Друга ознака рівності трикутників доказ

Ознаки рівності трикутників (доказ всіх)

1) по двох сторонах і куту між ними

Накладемо трикутник ABC (Або симетричний йому) на трикутник A1 B1 C1 так, щоб кут A совместился з кутом A1. Так як АВ = А1 В1. а АС = А1 З1. то B співпаде з В1. а C співпаде з З1. Значить, трикутник А1 В1 З1 збігається з трикутником АВС, а отже, дорівнює трикутнику АВС.

2) Друга ознака рівності трикутників доказ по стороні і прилеглих до неї кутам

ПустьАВС і А1 В1 З1 — два трикутника, у яких АС дорівнює А1 В1, кут А дорівнює куту А1. і кут В дорівнює куту В1. Доведемо, що вони рівні.

Накладемо трикутник ABC (Або симетричний йому) на трикутник A1 B1 C1 так, щоб AB збіглося з A1 B1. Так як ∠ВАС = ∠В1 А1 З1 і ∠АВС = 9ang; А1 В1 З1. то промінь АС співпаде з А1 З1. а ВС співпаде з В1 З1. Звідси випливає, що вершина C співпаде з З1. Значить, трикутник А1 В1 З1 збігається з трикутником АВС, а отже, дорівнює трикутнику АВС.

3) за трьома сторонам

Докладемо трикутник ABC (Або симетричний йому) до трикутника A1 B1 C1 так, щоб вершина А поєдналася з вершиною A1. вершина В — з вершиною В1. а вершини С і С1. опинилися по різні боки від прямої А1 В1. Розглянемо 3 випадки:

1) Луч З1 З проходить всередині кута А1 З1 В1. Оскільки за умовою теореми боку АС і A1 C1. ВС і В1 З1 рівні, то трикутники A1 C1 C і В1 З1 З — рівнобедрений. По теоремі про властивості кутів рівнобедреного трикутника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, тому ∠ACB = 9ang; A1 C1 B1 .

Отже, AC = A1 C1. BC = B1 C1. ∠C = 9ang; C1. Отже, трикутники ABC і A1 B1 C1 рівні за
першою ознакою рівності трикутників.

Друга ознака рівності трикутників доказ Друга ознака рівності трикутників доказ

2. Друга ознака рівності трикутників доказРозподіл відрізка на n рівних частин.

Провести промінь через A, відкласти на ньому n рівних відрізків. Через B і An провести пряму і до неї паралельні через точки A1 — An-1. Відзначимо їх точки перетину з AB. Отримаємо n відрізків, які дорівнюють по теоремі Фалеса.

Друга ознака рівності трикутників доказ Теорема Фалеса. Якщо на одній з двох прямих відкласти послідовно кілька рівних відрізків і через їхні кінці провести паралельні прямі, які перетинають другу пряму, то вони відсічуть на другий прямий рівні між собою відрізки.

2. ΔABB2 = ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 та є рівними на підставі другої ознаки рівності трикутників:
AB = CD згідно з умовою теореми,
як відповідні, що утворилися при перетині паралельних BB1 і DD1 прямий BD.

3. Аналогічно кожен з кутів і виявляється рівним куту з вершиною в точці перетину січних. AB2 = CD2 як відповідні елементи в рівних трикутниках.

4. A1 B1 = AB2 = CD2 = C1 D1 Друга ознака рівності трикутників доказ

Друга ознака рівності трикутників доказ

5.189.137.82 © studopedia.ru Чи не є автором матеріалів, які розміщені. Але надає можливість безкоштовного використання. Є порушення авторського права? Напишіть нам.

Ознаки рівності трикутників (доказ всіх)

1-ий ознака рівності трикутників: по двох сторонах і куту між ними (Теорема 3.1.Ознака рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними — Якщо дві сторони і угло між ними одного треугольнгрка рівні соотвественно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні )

Нехай у трикутників АВС і А1 В1 З1 кут А дорівнює куту А1. АС дорівнює А1 В1, АС одно А1 З1. доведемо, що трикутники рівні.

нехай А1 В2 З2 — трикутник, рівний АВС, з вершини В2 на промені А1 В1 і вершини С2 в тій же півплощині відносно прямої А1 В1. де лежить вершина С1 .

2-ийознака рівності трикутників: по стороні і прилягає до неї кутам (Теорема 3.2. — Ознака рівності трикутників по стороні і прилеглих до неї кутам — Якщо сторона і прилеглі у ній кути одного трикутника дорівнюють соотвественно стороні і прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні)

нехай АВС і А1 В1 З1 — два трикутника, у яких АС дорівнює А1 В1, кут А дорівнює куту А1. і кут В дорівнює куту В1. Доведемо, що вони рівні.

нехай А1 В2 З2 — трикутник, рівний АВС, з вершини В2 на промені А1 В1 і вершини С2 в тій же півплощині відносно прямої А1 В1. де лежить вершина С1 .

3-ийознака рівності трикутників: по трьом сторонам (Теорема 3.6. — Ознака рівності трикутників за трьома сторонами — Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні)

нехай АВС і А1 В1 З1 — два трикутника, у яких АС дорівнює А1 В1, АС одно А1 З1. і ВС одно В1 З1. Доведемо, що вони рівні.

Припустимо, трикутники не рівні. Тоді у них кут А чи не дорівнює куту А1. кут В не дорівнює куту В1, і кут С не дорівнює куту З1. Інакше вони були б рівні, по Перова ознакою.

нехай А1 В1 З2 — трикутник, рівний трикутнику АВС, у якого Свершіна З2 лежить в одній півплощині з вершиною З1 відносно прямої А1 В1 .

Нехай D — середина відрізка З1 З2. трикутники А1 З1 З2 і В1 З1 З2 — рівнобедрений із загальним підставою С1 З2. Тому їх медіани А1 D і В1 D — є висотами, значить прямі А1 D і В1 D — перпендикулярні прямий З1 З2. прямі А1 D і В1 D не збігаються, так як точки А1, В1. D не лежать в одній прямий, але через точку D прямої С1 З2 можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми прийшли до протиріччя.

Схожі документи:

питання — практичний, він містить завдання. квиток № 1 1. Перший ознакарівностітрикутників. Знайдіть всі можливі значення площі трикутника. квиток № 2 1. ознакирівностітрикутника (Доведеннявсіхознак ). 2. Розподіл відрізка на.

точки до прямої. ознакирівностітрикутників. трикутники. Медіани, бісектриси, висоти трикутника. ознакирівностітрикутників. ознакирівності прямокутних трикутників. Геометричні місця точок.

відповідь на питанняквитка. Єдине слово допомогло відновити в пам’яті у всіх логічних зв’язках. знаком. Незвичайним сигналом до доказу третього ознакирівностітрикутників є обривки медіан, виконані до того.

рівняння? (1). сума довжин всіх сторін багатокутника? (Периметр). на жартівливий питання. на лотерейному квитку записано умову задачі. 3. Затвердження, яке не потребує доказів. (Аксіома) 4. Скільки ознакрівностітрикутників ми знаємо? (Три).

трикутника. 2. До кола, вписаного в рівнобедрений трикутник. кілометрів всіх друзів. Доведення. рівності (Або нерівності) регістра нулю, яка дозволяє організувати з цього ознакою. квитку № 13, а квиток № 21 торкався питання.

Завдання на другий ознака рівності трикутників

Спочатку проведемо аналіз завдання.

Друга ознака рівності трикутників доказ Виділимо трикутники, рівність яких треба довести. різними кольорами.

Колірна візуалізація відразу ж підказує — трикутники мають загальну сторону MK.

Крім того, за умовою, дані трикутники мають рівні кути AMK і BKM.

Для доказу рівності трикутників не вистачає рівності ще однієї пари елементів.

В умові сказано, що кути AKB і BMA рівні. Кут AKM дорівнює сумі кутів AKB і BKM, кут BMK — суму кутів BMA і AMK. Якщо до рівних кутах додати рівні кути, то одержимо рівні кути. Значить, кути AKM і BMK рівні.

Тепер запишемо доказ.

Розглянемо ΔAKM і ΔBMK.

1) MK — загальна сторона.

2) ∠AMK = ∠BKM (за умовою).

Друга ознака рівності трикутників доказ

Отже, ΔAKM = ΔBMK (по стороні і двом прилеглим до неї кутам, тобто, за другою ознакою рівності трикутників).

Що й потрібно було довести.

Друга ознака рівності трикутників доказ Виділимо трикутники ABO і DOC різними кольорами.

За умови, дані трикутники мають одну пару рівних елементів — сторони AB і CD рівні.

Бачимо пару рівних вертикальних кутів AOB і DOC. Однак, вони нам не підходять — раз рівні сторони AB і CD, кути повинні бути поруч з ними.

Щоб визначити рівні кути цих трикутників, можна скористатися підказкою.

Так як прямі AB∥CD, шукаємо і знаходимо дві пари рівних внутрішніх навхрест лежачих кутів.

Всі три пари рівних елементів для другої ознаки рівності трикутників є. Тепер можна перейти до запису докази.

1) AB = CD (за умовою).

2) ∠ABO = ∠CDO (як внутрішні навхрест лежачі при AB∥CD і січною BC).

3) ∠BAO = ∠DCO (як внутрішні навхрест лежачі при AB∥CD і січною AD).

Отже, ΔABO = ΔDOC (по стороні і двом прилеглим до неї кутам).

Що й потрібно було довести.

ΔCFD — рівнобедрений з основою CD,

Довести: ΔAFB — рівнобедрений.

Друга ознака рівності трикутників доказ Щоб довести, що трикутник AFB — рівнобедрений, потрібно довести або рівність двох його сторін: AF = BF, або рівність двох кутів: ∠A = ∠B.

Рівність сторін і кутів випливає з рівності трикутників.

Значить, потрібно довести рівність пари трикутників зі сторонами AF і BF і кутами A і B. Підходять трикутники AFC і BFD.

Виділимо ці трикутники різними кольорами.

Їх кути AFC і BFD рівні за умовою. Також з умови відомо, що ΔCFD — рівнобедрений з основою CD. З цього випливає, що його бічні сторони CF і DF рівні і кути при основі рівні ∠FCD = ∠FDC. Рівність сторін CF і DF можна використовувати для доказу рівності трикутників AFC і BFD, а що робити з кутами?

Кути ACF і BDF суміжні з кутами FCD і FDC. А так як ∠FCD = ∠FDC, то і суміжні з ними кути ACF і BDF теж рівні.

Три пункту для другої ознаки рівності трикутників отримали. Переходимо до запису докази.

Розглянемо трикутники AFC і BFD.

1) ∠AFC = ∠BFD (за умовою).

2) CF = DF (як бічні сторони рівнобедреного трикутника CFD).

3) ∠ACF = ∠BDF (як суміжні з рівними кутами: ∠FCD = ∠FDC як кути при основі рівнобедреного трикутника CFD).

Отже, ΔAFC = ΔBFD (по стороні і двом прилеглим до неї кутам).

З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін: AF = BF. Значить, ΔAFB — рівнобедрений з основою AB (за визначенням рівнобедреного трикутника).

Що й потрібно було довести.

Друга ознака рівності трикутників доказ wiki.eduVdom.com

Ознаки рівності трикутників

Друга ознака рівності трикутників доказ

Два трикутника називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням. На малюнку 1 зображені рівні трикутники ABC і А1 В1 З1. Кожен з цих трикутників можна накласти на інший так, що вони повністю сполучаться, т. Е. Попарно сполучаться їх вершини і сторони. Ясно, що при цьому сполучаться попарно і кути цих трикутників.

Таким чином, якщо два трикутники рівні, то елементи (т. Е. Сторони і кути) одного трикутника відповідно рівні елементам іншого трикутника. Відмітимо, що в рівних трикутниках проти відповідно рівних сторін (Т. Е. Суміщуються при накладенні) лежать рівні кути, і назад: проти відповідно рівних кутів лежать рівні сторони.

Так, наприклад, в рівних трикутниках ABC і A1 B1 C1. зображених на малюнку 1, проти відповідно рівних сторін АВ і А1 В1 лежать рівні кути С і С1. Рівність трикутників ABC і А1 В1 З1 будемо позначати так: Δ ABC = Δ А1 В1 З1. Виявляється, що рівність двох трикутників можна встановити, порівнюючи деякі їх елементи.

Друга ознака рівності трикутників доказ

Теорема 1.Перша ознака рівності трикутників.Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні (Рис.2).

Так як ∠ А = ∠ А1. то трикутник ABC можна накласти на трикутник А1 В1 З1 так, що вершина А суміститься з вершиною А1. а сторони АВ і АС накладуться відповідно на промені А1 В1 і A1 C1. Оскільки АВ = A1 B1. АС = А1 З1. то сторона АВ суміститься зі стороною А1 В1 а сторона АС — зі стороною А1 C1 ; зокрема, сполучаться точки В і В1. З і C1. Отже, сполучаться боку ВС і В1 З1. Отже, трикутники ABC і А1 В1 З1 повністю сполучаться, значить, вони рівні.

Аналогічно методом накладення доводиться теорема 2.

Друга ознака рівності трикутників доказ

Теорема 2.Друга ознака рівності трикутників.Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (Рис. 34).

Зауваження. На основі теореми 2 встановлюється теорема 3.

Теорема 3. Сума будь-яких двох внутрішніх кутів трикутника менше 180 °.

З останньої теореми випливає теорема 4.

Теорема 4. Зовнішній кут трикутника більше будь-якого внутрішнього кута, що не суміжного з ним.

Теорема 5.Третя ознака рівності трикутників.Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (Детальніше ).

Друга ознака рівності трикутників доказ

Друга ознака рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників:

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників доказ

Друга ознака рівності трикутників:

Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників доказ

Друга ознака рівності трикутників доказ

Накладемо трикутник АВС на трикутник А1 В1 З1 таким чином, щоб вершина А поєдналася з вершиною А1. сторона АВ — з рівною їй стороною А1 В1. а вершини С і С1 виявилися по одну сторону від прямої А1 В1 .

Друга ознака рівності трикутників доказ

Так як ∠А = ∠А1 і ∠В = ∠В1, то сторона АС накладеться на промінь А1 З1. а сторона ВС — на промінь В1 З1. Тому вершина С (загальна точка сторін АС і ВС) виявиться лежачої на променях А1 З1 і В1 З1. а отже, суміститься із загальною точкою цих променів — вершиною З1. Значить, сполучаться боку АС і А1 З1. ВС і В1 З1. Отримуємо, що Δ АВС і Δ А1 В1 З1 повністю сполучаться, тобто вони рівні.

Довести, що в трикутник бісектриси, поведённие до бічних сторонах, рівні між собою.

Друга ознака рівності трикутників доказ

Нехай трикутник АВС рівнобедрений, у якого АВ = ВС. АМ і CN — бісектриси. Розглянемо трикутники АМВ і CNB. У них кут В — загальний, АВ = ВС за умовою, кути Nсв і МАВ рівні як половинки двох рівних кутів при основі рівнобедреного трикутника.

Тоді отримуємо, що Δ АМВ = Δ CNB за другою ознакою. Звідки випливає, що АМ = СN.

Точки Е і F лежать відповідно на сторонах АВ і CD квадрата ABCD так, що ∠FВС = ∠ЕDА. Довести, що Δ СBF = Δ ADE.

Друга ознака рівності трикутників доказ

Розглянемо Δ СBF і Δ ADE. У них сторона ВС = AD, так як всі сторони квадрата рівні, ∠ВСF = ∠DAE, так як всі кути квадрата прямі, ∠FВС = ∠ЕDА за умовою задачі. А отже, Δ СBF і Δ ADE рівні за другою ознакою рівності трикутників.

Відрізки АВ і CD перетинаються в точці Е, яка є серединою відрізка АВ, а ∠EAD і ∠EBC — рівні. Довести, що Δ СВ і Δ ADE рівні. Чому дорівнює довжина відрізка AD, якщо відрізок СВ = 7 см?

Друга ознака рівності трикутників доказ

Розглянемо Δ СВ і Δ ADE. У них сторона АЕ = ВЕ, так як Е — середина відрізка АВ. ∠EAD і ∠EBC рівні за умовою задачі. А ∠СЕВ і ∠AED рівні як вертикальні. Отримуємо, що Δ СВ і Δ ADE рівні за другою ознакою. Отже, у них відповідні сторони рівні. Значить, сторона AD = СВ. Тобто AD = 7 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *