Доказать что точки лежат в одной плоскости

Условие принадлежности четырех точек одной плоскости

Смешанное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами

Три вектора . . заданы своими декартовыми координатами. Разложим их по ортам . . . .

Известно, что векторное произведение векторов и находится по формуле:

Найдем скалярное произведение вектора векторного произведения и вектора . как векторов, декартовые координаты которых известны:

– это есть разложение по третьей строке определителя 3-го порядка:

– формула для вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими декартовыми координатами

Условие принадлежности четырех точек одной плоскости

Задача. Даны 4 точки . . . .

Доказать, что данные точки лежат в одной плоскости .

Составим три вектора: такие, что . . .

Из 2-го свойства смешанного произведения следует, что три вектора компланарны только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

– условие принадлежности четырех точек одной плоскости.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Компланарные векторы, исследование системы векторов на компланарность.

В этой статье мы поговорим о компланарности векторов. Сначала вспомним определение компланарности и получим необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в трехмерном пространстве. Далее разберемся с задачей исследования системы из n векторов на компланарность, рассмотрим решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Напомним определение компланарных векторов.

Векторы называются компланарными. если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Два вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости трехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости соответственно. Проведем через начало вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости прямую b1. параллельную прямой b. а через начало вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости прямую a1. праллельную прямой a. Плоскости, образуемые прямыми a и b1. а так же прямыми b и a1. параллельны по построению, а векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости принадлежат им. Следовательно, векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости компланарны.

А как же определить, являются ли три вектора компланарными?

Для этого существует необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве. Оно основано на понятии смешанного произведения векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Для компланарности трех векторов Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Пусть Доказать что точки лежат в одной плоскости, докажем что векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости компланарны.

Так как Доказать что точки лежат в одной плоскости, то векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости перпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор Доказать что точки лежат в одной плоскости перпендикулярен и вектору Доказать что точки лежат в одной плоскости и вектору Доказать что точки лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости компланарны, так как перпендикулярны одному вектору Доказать что точки лежат в одной плоскости.

Пусть теперь векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости компланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения Доказать что точки лежат в одной плоскости.

Так как векторы Доказать что точки лежат в одной плоскости и Доказать что точки лежат в одной плоскости компланарны, то вектор Доказать что точки лежат в одной плоскости перпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора Доказать что точки лежат в одной плоскости на Доказать что точки лежат в одной плоскости равно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения Доказать что точки лежат в одной плоскости.

Итак, теорема полностью доказана.

Покажем применение доказанного условия компланарности трех векторов к решению задач.

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 46. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две различные прямые могут лежать или не лежать в одной плоскости. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость р и выберем некоторую точку S, не принадлежащую плоскости р (рис. 130).

Тогда прямые АВ и ВС лежат в одной плоскости, именно в плоскости р. прямые AS и СВ не лежат в одной плоскости. Действительно, если бы они лежали в одной плоскости, то и точки А, В, С, S лежали бы в этой плоскости, что невозможно, так как S не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными. Совпадающие прямые также называются параллельными. Если прямые 11 и 12 параллельные, то пишут 11 || 12 .

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Очевидно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными.

Докажем одно важное свойство параллельных прямых, которое называется транзитивностью параллельности.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Если прямые 11. 12. 13 лежат в одной плоскости, то это утверждение доказано в планиметрии. Будем предполагать, что прямые 11. 12. 13 не лежат в одной плоскости.

Заметим, что прямая 13 содержит хотя бы одну точку М, не принадлежащую плоскости
р1 .

Через прямую и точку М проведем плоскость р3. которая пересечется с плоскостью р2 по некоторой прямой l. Докажем, что l совпадает с 13. Доказывать будем «методом от противного».

Предположим, что прямая 1 не совпадает с прямой 13. Тогда 1 пересекает прямую 12 в некоторой точке A. Отсюда следует, что плоскость р3 проходит через точку А р1 и прямую 11р1 и, следовательно, совпадает с плоскостью р1. Этот вывод противоречит тому, что точка М р3 не принадлежит плоскости р1.
Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому 1 = 13 .

Таким образом, доказано, что прямые 11 и 13 лежат в одной плоскости р3. Докажем, что прямые 11 и 13 не пересекаются.

Действительно, если бы 11 и 13 пересекались, например, в точке В, то плоскость р2 проходила бы через прямую 12 и через точку В 11 и, следовательно, совпадала бы с р1. что невозможно.

Задача. Доказать, что углы с сонаправленными сторонами имеют равные величины.

Пусть углы MAN и M1 A1 N1 имеют сонаправленные стороны: луч AM сонаправлен лучу А1 М1. а луч AN сонаправлен лучу A1 N1 (рис. 132).

На лучах AM и А1 М1 отложим равные по длине отрезки АВ и А1 В1. Тогда

как противоположные стороны параллелограмма.

Аналогично, на лучах AN и A1 N1 отложим равные по длине отрезки АС и А1 С1. Тогда

1. По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC, и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и BP с плоскостью A1B1С1, г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и ACD, РВ1С1 и ABC; д) точки пересечения прямых МК и DC, B1С1 и BP, С1М и DC.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

9. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости &#&45;? Ответ обоснуйте.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Доказать что точки лежат в одной плоскости

15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Доказать что точки лежат в одной плоскости

Комментарии:

Доказать, что три точки A (1, 8), B (-2, -7), C (-4, -17) лежат на одной прямой.

Если три точки A. B и C лежат на одной прямой, то треугольник ABC обратится в отрезок прямой, а потому его площадь должна быть равна нулю. Полагая в формуле

Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости

S = 0, получим условие, при котором три точки лежат на одной прямой

В более удобной форме условие, при котором три точки лежат на одной прямой, можно записать так:

Подставляя сюда координаты данных точек, получим, что левая часть (1) будет равна

Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости

Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости

Требование (1) выполнено:

Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости Доказать что точки лежат в одной плоскости

и, значит, три данные точки лежат на одной прямой.

решения других задач по данной теме

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *