Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа

Будем искать функцию в виде полинома заданной степени – интерполяционного полинома. т. е. положим что

и в соответствии с определением интерполирующей функции

Поскольку степень полинома известна, то поиск полинома сводится к нахождению набора его коэффициентов .

14.3.1 Определение коэффициентов интерполяционного
полинома

Воспользовавшись выражением (14.1) для искомого полинома и условием (14.2), получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов .

Систему уравнений (14.3) представим в матричном виде, введя соответствующие обозначения.

В результате система уравнений (14.3) приобретает вид

Отметим, что задача интерполяции в описанной выше постановке имеет единственное решение. Это означает, что не существует двух различных наборов коэффициентов , удовлетворяющих условию (14.2). Это следует из того, что искомые коэффициенты полинома определяются как решение системы линейных уравнений, имеющей единственное решение.

Французский математик Лагранж предложил способ построения интерполяционного полинома без предварительного вычисления коэффициентов , т. е. без решения системы уравнений (14.3).

Будем искать интерполяционный полином, который в данном случае обозначим через , в виде

Неизвестные коэффициенты определим из условия

Последовательно полагая , получим

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (14.6) для многочлена , получим

Полученный таким образом полином называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

Следует отметить, что полином Лагранжа просто представляет собой другую форму записи рассмотренного ранее полинома , что следует из единственности решения задачи интерполяции.

Выражение для полинома Лагранжа может быть легко преобразовано к виду путем группировки коэффициентов при соответствующих степенях аргумента .

Пусть имеем две точки и , что соответствует значению . Тогда

Обозначая и , получаем

Пусть имеем три точки , и , что соответствует значению . Тогда

Достоинства полинома Лагранжа:

· график интерполяционного многочлена Лагранжа проходит через каждую точку массива;

· конструируемая функция легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа на сетке равно );

· построенная функция имеет непрерывные производные любого порядка;

· заданным массивом интерполяционный многочлен определен од­нозначно.

Недостатки полинома Лагранжа:

· степень интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от числа узлов сетки, и чем больше это число, тем выше степень интерполяционного многочлена и, значит, тем больше требуется вычислений;

· изменение хотя бы одной точки в массиве требует полного пере­счета коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа.

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

4. Интерполяционный многочлен Ньютона

5Приближение и интерполирование функций ,

6 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико­-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)»j(х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

· Интерполяционный многочлен Лагранжа

· Интерполяционный многочлен Ньютона

· Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х 2. …, х n. что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos ai x, sin ai x. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e — az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.

Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.

Часто экспериментальные данные функциональной зависимости представляются таблицей, в которой шаг по независимой переменной не постоянен. Для работы с таким представлением функции конечные разности и конечно-разностные операторы не пригодны. В этом случае первостепенную роль играют разделенные разности.

Разделенную разность функции f(x) для некоторых двух точек и определяют следующей дробью:

Для построения степенного многочлена, проходящего через заданные точки, необходимо иметь число точек на единицу больше, чем степень многочлена. Согласно определению разделенной разности число их для n точек равно числу сочетаний из n по 2. Это во много раз больше, чем необходимо для построения кривых, проходящих через n точек. Из опыта работы с конечными разностями видно, что разделенных разностей из всего множества достаточно выбрать всего n, но выбрать так, чтобы в их образование входили все (n+1) точек таблицы.

Вполне разумно вычислять разделенные разности только для соседних значений функции в таблице. В этом случае говорят об упорядоченных разделенных разностях. Аргументу табличной функции присваиваются индексы из чисел натурального ряда, начиная с нуля, в результате чего обозначения разделенных разностей для i-той строки таблицы будут .

Повторная разность от разделенной разности есть разделенная разность второго порядка:

В общем случае разделенная разность n-го порядка имеет вид:

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Произведения из скобочных сомножителей в знаменателе каждого слагаемого напоминают своим видом некий степенной многочлен от переменной . который своими корнями имеет значения . исключая . Многочлен от x с корнями в этих же точках, включая и . будет иметь вид:

Удаляя тот или иной сомножитель из . можно по желанию исключить ненужный нуль многочлена. Если взять i-тое слагаемое без из выражения для разделенной разности n-го порядка и умножить его на . в котором отсутствует сомножитель . то многочлен степени n будет обладать следующими свойствами:

Если умножить на . то полученный многочлен степени n будет проходить через точку с координатами и будет равен нулю во всех точках . Сумма таких многочленов по всем определяет интерполяционный многочлен Лагранжа степени n.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа

Функция тангенса и интерполяция

Найдем формулу интерполяции для f(x) = tan(x ) имеющей следующие значения:

x 0 = − 1.5 f ( x 0 ) = − 14. 1014 x 1 = − 0.75 f ( x 1 ) = − 0. 931596 x 2 = 0 f ( x 2 ) = 0 x 3 = 0.75 f ( x 3 ) = 0. 931596 x 4 = 1.5 f ( x 4 ) = 14. 1014. <\displaystyle <\beginx_<0>&=-1.59amp;9amp;9amp;9amp;9amp;f(x_<0>)9amp;=-14,1014\\x_<1>9amp;=-0.759amp;9amp;9amp;9amp;9amp;f(x_<1>)9amp;=-0,931596\\x_<2>9amp;=09amp;9amp;9amp;9amp;9amp;f(x_<2>)9amp;=0\\x_<3>9amp;=0.759amp;9amp;9amp;9amp;9amp;f(x_<3>)9amp;=0,931596\\x_<4>9amp;=1.59amp;9amp;9amp;9amp;9amp;f(x_<4>)9amp;=14,1014.\end>> ℓ 0 ( x ) = x − x 1 x 0 − x 1 ⋅ x − x 2 x 0 − x 2 ⋅ x − x 3 x 0 − x 3 ⋅ x − x 4 x 0 − x 4 = 1 243 x ( 2 x − 3 ) ( 4 x − 3 ) ( 4 x + 3 ) <\displaystyle \ell _<0>(x)= \over x_<0>-x_<1>>\cdot \over x_<0>-x_<2>>\cdot \over x_<0>-x_<3>>\cdot \over x_<0>-x_<4>>=<1 \over 243>x(2x-3)(4x-3)(4x+3)> ℓ 1 ( x ) = x − x 0 x 1 − x 0 ⋅ x − x 2 x 1 − x 2 ⋅ x − x 3 x 1 − x 3 ⋅ x − x 4 x 1 − x 4 = − 8 243 x ( 2 x − 3 ) ( 2 x + 3 ) ( 4 x − 3 ) <\displaystyle \ell _<1>(x)= \over x_<1>-x_<0>>\cdot \over x_<1>-x_<2>>\cdot \over x_<1>-x_<3>>\cdot \over x_<1>-x_<4>>=<>—<8 \over 243>x(2x-3)(2x+3)(4x-3)> ℓ 2 ( x ) = x − x 0 x 2 − x 0 ⋅ x − x 1 x 2 − x 1 ⋅ x − x 3 x 2 − x 3 ⋅ x − x 4 x 2 − x 4 = 3 243 ( 2 x + 3 ) ( 4 x + 3 ) ( 4 x − 3 ) ( 2 x − 3 ) <\displaystyle \ell _<2>(x)= \over x_<2>-x_<0>>\cdot \over x_<2>-x_<1>>\cdot \over x_<2>-x_<3>>\cdot \over x_<2>-x_<4>>=<3 \over 243>(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)> ℓ 3 ( x ) = x − x 0 x 3 − x 0 ⋅ x − x 1 x 3 − x 1 ⋅ x − x 2 x 3 − x 2 ⋅ x − x 4 x 3 − x 4 = − 8 243 x ( 2 x − 3 ) ( 2 x + 3 ) ( 4 x + 3 ) <\displaystyle \ell _<3>(x)= \over x_<3>-x_<0>>\cdot \over x_<3>-x_<1>>\cdot \over x_<3>-x_<2>>\cdot \over x_<3>-x_<4>>=-<8 \over 243>x(2x-3)(2x+3)(4x+3)> ℓ 4 ( x ) = x − x 0 x 4 − x 0 ⋅ x − x 1 x 4 − x 1 ⋅ x − x 2 x 4 − x 2 ⋅ x − x 3 x 4 − x 3 = 1 243 x ( 2 x + 3 ) ( 4 x − 3 ) ( 4 x + 3 ). <\displaystyle \ell _<4>(x)= \over x_<4>-x_<0>>\cdot \over x_<4>-x_<1>>\cdot \over x_<4>-x_<2>>\cdot \over x_<4>-x_<3>>=<1 \over 243>x(2x+3)(4x-3)(4x+3).>

L ( x ) = 1 243 ( f ( x 0 ) x ( 2 x − 3 ) ( 4 x − 3 ) ( 4 x + 3 ) − 8 f ( x 1 ) x ( 2 x − 3 ) ( 2 x + 3 ) ( 4 x − 3 ) + 3 f ( x 2 ) ( 2 x + 3 ) ( 4 x + 3 ) ( 4 x − 3 ) ( 2 x − 3 ) − 8 f ( x 3 ) x ( 2 x − 3 ) ( 2 x + 3 ) ( 4 x + 3 ) + f ( x 4 ) x ( 2 x + 3 ) ( 4 x − 3 ) ( 4 x + 3 ) ) = 4. 834848 x 3 − 1. 477474 x. <\displaystyle <\beginL(x)&=<1 \over 243><\Big (>f(x_<0>)x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\\&<>\qquad <>-8f(x_<1>)x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&<>\qquad <>+3f(x_<2>)(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&<>\qquad <>-8f(x_<3>)x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\\&<>\qquad <>+f(x_<4>)x(2x+3)(4x-3)(4x+3)<\Big )>\\&=4,834848x^<3>-1,477474x.\end>>

Используя полином Лагранжа можно показать, что ∑ i = 1 k P n ( i ) = T n + 1 ( k ) = k T n ( k ) <\displaystyle \sum _^

_(i)=_(k)=k_(k)>

если P n ( i ) = i n <\displaystyle

_(i)=^> . то первые два по старшинству коэффициента многочлена T n ( k ) = k n n + 1 + k n − 1 2 + … <\displaystyle _(k)=<<^> \over >+<<^> \over <2>>+\dots >

Указанная выше сумма задаёт биективное отображение между P n ( i ) <\displaystyle

_(i)> и T n ( k ) <\displaystyle _(k)>

Многочлены Лагранжа степеней от нулевой до пятой для функции cos ⁡ ( 5 π x ) <\displaystyle \cos(5\pi x)>

Пусть для функции f(x) известны значения yi =f(xi ) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

Значения интегралов от li не зависят от f(x). и их можно вычислить заранее, зная последовательность xj .

Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции xj выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0 :

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y. который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики .

2. Интерполяционный многочлен лагранжа

Будем строить многочлен n -ой степени Ln(x) в виде линейной комбинации Интерполяционный многочлен лагранжа многочленов n -й же степени li(x) (i=0, 1, 2,…,n). Индекс i показывает номер многочлена. Для того чтобы этот многочлен был интерполяционным для функции f(x). достаточно зафиксировать в качестве коэффициентов ci этой линейной комбинации заданные в табл. (2.1) значения yi=f(xi). а от базисных многочленов li (x) потребовать выполнения условия

В этом случае для многочлена

Интерполяционный многочлен лагранжав каждом узлеxj(j<0, 1,…,n>). в силу (2.2), справедливо

Чтобы конкретизировать базисные многочлены li(X), учтем, что они должны удовлетворять условиям (2.2). Равенство нулюi-го многочлена во всех узлах, кромеi-го, означает, чтоli(X)можно записать в виде

Интерполяционный многочлен лагранжа

Таким образом, базисные многочлены Лагранжа имеют вид:

Интерполяционный многочлен лагранжа,

а искомый интерполяционный многочлен Лагранжа:

Пример. Построить интерполяционный полином для функции y=sinx .

Возьмем сетку, состоящую из трех точек: x0=0 ; x1= Интерполяционный многочлен лагранжа; x2= Интерполяционный многочлен лагранжа, выпишем соответствующие этим аргументам значения функции sinx. y0=0 ; y1= Интерполяционный многочлен лагранжа; y2=1 .

Построим по этой таблице интерполяционный полином второй степени. По формуле Лагранжа (2.3):

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Легко проверить, что в точках сетки этот полином принимает нужные значения. Чтобы получить представление о погрешности интерполирования, сравнивая значения sinx и интерполяционного полинома в точке х= Интерполяционный многочлен лагранжа.

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Значительная величина погрешности определяется тем, что на отрезке длиной Интерполяционный многочлен лагранжамы взяли грубую сетку, состоящую всего из трех точек. Чтобы улучшить точность интерполирования, нужно либо увеличить число точекn и повысить соответственно степень интерполяционного полинома Ln(x). либо уменьшить длину исходного отрезка.

3. Интерполяционная схема эйткена

Пусть функция f(x) и расположение узлов x0 . x1 . . xn на отрезке интерполяции [a,b] таковы, что имеет место сходимость процесса интерполяции, т.е. Rn(x)0 при n. Пусть требуется найти не общее выражение Ln(x). а лишь его значения при конкретных x, т.е. решается частная задача вычисления отдельных приближенных значений функции f(x) с помощью вычисления соответствующих им значений интерполяционного многочлена Лагранжа Ln(x). Для построения эффективного способа решения такой частной задачи интерполяции учтем следующее:

использование многочлена Лагранжа в виде (2.3) неудобно из-за его громоздкости, что ведет к большим вычислительным затратам;

заранее не известно, многочлены какой степени нужно использовать для интерполирования данной функции с требуемой точностью. А постепенное улучшение точности за счет вычислений Ln(x) с большим показателем степени n невыгодно, т.к. Ln-1(x) плохо перестраивается в Ln(x) ;

функция f(x) задается таблицей своих приближенных значений. Процесс сходимости Ln(x) к f(x) при больших значениях n будет нарушен влиянием на результат исходных ошибок.

Построим вычислительную схему для получения приближенного значения сеточной функции f(x) в заданной точке Интерполяционный многочлен лагранжа, в основу которой будет положена интерполяция Лагранжа на сетке узловx0 . x1 . . xn . Организация вычислений по этой схеме будет иметь итерационный характер. Каждый шаг заключается в вычислении некоторого определителя второго порядка.

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Т.е. P0,1(x) совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени, построенным по двум данным точкам (сравните с 2.3).

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Интерполяционный многочлен лагранжа.

Покажем, что эта функция есть многочлен второй степени. Учитывая, что

Продолжая процесс рассуждения, получим рекуррентное задание последовательности интерполяционных многочленов Лагранжа, которое составляет суть интерполяционной схемы Эйткена:

Схема Эйткена легко реализуется на ЭВМ. Организация вычислений по формуле (3.1) должна быть такова, что если заранее неизвестна степень интерполяционного многочлена, который нужно использовать для вычисления y(x). то должно происходить постепенное повышение степени k интерполирующих ее многочленов за счет подключения новых узлов. Счет ведется до тех пор, пока идет уточнение приближенного значения y(x) .

Пример. Пусть некоторая функция y=y(x) задана таблицей своих значений, округленных до двух знаков после запятой:

Рассмотрим процесс вычисления двух значений этой функции по схеме Эйткена в точках: а) Интерполяционный многочлен лагранжа; б) Интерполяционный многочлен лагранжа. Результаты промежуточных вычислений (в которых один знак запасной) сведем в табл. 3.1, 3.2. Числа в столбцах, помеченных посредством Интерполяционный многочлен лагранжа, представляют собой значения многочленов Лагранжаk -ой степени, построенных по узлам отi -го до(i+k) -го рекуррентно по формуле:

где k=1, 2, …, Интерполяционный многочлен лагранжа, в соответствии с интерполяционной схемой Эйткена. Порядок получения этих значений показан проставленными в каждой клетке номерами.

Вычисление по схеме Эйткена значения y(0.1)

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа

Постановка задачи. найти алгебраический многочлен (полином ):

Интерполяционный многочлен лагранжа

степени не выше n такой, чтобы

т.е. имеющий в заданных узлах xi , (i =0,1. n ) те же значения, что и сеточная функция у =f(x) .

Сам многочлен Ln (x) называется интерполяционным полиномом, а задача – полиномиальной интерполяцией.

Найти многочлен Ln (x) – это значит найти его коэффициенты a0. a1,…,an. Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ai , (i =0, 1,…,n ):

Интерполяционный многочлен лагранжа

где xi и yi (i =0,1,…,n ) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

Интерполяционный многочлен лагранжа

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение .

Определив коэффициенты a0, a1,…,an, решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) :

Интерполяционный многочлен лагранжа

который можно записать в виде:

Интерполяционный многочлен лагранжа

Доказывается [3, 6], что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.

При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x0, y0) и (x1, y1), и многочлен Лагранжа имеет вид

Интерполяционный многочлен лагранжа

Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа

Интерполяционный многочлен лагранжа

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона [3, 6], применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита [3].

Сплайн-интерполяция. При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию. когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Среднеквадратичное приближение функций

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер .

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= j(х), значения которой при x=xi . возможно мало отличалось бы от опытных данных yi , (i =1. n ). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y= j(х) на отрезке [x1,xn ]:

Аппроксимирующая функция y= j(х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР) .

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной. если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

• просчитать значение y для любого Интерполяционный многочлен лагранжа (интерполяция );

• сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка Интерполяционный многочлен лагранжа (экстраполяция );

• выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L. y= j(х) «возможно ближе » примыкающей к системе экспериментальных точек Mi (xi. yi ), i= 1,2. n. заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Интерполяционный многочлен лагранжа

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *