друга похідна

друга похідна

Все дуже просто. Друга похідна — це похідна від першої похідної.

Стандартні позначення другої похідної:. або (дріб читається так: «де два ігрек по де ікс квадрат»). Найчастіше другу похідну позначають першими двома варіантами. Але третій варіант теж зустрічається, причому, його дуже люблять включати в умови контрольних завдань, наприклад: «Знайдіть функції …». А студент сидить і дуже довго чухає ріпу, що це взагалі таке.

Розглянемо найпростіший приклад. Знайдемо другу похідну від функції.

Для того щоб знайти другу похідну, як багато хто здогадався, потрібно спочатку знайти першу похідну:

Тепер знаходимо другу похідну:

Розглянемо більш змістовні приклади.

Знайти другу похідну функції

Знайдемо першу похідну:

На кожному кроці завжди дивимося, чи не можна що-небудь спростити? Зараз нам належить диференціювати твір двох функцій, і ми позбудемося цієї неприємності, застосувавши відому тригонометричну формулу . Точніше кажучи, використовувати формулу будемо в зворотному напрямку::

Знаходимо другу похідну:

Можна було піти іншим шляхом — знизити ступінь функції ще перед дифференцированием, використовуючи формулу:

Якщо цікаво, візьміть першу і другу похідні знову. Результати, природно, співпадуть.

Зазначу, що зниження ступеня буває дуже вигідно при знаходженні приватних похідних функції . Тут же обидва способи вирішення будуть приблизно однакової довжини і складності.

Як і для першої похідної, можна розглянути задачу знаходження другої похідної в точці .

Наприклад: Обчислимо значення знайденої другої похідної в точці:

Необхідність знаходити другу похідну і другу похідну в точці виникає при дослідженні графіка функції на опуклість / увігнутість і перегини .

Знайти другу похідну функції. знайти

Це приклад для самостійного рішення.

Аналогічно можна знайти третю похідну, а також похідні вищих порядків. Такі завдання зустрічаються, але зустрічаються значно рідше. Можна розповісти про специфічні прийоми, формулою Лагранжа, і в міру наявності часу я обов’язково напишу окремий методичний матеріал.

Рішення і відповіді:

Приклад 2: Знайдемо похідну:

Обчислимо значення функції в точці:

Приклад 4: Знайдемо похідну:

Обчислимо похідну в заданій точці:

Приклад 6: Рівняння дотичної складемо по формулі
1) Обчислимо значення функції в точці:

2) Знайдемо похідну. Перед дифференцированием функцію вигідно спростити:

3) Обчислимо значення похідної в точці:

4) Підставимо значення. і в формулу:

Приклад 8: Перетворимо функцію:

Знайдемо похідну:

Запишемо диференціал:

Приклад 10: Знайдемо похідну:

Запишемо диференціал:

Обчислимо диференціал в точці:

Приклад 12: Знайдемо першу похідну:

Знайдемо другу похідну:

обчислимо:

Автор: Ємелін Олександр

Вища математика для заочників і не тільки >9gt; 9gt;

(Перехід на головну сторінку)

Похідна за визначенням (через межу). приклади рішень

Коли людина зробила перші самостійні кроки у вивченні математичного аналізу і починає ставити незручні запитання, то вже не так-то просто звільнитися фразою, що «диференціальне числення знайдено в капусті». Тому настав час набратися рішучості і розкрити таємницю появи на світло таблиці похідних та правил диференціювання . Початок покладено в статті про сенс похідною . яку я настійно рекомендую до вивчення, оскільки там ми як раз розглянули поняття похідною і почали клацати завдання по теме.Етот же урок носить яскраво виражену практичну спрямованість, більш того, розглядаються нижче приклади, в принципі, можна освоїти і чисто формально (Наприклад, коли немає часу / бажання вникати в суть похідною). Також вкрай бажано (але знову не обов’язково) вміти знаходити похідні «звичайним» методом — хоча б на рівні двох базових занять: Як знайти похідну? і Похідна складної функції .

Але без чого-чого зараз точно не обійтися, так це без меж функцій . Ви повинні РОЗУМІТИ, що таке межа і вміти вирішувати їх, як мінімум, на середньому рівні. А все тому, що похідна функції в точці задається формулою:

Нагадую позначення і терміни:
називають приростом аргументу ;
приростом функції ;
— це ЄДИНІ символи ( «дельту» не можна «відривати» від «ікси» або «Ігрек»).

Очевидно, що є «динамічною» змінної, — константою і результат обчислення границі — ЧИСЛОМ. І справді, адже похідна в точці — це число (див. Практикум Найпростіші задачі диференціювання ).

В якості точки можна розглянути БУДЬ значення. належить області визначення функції. в якому існує похідна.

! Примітка: застереження «в якому існує похідна» — в загальному випадку істотна. Так, наприклад, точка хоч і входить в область визначення функції. але похідною там не існує. Тому формула не може бути застосована в точці. і укорочена формулювання без застереження буде некоректна. Це ж зауваження слід робити для деяких інших функцій з «обривами» графіка, зокрема, для арксинуса, арккосинуса, а також у функцій, графіки яких містять «погані» вістря і злами. Дані моменти докладніше роз’яснюються в статті Інтервали монотонності і екстремуми функції .

Таким чином, після заміни. отримуємо другу робочу формулу:

Зверніть увагу на підступне обставина, яка може заплутати чайника: в даному межі «ікс», будучи сам незалежної змінної, виконує роль статиста, а «динаміку» задає знову ж приріст. Результатом обчислення границі є похідна функція.

Виходячи з вищесказаного, сформулюємо умови двох типових задач:

— Знайти похідну в точці. використовуючи визначення похідної.

— Знайти похідну функцію. використовуючи визначення похідної. Ця версія, за моїми спостереженнями, зустрічається значно частіше і їй буде приділено основну увагу.

Принципова відмінність завдань полягає в тому, що в першому випадку потрібно знайти число. а в другому — функцію .

ДРУГА ПОХІДНА це:

(Second derivative) Перша похідна (first derivative) від першої похідної функції. Перша похідна вимірює нахил функції; друга похідна вимірює, як змінюється нахил зі збільшенням аргументу. Друга похідна від y = f (x) позначається, в такий спосіб: d2y / dx2; існує й інша, коли перша похідна може бути записана так: f \ ‘(x). а друга похідна — як f «(x). якщо d2y / dx2 >0, то функція є опуклою; якщо d2y / dx2 <0, функція є увігнутою. При стаціонарних значеннях, коли dy / dx = 0, і якщо d2y / dx2 <0, у має максимум, а якщо d2y / dx2 >0 y має мінімум. (NB. Хоча цього і досить, дані умови не є необхідними для досягнення максимуму і мінімуму у. )

Економіка. Тлумачний словник. — М. «ИНФРА-М», Видавництво «Всесвіт». Дж. Блек. Загальна редакція: д.е.н. Осадча І.М. 2000.

Економічний словник. 2000.

Дивитися що таке «ДРУГА ПОХІДНА» в інших словниках:

друга похідна — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti /] Тематики нафтогазова промисловість EN second derivative … Довідник технічного перекладача

друга похідна прискорення вільного падіння — Обчислена по аномалій прискорення вільного падіння друга похідна по осях просторових координат. [ГОСТ 24284 80] Тематики гравірозвідка і магніторозвідка … Довідник технічного перекладача

друга похідна потенціалу (сили) тяжкості — [ГОСТ Р 52334 2005] Тематики гравірозвідка і магніторозвідка EN flexion of a gravity potential DE zweite Ableitung des Schwerepotentials FR deuxiéme dérivé du potentiel de la gravité … Довідник технічного перекладача

друга похідна потенціалу (сили) тяжкості — 13 друга похідна потенціалу (сили) тяжкості Джерело: ГОСТ Р 52334 2005: Додати Гравірозвідка. Терміни та визначення оригінал документа … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

ПОХІДНА — (derivative) Темп приросту значення функції при збільшенні її аргументу в будь-якої точці, якщо сама функція в цій точці визначена. На графіку перша похідна функції показує кут її нахилу. Якщо у = f (x), її перша похідна в точці … … Економічний словник

Похідна функції — Цей термін має також інші значення див. Похідна. Ілюстрація поняття похідної Похідна # … Вікіпедія

похідна функція — Похідна основне поняття диференціального обчислення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу при прагненні збільшення аргументу до нуля, якщо такий межа … … Вікіпедія

похідна Рімана — Похідна Рімана, похідна Шварца або друга симетрична похідна. функції в точці межа Пов’язані визначення Верхній і нижній межі … Вікіпедія

Риму ПОХІДНА — похідна Шварца, друга симетрична похідна, функції f (х) в точці х 0 межа Введена Б. Ріманом (В. Riemann, 1854); він довів, що якщо в точці х 0 існує 2 я похідна f (x0), то існує Р. п. і. Верхній і нижній межі при … … Математична енциклопедія

функціональна похідна — У математиці і теоретичній фізиці, функціональна похідна є узагальненням похідною в напрямі. Різниця полягає в тому, що для останньої диференціювання проводиться в напрямку якого-небудь вектора, а для першої мова … … Вікіпедія

  • Квантова механіка з використанням комплексних координат. Євген Якубовський. Пропонується нова схема квантової механіки, яка визначає комплексні координати і імпульси. При цьому підсумовуються НЕ комплексні хвильові функції, а комплексниекоордінати. При цьому … Детальніше Купити за 2883 грн (тільки Україна)
  • Збірник завдань по диференціальної геометрії і топології. Міщенко А.С. Цей збірник задач покликаний максимально відобразити існуючі вимоги до курсів диференціальної геометрії і топології як з боку нових програм, так исо боку інших курсів … Детальніше Купити за 819 руб

друга похідна

Все дуже просто. Друга похідна — це похідна від першої похідної. друга похідна

Стандартні позначення другої похідної: друга похідна, друга похідна або друга похідна (Дріб читається так: «де два ігрек по де ікс квадрат»). Найчастіше другу похідну позначають першими двома варіантами. Але третій варіант теж зустрічається, причому, його дуже люблять включати в умови контрольних завдань, наприклад: «Знайдіть друга похідна функції … ». А студент сидить і дуже довго чухає ріпу, що це взагалі таке.

Розглянемо найпростіший приклад. Знайдемо другу похідну від функції друга похідна.

Для того щоб знайти другу похідну, як багато хто здогадався, потрібно спочатку знайти першу похідну:

друга похідна

Тепер знаходимо другу похідну:

друга похідна

Розглянемо більш змістовні приклади.

Знайти другу похідну функції друга похідна

Знайдемо першу похідну: друга похідна

На кожному кроці завжди дивимося, чи не можна що-небудь спростити? Зараз нам належить диференціювати твір двох функцій, і ми позбудемося цієї неприємності, застосувавши відому тригонометричну формулу друга похідна. Точніше кажучи, використовувати формулу будемо в зворотному напрямку: друга похідна:

друга похідна

Знаходимо другу похідну: друга похідна

Можна було піти іншим шляхом — знизити ступінь функції ще перед дифференцированием, використовуючи формулу друга похідна:

друга похідна

Якщо цікаво, візьміть першу і другу похідні знову. Результати, природно, співпадуть.

Зазначу, що зниження ступеня буває дуже вигідно при знаходженні приватних похідних функції. Тут же обидва способи вирішення будуть приблизно однакової довжини і складності.

Як і для першої похідної, можна розглянути задачу знаходження другої похідної в точці .

Наприклад: Обчислимо значення знайденої другої похідної в точці друга похідна:

друга похідна

Необхідність знаходити другу похідну і другу похідну в точці виникає при дослідженні графіка функції на опуклість / увігнутість і перегини .

Знайти другу похідну функції друга похідна. знайти друга похідна

Це приклад для самостійного рішення.

Приклад 2: Знайдемо похідну: друга похіднаОбчислимо значення функції в точці друга похідна: друга похідна

Приклад 4: Знайдемо похідну: друга похіднаОбчислимо похідну в заданій точці: друга похідна

Приклад 6: Рівняння дотичної складемо по формулі друга похідна1) Обчислимо значення функції в точці друга похідна: друга похідна2) Знайдемо похідну. Перед дифференцированием функцію вигідно спростити: друга похідна друга похідна3) Обчислимо значення похідної в точці друга похідна: друга похідна4) Підставимо значення друга похідна, друга похіднаі друга похіднав формулу друга похідна:

друга похідна друга похідна друга похідна

Приклад 8: Перетворимо функцію: друга похіднаЗнайдемо похідну: друга похіднаЗапишемо диференціал: друга похідна

Приклад 10: Знайдемо похідну: друга похідна

Запишемо диференціал: друга похіднаОбчислимо диференціал в точці друга похідна: друга похідна

Приклад 12: Знайдемо першу похідну: друга похіднаЗнайдемо другу похідну: друга похіднаобчислимо: друга похідна

ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ K ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ X

§ 231. Поняття про другий похідною. Похідні вищих порядків

Похідна від похідної у ‘ функції у називається другою похідною цієї функції і позначається у" або f" (х ):

Розглянемо кілька прикладів.

За правилом диференціювання многочленів

друга похідна y" функції y . так само як і перша її похідна у ‘ . допускає просту фізичну інтерпретацію. Будучи похідною від першої похідної у ‘ . вона характеризує швидкість зміни цієї похідної. Перша ж похідна у ‘ характеризує швидкість зміни функції у . Таким чином, у" характеризує «швидкість зміни швидкості зміни» функції у . З подібним поняттям ми вже стикалися в фізиці. Вивчаючи рівноприскореного руху, ми вводили поняття прискорення як зміни швидкості руху в одиницю часу. Це поняття як раз і характеризує швидкість зміни швидкості руху. Тому, використовуючи мову механіки, можна сказати, що друга похідна у" функції у є прискорення, з яким функція
у
= f (Х) змінює свої значення при зміні значень аргументу х .

Третя похідна функції у = f (х ) Є похідна від другої похідної цієї функції. вона позначається у"’ або f ‘"’ (x ). у ‘" = (у" ) . f ‘"’ (x ) = [f ‘" (x )] . Аналогічно, четверта похідна функції у = f (х ) позначається y IV або f ‘ IV x ) Є похідна від її третьої похідної і т. Д.

п -я похідна функції f (х ) Інакше називається похідною п -го порядку (позначається fn (х )). Наприклад, третя похідна інакше називається похідною третього порядку, четверта похідна — похідною четвертого порядку і т. Д.

Очевидно, що всі похідні даної функції, починаючи з третьої, дорівнюють нулю.

1836. Знайти прискорення тіла, що рухається по закону s (t ) = 2t 3 + 5t 2 + 4t (s — шлях в метрах, t — час у хвилинах), в момент часу: a) t = 40 сек; б) t = 1 ч.

1837. Знайти прискорення тіла, що рухається по закону s = √ t (s — шлях в метрах, t — час у хвилинах), в довільний момент часу t .

Для даних функцій знайти похідні всіх порядків (1838-1843) :.

1845. Скільки разів потрібно продифференцировать функцію у = (х 2 + 1) 100. щоб в результаті вийшов многочлен 50-го ступеня?

1846 *. Знайти похідну 100-го порядку від функції у = sin х cos 2 х .

Друга і третя похідні

друга похідна

Щоб знайти другу похідну (Це те ж саме, що і похідна другого порядку), то треба скористатися онлайн калькулятором по обчисленню похідних першого порядку.

Цей сервіс обчислює перші похідні (теж що і похідні першого порядку).

Наведемо приклад, як знайти похідну другого порядку від функції x * sin (x):

  1. У вищевказаному калькуляторі вводимо x * sin (x) — цим самим ми обчислюємо похідну першого порядку (повинно вийти x * cos (x) + sin (x), копіюємо знайдене)
  2. Тепер виконуємо аналогічні операції в калькуляторі, але зі знайденою першої похідної, а саме вводимо функцію (вставляємо з копірованного) x * cos (x) + sin (x)
  3. Отримуємо відповідь (але це тільки наш приклад!): 2 * cos (x) — x * sin (x)

Щоб знайти похідну третього порядку (теж саме що і третя похідна функції), то треба виконати перші два пункти вище, в третьому ж пункті знову підставити в калькулятор.

Для нашого прикладу, треба підставити 2 * cos (x) — x * sin (x) і отримаємо відповідь для третьої похідної (знову ж це наш приклад): -3.0 * sin (x) — x * cos (x)

© Контрольна робота РУ — калькулятори онлайн

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *