Инъективное отображение

Математический анализ. Вопрос №7

Отображение. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Равномощные множества.

Пусть X, Y — произвольные непустые множества.
Определение. Отображение f из множества X во множество Y — это правило, при помощи которого каждому элементу x ∈X ставится в соответствие однозначно определенный элемент y ∈Y.
Множество Х называется областью определения отображения f ; множество Y — его областью значений.
Синонимичные записи Инъективное отображение выражают тот факт, что f является отображением из Х в Y.

Элемент у ∈Y, который при помощи отображения f поставлен в соответствие элементу х ∈X, называется образом элемента х и обозначается через f(x) ; в той же ситуации элемент х называется прообразом элемента у. Полным прообразом Инъективное отображение элемента у будем называть множество всех прообразов у. Из определения отображения вытекает, что полные прообразы различных элементов не имеют общих элементов.

Когда область определения Х и область значений Y данного отображения f совпадают, то f называют преобразованием множества Х. Если А — произвольное подмножество множества Х, то множество f(A) = <y |y = f(x) для некоторого xА > называется образом множества А при отображении f .
Образ f (X) всей области определения Х называется множеством значений отображения f .
Часто область определения и множество значений отображения f обозначают через D(f ) и E(f ) соответственно.

Отображение f из Х в Y называется инъективным. если для любых х1. х2 ∈Х из неравенства х1х2 следует неравенство f(x1)f(x2) .

Отображение f из Х в Y называется суръективным. если множество значений f (X) совпадает с областью значений Y.
Если использовать понятие полного прообраза, то определение можно сформулировать иначе. Отображение f из Х в Y называется суръективным. если полный прообраз произвольного элемента y ∈Y является непустым множеством.

Отображение f из Х в Y называется биективным. если оно суръективно и инъективно одновременно.

Если существует инъективное (соответственно биективное) отображение из Х в Y, то говорят, что мощность Х не больше мощности Y (соответственно мощность Х равна мощности Y ).

Пример 6. Рассмотрим отображение g. R → R, возводящее каждое действительное число в квадрат: g(x) = x2. График g — это подмножество в декартовом произведении R х R = R 2. С помощью декартовой системы координат каждую упорядоченную пару чисел (x, у) можно изобразить точкой на плоскости. Тогда график функции g(x) = x 2. т. е. множество <(x,y) € R 2 |y = x 2 >, изображается параболой.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать отображения. Отображение f. A → B называется инъективным, если

Другими словами, инъективное отображение переводит разные элементы в разные:

Отображение f. A → B называется сюръективным (или отображением A на B), если

При сюръективном отображении любой элемент B является образом некоторого элемента a ∈ A. Отображение называется биективным, если оно является инъективным и сюръективным. При биективном отображении каждому b ∈ B соответствует определённый a ∈ A, поэтому используется двусторонняя стрелка:

В этом случае говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие.

Рассмотренное в примере 6 отображение g. R → R, возводящее каждое число в квадрат, не является инъективным, так как 3 2 = (—3) 2 = 9. Не является g и сюръективным, так как отрицательные числа не могут быть квадратами действительных чисел.

В примере 5 отображение является сюръективным и не является инъективным, так как в любую окружность можно вписать много различных треугольников.

Пример 7. Пусть N = < 1, 2, 3, 4. > — множество натуральных чисел, M = <2, 4, 6, 8. > — множество чётных натуральных чисел. Рассмотрим отображение a. N → M, действующее по правилу: a(n) = 2n. Поэтому a инъективно. Любое чётное

Отображения. Инъективные и сюръективные отображения

Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное отображение Инъективное отображениеА Инъективное отображениеВ.

Отображение Инъективное отображениеА Инъективное отображениеВ называется инъективным, если разные элементы множестваAпереходят в разные элементы множестваB: если а Инъективное отображениев, то Инъективное отображение.

Отображение Инъективное отображениеА Инъективное отображениеВ называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет свой прообраз в множестве А.

Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно называется биективным.

Инъективное отображение

1. Пусть f: R Инъективное отображениеR задано формулой f(x) = x 2 -1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.

Область определения функции – R. область значений функции – [-1;+ Инъективное отображение).

f – отображение. Если (х,у) Инъективное отображение f и (х,z) Инъективное отображение f. то y = z, так как (x,y) Инъективное отображениеf, т.е. y = x 2 -1, (x,z) Инъективное отображениеf, т.е. z = x 2 -1.

Найдутся х1. х2 Инъективное отображениеR, такие что х1 Инъективное отображениех2. но: f(x1 ) = f(x2 ), например, пусть х1 = 1, х2 = -1, тогда f(x1 ) = 0 и f(x2 ) = 0, т.е. х1 Инъективное отображениех2. а f(x1 ) = f(x2 ). Таким образом, это неинъективное отображение.

Так как область значений функции [1;+ Инъективное отображение) не совпадает сR. то отображение несюръективно.

2. Пусть f: R Инъективное отображениеR задано формулой f(x) = x 4. Является ли отображение инъективным, сюръективным?

Поскольку х1 =2 Инъективное отображениеR. х2 = -2 Инъективное отображениеR. f(2) = f(-2) = 16, т.е. х1 Инъективное отображениех2. а f(x1 ) = f(x2 ), то отображение неинъективно.

Для любого x Инъективное отображениеR не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х 4 Инъективное отображение-16, поэтому отображение несюръективно.

3. Пусть отображение f: [0;+ Инъективное отображение) Инъективное отображение[0;+ Инъективное отображение) задано формулойf(x)=x 2. Является ли оно инъективным, сюръективным?

Для любых х1. х2 Инъективное отображение[0;+ Инъективное отображение), х1 Инъективное отображениех2. f(x1 )=x1 2. f(x2 )=x2 2. но f(x1 ) Инъективное отображениеf(x2 ), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) — инъективное отображение.

Для каждого значения f(x) Инъективное отображение[0;+ Инъективное отображение) найдётся х Инъективное отображение[0;+ Инъективное отображение), поэтомуf(х) — сюръективное отображение.

из 1. и 2. следует, что отображение биективно.

Отношение эквивалентности

Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на множестве А.

Отношение Г называют рефлексивным, еслиaГа для всехa Инъективное отображениеA.

Отношение Г называют симметричным, если аГb Инъективное отображениеbГа.

Отношение Г называют транзитивным, если аГb,bГа Инъективное отображениеаГс.

Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R. если D=<(x;y)| sin x = sin y>.

D – рефлексивно, так как для любого Инъективное отображениеR ( Инъективное отображение) Инъективное отображениеD, т.е. для любого x Инъективное отображениеR имеем sin x = sin x.

D – симметрично, так как для любой пары ( Инъективное отображение, Инъективное отображение) Инъективное отображениеD имеем ( Инъективное отображение) Инъективное отображениеD, т.е. для любых Инъективное отображение Инъективное отображениеR из (x,y) Инъективное отображениеD следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x) Инъективное отображениеD.

D – транзитивно, так как для любых а,b,c Инъективное отображениеR из того что ( Инъективное отображение) Инъективное отображениеD и ( Инъективное отображение) Инъективное отображениеD следует, что ( Инъективное отображение) Инъективное отображениеD, т. е. если (x,y) Инъективное отображениеD, то sinx=siny, если (y,z) Инъективное отображениеD, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) Инъективное отображениеD.

Из 1. 2. 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).

2.Упражнение. Выяснить, является ли Инъективное отображениеотношением эквивалентности, если х Инъективное отображениеу = <(x,y)| x = 3y>.

Инъективное отображение это:

Отображение Инъективное отображение называется инъекцией (или вложением. или взаимно однозначным отображением в множество Y ), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y .

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы ( Инъективное отображение). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью ).

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть Инъективное отображение инъективно, если существует Инъективное отображение такое, что Инъективное отображение.

  1. Инъективное отображение — инъективно.
  2. Инъективное отображение — инъективно.
  3. Инъективное отображение — не является инъективным ( F ( — 2) = F (2) = 4 ).

Литература

  • Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
  • Ершов Ю. Л. Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб. «Лань», 2004—336 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Смотреть что такое «Инъективное отображение» в других словарях:

ИНЪЕКЦИЯ — инъективное отображение, множества Ав множество В отображение f. при к ром различные элементы из Аимеют различные образы в В. И. наз. также взаимно однозначным отображением множества Ав множество В, или вложением. О. А. Иванова … Математическая энциклопедия

Отношение эквивалентности — У этого термина существуют и другие значения, см. Эквивалентность. Отношение эквивалентности ( ) на множестве   это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия: Рефлексивность: для любого в. Симметричность: если … Википедия

Класс эквивалентности — Отношение эквивалентности ( ) на множестве X это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия: Рефлексивность: для любого a в X, Симметричность: если. то. Транзитивность: если … Википедия

МНОЖЕСТВ КАТЕГОРИЯ — категория, объектами к рой являются всевозможные множества, морфиз мами всевозможные отображения множеств друг в друга, и умножение морфизмов определяется как последовательное выполнение отображений и Если теоретико категорные рассмотрения… … Математическая энциклопедия

Хеширование — Хеш функция, отображающая множество имён в множество натуральныых чисел Хеширование (иногда «хэширование», англ. hashing)  преобразование по детерменированному алгоритму входного массива данных прои … Википедия

ШТЕЙНА ПРОСТРАНСТВО — голоморфно полное пространство, паракомпактноо комплексное аналитич. ространство обладающее следующими свойствами: 1) любое компактное аналитич. одмножество в Xконечно; 2) любой компакт допускает такую открытую окрестность Wв X, что множество… … Математическая энциклопедия

Инъективное отображение

Инъективное отображение одного множества на другое называется также взаимно однозначным отображением. Непрерывное взаимно однозначное отображение множества X в множество У называется гомеоморфизмом. Непрерывное отображение множества X в множество У называется гомоморфизмом.  [1]

Инъективное отображение обладает следующим свойством: различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.  [2]

Рассмотрим инъективные отображения f множества Е в F, где Е и F состоят, соответственно, из т и п элементов.  [3]

Если инъективное отображение A ( d) — сохраняет кондукторы и согласовано с подкруткой на неразвет-влеиные характеры, то оно является биекцией.  [4]

Рассматриваются инъективные отображения множества слов над конечным алфавитом 17 в множество слов над конечным алфавитом 17 ь Получено полное описание множества всех таких отображений, не размножающих искажений типа замены, пропуска и вставки букв.  [5]

Ys есть инъективное отображение.  [6]

Задано семейство инъективных отображений аффинных пространств в P ( V) j называемых аффинными картами. Каждой точке в А сопоставляется единственное одномерное подпространство в V, ее содержащее.  [7]

По условию существуют инъективные отображения f: X — Y и g: Y — — X; зафиксируем их. Отображения / и g никак не связаны между собой. Если данное равенство выполняется, то, полагая ty ( x) f ( x) для всех дгеЛ и ty ( x) g — l ( x) для всех х Х А, мы получаем взаимооднозначное отображение ty: X — — Y множества X на множество У — это очевидно.  [8]

Следовательно, существует инъективное отображение f: X — W. Так как f инъективно и — вполне упорядочение на W, этим определено вполне упорядочение на Х — Таким образом, доказана следующая фундаментальная теорема.  [9]

Доказать, что инъективное отображение структуры подгеометрии L ( A) в структуру геометрии L ( S) является сильным отображением.  [10]

А) индуцирует инъективное отображение множества классов изоморфизма главных неразложимых модулей в множество простых модулей.  [11]

Вложение часто называют инъективным отображением. наложение — сюръективным, а взаимно однозначное отображение — биективным.  [12]

В нижнем ряду таблицы инъективного отображения Ф: А — В в отличие от таблиц произвольных отображений, каждый элемент множества В встречается лишь один раз. Следовательно, на каждой горизонтальной прямой графика инъекции обозначено не более одной вершины сетки, а при стрелочном изображении инъекпии в каждую точку, которой обозначается элемент множества Б, входит не более чем одна стрелка.  [13]

В нижнем ряду таблицы инъективного отображения ср. Д — В в отличие от таблиц произвольных отображений, каждый элемент множества В встречается лишь один раз. Следовательно, на каждой горизонтальной прямой графика инъекции обозначено не более одной вершины сетки, а при стрелочном изображении инъекции в каждую точку, которой обозначается элемент множества В, входит не более чем одна стрелка.  [14]

Образ некомпактного полиэдра при инъективном отображении может не быть полиэдром. Как обстоит дело с компактными полиэдрами и произвольными кусочно линейными отображениями.  [15]

Страницы:    9ensp;9ensp;1  9ensp;9ensp;2  9ensp;9ensp;3

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *