Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке .

1) функция и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений функции при является отрезок ;

3) , , то справедлива формула

Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле .

1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

2. Часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

3. Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение: Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда , . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение: Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

Замена переменной в определенном интеграле

Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2

Рассмотрим Замена переменной в определенном интеграле. где f (x ) непрерывна на [a. b ]. Введем новую переменную интегрирования t. связанную с переменной x соотношением x =&#&66;(t ), где Замена переменной в определенном интеграле. а Замена переменной в определенном интеграле .

Функция &#&66; (t ) должна быть непрерывно-дифференцируемой. Кроме того, &#&66;(α)=a. &#&66;(β)=b. тогда имеет место формула

Замена переменной в определенном интеграле .

Следует отметить, что при вычислении определенного интеграла уже нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования, т.к. пределы интегрирования изменились в соответствии с подстановкой.

Примеры. Вычислить интегралы 1) Замена переменной в определенном интеграле ; 2) Замена переменной в определенном интеграле .

1. Введем новую переменную интегрирования, полагая Замена переменной в определенном интеграле. Отсюда находим: Замена переменной в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. Вычислим новые пределы интегрирования: при Замена переменной в определенном интеграле имеем Замена переменной в определенном интеграле. при Замена переменной в определенном интеграле получаем Замена переменной в определенном интеграле. Следовательно,

Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле .

2. Положим Замена переменной в определенном интеграле. тогда Замена переменной в определенном интеграле. Находим новые пределы интегрирования: при Замена переменной в определенном интеграле получаем Замена переменной в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. При Замена переменной в определенном интеграле получаем Замена переменной в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле .

Замена переменной в определенном интеграле Замена переменной в определенном интеграле

Интегрирование по частям

Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2

Если функции u (x ) и v (x ) непрерывно-дифференцируемы на [a. b ], то имеет место формула интегрирования по частям :

Замена переменной в определенном интеграле .

Примеры. Вычислить интегралы: 1) Замена переменной в определенном интеграле ;

Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле Замена переменной в определенном интеграле

Отметим очень важные для дальнейшего утверждения:

1) если функция f (x ) четная, то Замена переменной в определенном интеграле ;

2) если функция f (x ) нечетная, то Замена переменной в определенном интеграле ;

3) если f (x ) периодическая с периодом T. то Замена переменной в определенном интеграле .

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.3

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если f (x ) ≥ 0 для всех Замена переменной в определенном интеграле. то площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y = f (x ), прямыми x =a. x =b и осью Ox. выражается формулой Замена переменной в определенном интеграле (рис. 3.2, а).

Если же f (x ) ≤ 0 для всех Замена переменной в определенном интеграле. то Замена переменной в определенном интеграле и, следовательно, в этом случае Замена переменной в определенном интеграле (рис. 3.2, б).

II Замена переменной в определенном интеграле

функция Замена переменной в определенном интеграле непрерывна на отрезке [a , b ];

функция φ (t ) и ее производная непрерывны на отрезке Замена переменной в определенном интеграле причем Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле. (*)

Доказательство. Функция Замена переменной в определенном интеграле непрерывна на [a. b ], следовательно, у нее существует первообразная F (x ): Замена переменной в определенном интеграле. Функция Замена переменной в определенном интеграленепрерывна на Замена переменной в определенном интеграле, следовательно, имеет первообразную G (t ), которая имеет вид G (t )=F (φ (t )), ибо

Замена переменной в определенном интеграле

К определенным интегралам из формулы (*) применим основную формулу интегрального исчисления:

Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле.

Однако, последняя разность в силу условия 3) равна Замена переменной в определенном интеграле. Это и доказывает формулу (*).

Замена переменной в определенном интеграле= Замена переменной в определенном интеграле

Заметим, что определенный интеграл от единичной функции нет необходимости вычислять по формуле Ньютона–Лейбница: он равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Замена переменной в определенном интеграле

= Замена переменной в определенном интеграле Замена переменной в определенном интеграле

Замечание. При замене переменной в определенном интеграле меняем и пределы интегрирования. Возврат к первоначальной переменной интегрирования не нужен.

III Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функции Замена переменной в определенном интегралеи Замена переменной в определенном интеграленепрерывны вместе со своими производными на отрывке [a , b ]. Тогда:

Замена переменной в определенном интеграле

Доказательство. Формулу дифференцирования Замена переменной в определенном интегралепроинтегрируем по отрезку[a , b ]:

Замена переменной в определенном интеграле

Но первообразная для Замена переменной в определенном интегралеесть сама функцияuv. значит, по основной формуле

Замена переменной в определенном интеграле

отсюда и получаем утверждения теоремы.

Рассмотрим одну из первообразных непрерывной функции Замена переменной в определенном интегралеи вычислим Замена переменной в определенном интеграле:

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция Замена переменной в определенном интеграле четная, то есть Замена переменной в определенном интеграле. то получим

Замена переменной в определенном интеграле.

Значит, первообразная Замена переменной в определенном интеграле– нечетная. Если же функция Замена переменной в определенном интеграле нечетная, то есть Замена переменной в определенном интеграле), то

Замена переменной в определенном интеграле

что означает четность первообразной Замена переменной в определенном интеграле. А так как всякая другая первообразная имеет вид Замена переменной в определенном интеграле, то получаем полезное свойство первообразных:

одна из первообразных четной функции нечетна;

все первообразные нечетной функции четны.

Формула Ньютона – Лейбница и доказанное в предыдущем пункте свойство приводят к формулам:

Замена переменной в определенном интеграле

Например, без вычислений можно получить Замена переменной в определенном интеграле, так как подынтегральная функция нечетная, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля.

IIIОб интегралах от периодических функций.

Пусть функция Замена переменной в определенном интеграле имеет период T: Замена переменной в определенном интеграле. Пользуясь аддитивностью определенного интеграла, запишем для любого а :

Замена переменной в определенном интеграле

и в третьем интеграле сделаем замену x=x+T. Тогда y=xT. Замена переменной в определенном интеграле, Замена переменной в определенном интегралеиdx=dy:

Замена переменной в определенном интеграле Замена переменной в определенном интеграле

Окончательно, Замена переменной в определенном интеграле интеграл от периодической функции по промежутку, длина которого равна периоду, не зависит от положения промежутка на числовой оси.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол). метод трапеций или метод прямоугольников. Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.

В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Навигация по странице.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) — одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. то для аргумента Замена переменной в определенном интеграле интеграл вида Замена переменной в определенном интеграле является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию Замена переменной в определенном интеграле, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство Замена переменной в определенном интеграле.

Действительно, запишем приращение функции Замена переменной в определенном интеграле, соответствующее приращению аргумента Замена переменной в определенном интеграле и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
Замена переменной в определенном интеграле
где Замена переменной в определенном интеграле.

Перепишем это равенство в виде Замена переменной в определенном интеграле. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при Замена переменной в определенном интеграле, то получим Замена переменной в определенном интеграле. То есть, Замена переменной в определенном интеграле — это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как Замена переменной в определенном интеграле, где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a). используя первое свойство определенного интеграла: Замена переменной в определенном интеграле, следовательно, Замена переменной в определенном интеграле. Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b). Замена переменной в определенном интеграле, то есть Замена переменной в определенном интеграле. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница Замена переменной в определенном интеграле.

Приращение функции принято обозначать как Замена переменной в определенном интеграле. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид Замена переменной в определенном интеграле.

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Вычислить значение определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле по формуле Ньютона-Лейбница.

Для начала отметим, что подынтегральная функция Замена переменной в определенном интеграле непрерывна на отрезке [1;3]. следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл ).

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции Замена переменной в определенном интеграле множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для Замена переменной в определенном интеграле) записывается как Замена переменной в определенном интеграле. Возьмем первообразную при C = 0. Замена переменной в определенном интеграле.

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: Замена переменной в определенном интеграле.

На отрезке Замена переменной в определенном интеграле подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.

Найдем множество первообразных функции Замена переменной в определенном интеграле: Замена переменной в определенном интеграле.

Возьмем первообразную Замена переменной в определенном интеграле и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:
Замена переменной в определенном интеграле

Переходим ко второму определенному интегралу.

На отрезке [-1;1] подынтегральная функция не ограничена, так как Замена переменной в определенном интеграле, то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, Замена переменной в определенном интеграле не является первообразной функции Замена переменной в определенном интеграле на отрезке [-1;1]. поскольку точка 0. принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции Замена переменной в определенном интеграле на отрезке [-1;1].

Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z). которая определена на интервале Замена переменной в определенном интеграле и имеет на нем непрерывную производную, причем Замена переменной в определенном интеграле и Замена переменной в определенном интеграле, тогда Замена переменной в определенном интеграле.

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл Замена переменной в определенном интеграле, причем неопределенный интеграл Замена переменной в определенном интеграле мы бы искали методом подстановки.

Разберем на примере для ясности.

textarchive. ru

Если функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

Интеграл сходится. если оба несобственных интеграла и сходятся.

Пример 46. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем

Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 47. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Функция на отрезке не определена в точке . По определению имеем

Пример 48. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов

то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , , сходятся при и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных .

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов второго рода с помощью определения, поэтому используют приз-наки сравнения.

Приложения определенного интеграла

3.9.1 Вычисление площади плоской фигуры

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком оси , справа и слева прямыми и (рисунок 6), находится по формуле

Замена переменной в определенном интеграле

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *