляется стандартная ошибка прогноза :

Величина стандартной ошибки достигает минимума при xp = и возрастает по мере того, как «удаляется9raquo; от в любом направлении. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор находится в центре области наблюдений х .

Доверительный интервал прогноза :

Однако так как фактические значений у варьируют около среднего значения , индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайно ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S 2 . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку, но и случайную ошибку. Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения составит:

На основе данных примера рассмотрим значения t-критерий Стьюдента .

Также расчет можно осуществить через F -критерий Фишера :

tтабл =2,57 при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 5.

tтабл < tb следовательно Н0 отклоняется, т.е. b и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х .

Доверительные интервалы примут значения:

31,21 ≤ b ≤ 42,47.

Значение коэффициента регрессии не проходит через нуль.

Коэффициент корреляции также сформировался под влиянием систематически действующего фактора.

tтабл =2,57 при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 5.

Доверительные интервалы примут значения:

−25 ≤ а ≤ 13,27.

Таким образом, параметр а проходит через ноль, следовательно подтверждается несущественность параметра.

Рассчитаем доверительный интервал прогноза, чтобы иметь представление о том, какое значение примет теоретическое значение результативного признака при определенном значении х .

Доверительный интервал прогноза :

Диапазон между верхней и нижней границей доверительного интервала составляет 1,13 (150,15:132,99).

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

v регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

v регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

· полиномы разных степеней:

· равносторонняя гипербола:

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

при построении уравнения регрессии вида гиперболы строится и решается следующая система нормальных уравнений:

Для удобства решения прибегают к процедуре линеаризации.

Линеаризация . которая состоит в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными, приводит нелинейную регрессию к виду линейной. Например, в параболе второй степени: , заменяем переменную х 2 на z, и получаем двухфакторное уравнение линейной регрессии: .

Полином любого порядка может быть сведен к линейной регрессии с последующим применением методов оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК), выступает равносторонняя гипербола: , которая может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции.

Линеаризация происходит путем замены на z. что приводит к линейному уравнению регрессии вида: .

Формула критерия Фишера для параболы имеет вид:

Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам представлены ниже:

· степенная – ;

· показательная – ;

· экспоненциальная – .

Класс нелинейных моделей подразделяется на внутренне линейные и внутренне нелинейные. Если линейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена к линейному виду.

Степенная функция является примером нелинейной по параметрам регрессии. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т.к. включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование приводит его к линейному виду: .

При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln y, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это кривые спроса и предложения, кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, а также зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению , т.е. решается система нормальных уравнений:

Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр a – косвенным путем после потенцирования величины ln a.

Так как в виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения, то обычно параметром b<0 характеризуется эластичность спроса, а параметром b>0 – эластичность предложения.

Если же модель представить в виде:

То она становится внутренне нелинейной, так как ее невозможно превратить в линейный вид, то же относится к моделям вида:

так как эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения. линейные по коэффициентам.

Ниже представлены формулы расчета коэффициентов эластичности (табл. 1.7).

Уравнение нелинейной регрессии дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (0 ≤ ≤ 1):

Проверка статистической значимости уравнения нелинейной регрессии в целом осуществляется через F -критерий Фишера и индекс детерминации R 2 .

Индекс детерминации используется для проверки статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии.

Так для степенной функции вида значение m = 1 и формула F- критерия принимает вид, что и при линейной зависимости:

Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений результативного признака от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5-7% свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Коэффициент эластичности как характеристика силы связи фактора с результатом

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора x с результатом у. показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности (Э) рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения x.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменяется функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.
Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.
Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения : и показывает, на сколько процентов изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.
Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х0 . и показывает, на сколько процентов изменится у относительно уровня у(х0 ) при увеличении х на 1% от уровня х0 .
В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведены в таблице.

Вид функции y = f(x)

Точечный коэффициент эластичности

Средний коэффициент эластичности

Парабола y= a + bx + cx 2

Равносторонняя гипербола y = a + b/x

Степенная y=ax b

Показательная y=ab x

Только для степенных функций y=a·x b коэффициент эластичности представляет собой постоянную независящую от х величину (равную в данном случае параметру b ). Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1%. Так, если зависимость спроса у от цен p характеризуется уравнением вида: y=200p -1,5. то, следовательно, с увеличением цен на 1% спрос снижается в среднем на 1,5%.
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, бессмысленно определять, на сколько процентов изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1%. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего значения R2 ), не может быть экономически интерпретирована.

Расчет коэффициента эластичности для линейной функции производят через калькулятор Линейная парная регрессия (см. для нелинейной функции ).

Совет 1: Как рассчитать коэффициент эластичности

Рассчитайте коэффициент эластичность спроса по доходу по формуле: Е=(ΔQ/Q1)/(ΔI/I1), где:- Q — объем купленных товаров;- I — доход потребителя.Для расчета определите изменение спроса потребителей на данный вид товара при условии, что цена на него будет одинаковой. Предположим, за месяц в магазине было приобретено мобильных телефонов на сумму 200 тыс. руб. в следующем месяце — на 210 тыс. руб. Цены на телефоны остались прежними.

Рассчитайте процент изменения величины спроса на мобильные телефоны: (210-200)/200*100%=5% — спрос на мобильные телефоны за месяц возрос на 5%.

Подсчитайте процент изменения доходов покупателей. Динамику доходов населения можно определить по статистическим данным вашего региона. Допустим, за месяц средняя заработная плата населения изменилась с 21 000 р. до 22 000 р. Рассчитайте процент изменения величины дохода за период: (22 000-21 000)/21 000*100%=4,8%, то есть, доходы населения возросли в среднем на 4,8%.

Рассчитайте эластичность спроса на мобильные телефоны по формуле, приведенной в пункте 1. Коэффициент эластичности спроса на мобильные телефоны по доходу будет равен: Е = 5%/4,8% = 1,04. Эта цифра означает, что при изменении дохода потребителя на 1%, спрос на эту категорию товара изменится на 1,04%.

Рассчитайте коэффициент эластичность спроса по цене по формуле: Е=(ΔQ/Q1)/(ΔР/Р1), где:- Q — объем купленных товаров;- Р — цена на товар.Для примера рассчитайте эластичность спроса по цене на мобильные телефоны. Определите изменение спроса потребителей на данный вид товара. Допустим, спрос на них возрос на 5% (п.2). Средняя цена одного проданного телефона увеличилась с 8 000 до 8 300 рублей.

Рассчитайте процент изменения средней цены на проданные телефоны: (8 300-8 000)/8 000*100%=3,8%. Следовательно, средняя цена проданного телефона за месяц выросла на 3,8%.

Рассчитайте эластичность спроса на мобильные телефоны по формуле, приведенной в пункте 5. Коэффициент эластичности спроса на мобильные телефоны по цене будет равен: Е = 5%/3,8% = 1,32. Эта цифра означает, что при изменении цены на мобильные телефоны на 1%, спрос на эту категорию товара изменится на 1,32%.

Совет 2: Как рассчитать коэффициент эластичности спроса

Чувствительность рынка к изменению цен на товары, доходов потребителей и иных факторов рыночной конъюнктуры отражается в показателе эластичности. которая характеризуется специальным коэффициентом. Коэффициент эластичностиспроса показывает, насколько в количественном выражении изменился объем спроса при изменении рыночного фактора на 1%.

Коэффициент эластичности формула

Вы должны учитывать, что существует несколько показателей эластичностиспроса. Коэффициент эластичностиспроса по цене отражает степень количественного изменения спроса при увеличении или уменьшении цены на 1%. При этом выделяют три варианта эластичности. Неэластичный спрос имеет место в случае, когда приобретаемое количество товара увеличивается меньшими темпами, чем снижение цены. Эластичным считается спрос, когда снижение цены на 1% ведет к увеличению спроса больше, чем на 1%. Если приобретаемое количество товара возрастает таким же темпами, которыми происходит падение цены, то имеет место спрос единичной эластичности .

При анализе эластичности вы можете рассчитать коэффициент эластичностиспроса по доходу. Он определяется по аналогии с эластичностью спроса по цене как степень количественного изменения дохода потребителей на 1%. В силу того, что при увеличении дохода возможность приобретения товаров возрастает, данный коэффициент имеет положительную тенденцию. Если коэффициент эластичностиспроса по доходу крайне мал, то речь идет о товарах первой необходимости; если же наоборот, очень велик — то о предметах роскоши.

Кроме того, существует коэффициент перекрестной эластичности. Он характеризует степень изменения спроса на один товар при изменении цены на другой товар на 1%. Данный показатель может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Если коэффициент перекрестной эластичности больше нуля, то рассматриваемые товары являются взаимозаменяемыми, например, макароны и картофель. При увеличении цена на картофель спрос на макаронные изделия возрастает. Если данный коэффициент принимает отрицательное значение, то имеют место взаимодополняющие товары, например, автомобиль и бензин. При росте цен на бензин спрос на машины значительно сокращается. Если коэффициент эластичности равен нулю, то товары являются независимыми друг от друга, и изменение цены на один товар никак не влияет на объем спроса на другой.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *