Явление переноса

Явления переноса

Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с неоднородностями плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества.

Выравнивание неоднородностей приводит к возникновению явлений переноса. К этим явлениям относятся диффузия, вязкость и теплопроводность.

Явление переноса заключается в том, что возникает упорядоченный перенос массы (диффузия), импульса (вязкость) и внутренней энергии (теплопроводность). При этом нарушается полная хаотичность движения молекул и максвелловское распределение молекул по скоростям.

Микроскопические процессы в статистически неравновесных системах исследуются методами физической кинетики. Она изучает процессы установления равновесия в системах, первоначально находившихся в неравновесном состоянии. Физическая кинетика исходит из представлений о молекулярном строении рассматриваемых сред и силах взаимодействия между составляющими их молекулами. Это дает возможность рассчитать кинетические коэффициенты процессов.

Время релаксации. Рассмотрим случай, когда замкнутая макроскопическая система в начальный момент находится не в равновесном состоянии. а в одном из маловероятных состояний. Это может произойти в результате какого-либо внешнего воздействия, которое затем устраняется и система становится замкнутой. Примером может служить газ, неравномерно распределенный внутри сосуда. По истечении некоторого времени, которое называется временем релаксации t, система, которая первоначально находилась в неравновесном, маловероятном состоянии, переходит в наиболее вероятное, равновесное состояние. Протекающие при этом в системе процессы зависят от природы системы и характера отклонения ее от равновесного состояния.

Время, в течение которого система достигает равновесного состояния, называется временем релаксации.

Это время может составлять как доли секунды, так и столетия, в зависимости от вида взаимодействия между частицами системы и от частоты переходов между различными доступными состояниями системы.

Эффективное сечение рассеяния. Поскольку молекулы газа движутся беспорядочно, вследствие этого они должны случайным образом сталкиваться друг с другом, отклоняясь от направления своего движения. Две молекулы могут столкнуться (упруго или не упруго), если расстояние между их центрами будет меньше их диаметра d (рис.1.9.1).

Каждое столкновение происходит после прохождения молекулой средней длины свободного пробега l. В соответствие с этим вводят понятие эффективного сечения рассеяния s=pd 2 (площадь круга диаметром d). Это основная характеристика вероятности возникновения определенного конечного состояния двух сталкивающихся частиц.

Длина свободного пробега и эффективное сечение связаны между собой соотношением

где n — концентрация молекул в единице объема.

Эффективное сечение зависит от скорости молекул, а значит от температуры. Следует заметить, что, вообще говоря, эффективное сечение имеет чисто геометрический смысл, а является вероятностной характеристикой процесса. Большая величина эффективного сечения не обусловлена большими размерами молекулы, однако, определяет большую вероятность столкновения.

Диффузия представляет собой перенос молекул вещества в направлении уменьшения концентрации частиц. Если концентрации вещества изменяется по координате x, оставаясь постоянной по двум другим, тогда нестационарный процесс выравнивания концентраций, описывается законом Фика:

где jn — плотность потока частиц. проходящих через 1м 2 в 1с перпендикулярно оси х; — градиент концентрации в направлении оси x; D — коэффициент диффузии [м 2 /с]. Он равен диффузионному потоку при градиенте концентрации равном единице. Из кинетической теории идеальных газов следует, что

где — средняя длина свободного пробега;

Диффузия имеет место, как в газах, так и в жидкостях и твердых телах. Однако коэффициент диффузии в этой последовательности резко уменьшается.

Теплопроводность проявляется при наличии разности температур и представляет собой направленный перенос тепла от более нагретых частей газа к менее нагретым (посредством столкновения молекул), приводящий к выравниванию температур.

Будем считать, что изменение (градиент) температуры имеет место по одной координате х. Тогда перемещение тепла между стенками осуществляется последовательным переносом тепла от одного слоя газа к другому.

Поток тепловой энергии через единицу площади, или плотность теплового потока пропорционален градиенту температуры с обратным знаком (закон Фурье)

где jE — плотность теплового потока [Дж/(м 2 с)];

dT/dx — градиент температуры [K/м];

l — коэффициент теплопроводности [Вт/(мК)].

Коэффициент теплопроводности численно равен потоку тепла при градиенте температуры равном единице [1K/м]. В технике его иногда выражают в [кДж/(м€час€град)].

Молекулярно-кинетический расчет коэффициента теплопроводности приводит к результату

где m — масса молекулы;

сv — удельная теплоемкость при постоянном объеме;

r — плотность газа.

Связь l с концентрацией и длиной свободного пробега показывает, что коэффициент теплопроводности газов не зависит от давления. Молекулы легких газов имеют большую среднюю скорость и, соответственно, больший коэффициент теплопроводности. Это подтверждают эксперименты и применяется на практике.

Наряду с коэффициентом теплопроводности на практике используется также коэффициент температуропроводности

Размерность коэффициента температуропроводности [м 2 /с] и его величина совпадают с коэффициентом диффузии D. Он представляет собой коэффициент «диффузии температуры». Если коэффициент теплопроводности характеризует способность среды проводить тепло. то коэффициент температуропроводности служит мерой теплоинерционных свойст вещества. Другими словами, скорость изменения температуры во времени dT/dt в любой точке пространства пропорциональна а. выравнивание температуры быстрее происходит там. где больше а. Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещещства. Например, газы и жидкости имеют большую теплоинерционность и, значит, малый коэффициент температуропроводности. Металлы, имея малую тепловую инерцию, обладают большим коэффициентом температуропроводности.

В нестационарных явлениях тепло и массопереноса (диффузия и теплопроводность между двумя сосудами или между объектом и средой) важной характеристикой служит время установления равновесия. Вследствие этого вводится в качестве параметра процесса время релаксации (постоянная времени) t. Это время. за которое разность концентраций или температур уменьшится в е раз. Величина t связана с кинетическими параметрами вещества (l, D, ср. r) и геометрическими характеристиками объектов.

Вязкостью называют силу трения между слоями газа или жидкости, движущимися друг относительно друга параллельно с различными скоростями, что приводит к переносу импульса в перпендикулярном к скорости направлении

где jp — напряжение трения или плотность потока импульса;

h — динамическая вязкость или коэффициент внутреннего трения [кг/(мс);

dv/dx — градиент скорости.

С физической точки зрения динамическая вязкость численно равна импульсу, переносимому в единицу времени через плоскость 1м 2 при градиенте скорости в направлении перпендикулярном плоскости равном единице (1м/с на 1м длины).

При молекулярно-кинетическом рассмотрении динамическая вязкость принимает вид

Из этого выражения следует, что динамическая вязкость газов не зависит от давления и возрастает с повышением температуры. Вязкость жидкостей с повышением температуры уменьшается. Эксперименты подтверждают такие выводы.

Кроме динамической вязкости используется также кинематическая вязкость n:

Она имеет такую же размерность, как и коэффициент диффузии и численно ему равна. В соответствие с этим кинематическую вязкость можно назвать коэффициентом диффузии скорости.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Явления переноса: диффузия, внутреннее трение, теплопроводность

Переход вещества из неравновесного состояния (в котором давление Явление переноса. температура T. плотность &#&61; и концентрация n разные в различных точках объема) в равновесное состояние (с одинаковыми по объему значениями Явление переноса, T, &#&61;, n ) сопровождается переносом массы молекул, их энергии и импульса молекул.

Диффузия – перенос массы в область с меньшей плотностью Явление переноса и концентрацией молекул n.

Уравнение диффузии (закон Фика):

где Явление переноса – поток массы, или скорость переноса массы; D – коэффициент диффузии ; Явление переноса – градиент плотности, он показывает быстроту изменения плотности в направлении переноса (вдоль оси x ), знак Явление переноса показывает, что перенос массы происходит в направлении уменьшения плотности, т. е. Явление переноса ; S – площадь, через которую происходит перенос массы.

МКТ дает для коэффициента диффузии следующую формулу:

где Явление переноса – средняя скорость хаотического движения молекул (см. формулу (10)); Явление переноса – средняя длина свободного пробега молекулы газа:

Здесь d – эффективный диаметр молекулы газа.

Внутреннее трение (вязкость) – при движении тела в среде (в газе или в жидкости) тело увлекает прилежащие слои газа и при этом тормозится, так как отдает молекулам газа часть своего импульса. При этом сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости), согласно закону Ньютона,

где &#&51; – динамическая вязкость (вязкость) газа; Явление переноса – градиент скорости направленного движения слоев газа.

Вязкость идеального газа, согласно МКТ:

где &#&61; – плотность газа. В соответствии с формулой (16) вязкость газа не зависит от его плотности, так как длина свободного пробега молекул Явление переноса .

Теплопроводность – явление выравнивания температур путем переноса энергии молекулами (передача энергии происходит при соударениях молекул). Перенос энергии в виде теплоты описывается уравнением Фурье:

где Явление переноса – поток теплоты; K – теплопроводность газа; Явление переноса – градиент температуры, знак величины Явление переноса. поэтому в уравнении (17) есть знак Явление переноса ,чтобы поток теплоты был положителен при переносе энергии в направлении убывания температуры.

ТеплопроводностьЯвление переноса, согласно анализу явления в МКТ, описывается формулой

где Явление переноса удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Формулы (13), (16) и (18) связывают коэффициенты переноса с характеристиками теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые соотношения между коэффициентами:

Явление переноса ; Явление переноса

Следует отметить, что все коэффициенты переноса, а следовательно, и скорости всех процессов переноса выражаются через длину свободного пробега молекул Явление переноса. а формула (14) для этой величины выведена путем расчета среднего числа столкновений молекулы с другими молекулами. Но в вакууме молекул так мало, что пробег молекулы происходит практически без соударений с другими молекулами – от одной стенки сосуда к другой. При этом длина свободного пробега равна расстоянию между стенками сосуда и становится существенно больше, чем величина Явление переноса при атмосферном давлении. Соответственно в вакууме изменяется и скорость всех рассмотренных выше процессов переноса: скорость диффузии увеличивается, а сила внутреннего трения и теплопроводность газа в условиях вакуума уменьшаются пропорционально давлению газа.

Внутреннее трение(вязкость) как явление переноса.

Механизм возникновения внутреннего трения меж­ду параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.
Согласно формуле (31.1), сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона :
(48.5)
где h — динамическая вязкость (вязкость), dv/ dx — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению дви­жения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматри­вать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (48.5) можно пред­ставить в виде
(48.6)
где jp —плотность потока импульса — величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, — градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки и противоположны).
Динамическая вязкость h численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле
(48.7)
Из сопоставления формул (48.1), (48.3) и (48.6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математи­ческих выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопровод­ности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов l, D иh. Выражения для коэффициентов переноса выводятся из кинетической теории. Они записаны без вывода, так как строгое рассмот­рение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между l, D иh :

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

Вязкость — сопротивление, оказываемое телом движению отдельной его части без нарушения связи целого. Такое движение составляет характеристику жидкостей, как «капельных9quot;, так и «упругих9quot;, т. е. газов.
Внутреннее трение жидкостей возникает при движении жидкости из-за переноса импульса в направлении, перпендикулярном к направлению движения. Перенос импульса из одного слоя в другой осуществляется при скачках молекул, о которых говорилось выше.
Очевидно, что жидкость будет тем менее вязкой, чем меньше время t между скачками молекул, и значит, чем чаще происходят скачки.

5.Течение вязкой жидкости по трубам. Метод Пуазейля определения коэффициента вязкости.

Тече́ние Пуазёйля — ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля — одно из самых простых точных решений уравнений Навье — Стокса. Описывается законом Пуазёйля (Хагена — Пуазёйля).

Закон Пуазёйля (иногда закон Хагена — Пуазёйля ) — это физический закон так называемого течения Пуазёйля, то есть установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке. Закон установлен эмпирически в1839 году Г. Хагеном, а в 1840—1841 годы — независимо Ж. Л. Пуазёйлем. Теоретически объяснён Дж. Г. Стоксом в 1845 году.

При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.

· — перепад давления на концах капилляра, Па;

· Q — секундный объёмный расход жидкости, м³/с;

· R — радиус капилляра, м;

· d — диаметр капилляра, м;

· — коэффициент динамической вязкости, Па·с;

· l — длина трубы, м.

Формула используется для определения вязкости жидкостей. Другим способом определения вязкости жидкости является метод, использующий закон Стокса.

Явление переноса

Пологая течение жидкости ламинарным, найдём закон изменения скорости v с расстоянием r от оси трубы, т.е. v(r) -? Выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса r и длинны l. Поскольку скорости всех частиц жидкости являются постоянными v = const, сумма внешних сил, приложенных к любому объёму жидкости, равна нулю. На основание цилиндра действуют силы давления, сумма которых равна:

Явление переноса .

На боковую поверхность цилиндра действует сила трения:

Явление переноса .

Явление переноса .

Учитывая, что скорость убывает с расстоянием от оси трубы, т.е. Явление переноса ,

Явление переноса. Так как при r = R скорость v = 0, то

Явление переноса. где R – радиус трубы.

Явление переноса

Явление переноса — закон изменения скорости жидкости от расстояния до оси трубы.

Если Явление переноса — скорость на оси трубы, то

Явление переноса

Явление переносаЯвление переноса

Вычислим поток жидкости Q – т. е. объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Для этого сначала определим поток жидкости через кольцо радиуса r и толщиной dr :

Явление переноса -поток жидкости через кольцо dr.

Интегрируя по r, получим поток жидкости через поперечное сечение трубы:

Явление переноса

Ее можно использовать для определения коэффициента вязкости Явление переноса

6.Движение тел в жидкости и газе. Метод Стокса определения коэффициента вязкости.

Одной из важнейших задач гидро- и аэродинамики является изучение движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда воздействует на движущееся тело. Эта задача стала особенно значимой в связи с бурным развитием авиации и значительным увеличением скорости движения морских судов.

На тело, которое движется в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (Rx) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), — лобовое сопротивление, а вторая (Ry) перпендикулярна этому направлению — подъемная сила (рис. 1).

Явление переноса

Если тело обладает осью симметрии, которая совпадает с направлением скорости, то на данное действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Доказано, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если исследовать движение кругового цилиндра в такой жидкости (рис. 2), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки А и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. с. результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.
Явление переносаЯвление переноса

Другим образом обстоит дело если происходит движение тела в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Из-за вязкости среды в области движения, прилегающей к поверхности тела, создается пограничный слой частиц, которые движутся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя частицы начинают вращаться и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не обладает обтекаемой формой (нет плавно утончающейся хвостовой части), то происходит отрыв пограничного слоя жидкости от поверхности тела. При этом за телом возникает течение жидкости (газа), которое направлено противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 3).

Явление переноса

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления Cx, который определяется экспериментально:

(1) где &#&61; — плотность среды; &#&57; — скорость движения тела; S — наибольшее поперечное сечение тела.

Составляющую Rx можно значительно уменьшить, если подобрать тело формы, не способствующей образованию завихрения.

Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (1):

где Cy — безразмерный коэффициент подъемной силы.

Для крыла самолета требуется значительная подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малыхуглах атаки &#&45; (угол к потоку); см. рис. 1). Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше величина К=Cy/Cx называемаякачеством крыла. Большие заслуги в конструировании требуемого профиля крыла и изучении влияния геометрической формы тела на коэффициент подъемной силы принадлежат Н. Е. Жуковскому (1847-1921).

В этом методе шарик падает в исследуемой жидкости.

В установившимся режиме падения шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение шарика будет равно нулю и, согласно второму закону Ньютона, сумма действующих на него сил будет равна нулю. На шарик действуют. Сила Архимеда (см. рис. 1.35)

Явление переноса

Рис. 1.35. Метод Стокса

где &#&61;ж — плотность жидкости, r — радиус шарика. Сила тяжести m·g=(4/3)·&#&60;·r 3 ·&#&61;·g, где &#&61; — плотность материала шарика. Сила вязкого трения, которая для тел сферической формы определяется формулой Стокса Fтр =6&#&60;·η·r·v, где v — скорость шарика в установившемся режиме, &#&51; — искомый коэффициент вязкости. На основании второго закона Ньютона запишем:

Отсюда получим искомое выражение для коэффициента вязкости:

2.3. Явление переноса

Понятия о физической кинематике. Время релаксации.

Физическая кинетика – это микроскопическая теория процессов в неравновестных системах. Физическая кинетика исходит из представления о молекулярном строении рассматриваемой среды и силы взаимодействия между частицами.

Физическая кинетика включает в себя кинетическую теорию газов, основанную на следующих общих положениях классической статистичекой физики:

1. В системе частиц выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда и числа частиц.

2. Все частицы являются “меченными”, т.е. тождественные частицы отличны друг от друга.

3. Все физические процессы в системе протекают непрерывно в пространстве и времени (не квантуются).

4. Каждая частица системы может иметь произвольное значение координат и компонент скорости, независимо от других частиц.

Рассмотрим систему, находящуюся в неравновесном состоянии. Если эту систему изолировать от внешних воздействий. которые и вывели ее из равновесного состояния, то через некоторое время она самопроизвольно перейдет в равновесное состояние. Этот процес называется релаксацией. Переход в равновесное состояние обусловлен хаотическим тепловым движением частиц. Время, за которое первоначальное отклонение какой-лтбо величины от ее равновесного значения уменьшается в e раз называется временем релаксации.

Эффективное сечение. Длина свободного пробега.

Молекулы газа при своем хаотическом движении сталкиваются друг с другом, в результате этих столкновений изменяется направление движения и модуль скорости молекул. Между двумя столкновениями молекул проходит некоторый путь λ, который называется длинной свободного пробега. В дальнейшем линной свободного пробега будем называеть среднее значение < λ >.

Эффективный диаметр молекулы – минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул в момент соударения. Эффективный диаметр слабо зависит от температуры, уменьшаясь с ее увеличением

< λ > =

=

Эта формула получена нами в предположении, что движется только одна молекула, а все остальные заморожены. Если учесть движения других молекул, то это выражение имеет вид:

< λ > = 1 / (корень из 2) ПИ d (ст.2) n ; P = nkT ; n = P / kT;

Явление переноса. В термодинамической неравновесной системе возникают особые неравновесные процессы, называемые явлением переноса. в результате которых происходит перенос в пространстве энергии, массы и импульса. К явлениям переноса относятся:

1) теплопроводность (перенос энергии) ; 2) диффузия (перенос массы) ;

3) внутренние трение или вязкость (перенос импульса) ;

1. Теплопроводность.

Если в некоторой области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в остальных областях, то за счет хаотического движения молекул и соударений между ними происходит постоянное вырабатывани кинетической энергии молекул по всему объему газа. Энергия переносится из областей, где температура газа выше в те области, где она ниже.

Рассмотрим одномерный случай: если T1 > T, то dQ = — æ (dT / dx) S dt ;

Диффузия – это обусловленное тепловым движением выравнивание концентрации смеси нескольких веществ. Этот процес наблюдается в газах, жидкостях и твердых телах.

Рассмотрим двухкомпонентную смесь. Будем считать, что молекулы обеих компонент обладают близкими массами и близкими значениями эффективных диаметров. В этом случае можно считать, что dmi= Д (dpi/dx)dSdt.

Д – коэффициент диффузии.

Д = (1/3) <v9gt; <ЛЯМДА9gt; ; dpi / dx – градиент плотности ; Т.к.

Вязкость или внутреннее трение. В потоке газа молекулы участвуют одновременно в двух видах движений – хаотическом тепловом и упорядоченном направленном движении. Пусть Fтр =η|du/dx|S; …………..

………. При увеличении температуры газа возрастает скорость теплового движения молекул и следовательно частота соударений между ними. Следствием этого является увеличение переноса импульса от одного слоя газа к другому, поэтому при увеличении температуры газа, его вязкость возрастает.

Иная картина наблюдается в жидкостях. В жидкостях основной причиной возникновения внутреннего трения являются межмолекулярные взаимодействия (которые в газе практически отсутствуют). С увеличением температуры жидкости возрастает скорость теплового движения молекул и их кинетической энергии оказывается достаточно для разрыва межмолекулярных связей. Это приводит к ослаблению взаимодействия между молекулами и как следствие уменьшению вязкости жидкости.

Явления переноса

План

  1. Столкновения молекул. Средняя длина свободного пробега. Среднее число столкновений в единицу времени. Вакуум.
  2. Явления переноса в неравновесных системах.
  3. Диффузия.
  4. Вязкость.
  5. Теплопроводность.
  6. Явления переноса в твёрдых и жидких телах
  7. Коэффициенты переноса в газах.

а) Коэффициент диффузии.

б) Коэффициент вязкости.

в) Коэффициент теплопроводности.

  1. Общность механизма явлений переноса в газах. Выводы (обобщение – справочная таблица)

1. ^ Столкновения молекул. Средняя длина свободного пробега. Среднее число столкновений в единицу времени .

Молекулы газа движутся хаотически и сталкиваются между собой. Пусть λ – длина свободного пробега молекулы между двумя последовательными столкновениями; λ – случайная величина. Введём её усреднённое значение: . Средняя продолжительность свободного пробега (среднее время между двумя последовательными столкновениями) можно выразить через среднюю длину свободного пробега и среднюю арифметическую скорость молекул :

П
редставим траекторию молекулы как ломаную, составленную из отрезков: молекула между столкновениями летит прямолинейно и в среднем проходит путь, равный , а каждый излом соответствует столкновению, когда молекула меняет направление движения (рис.7.1).

Среднее число столкновений молекулы за секунду будет равно числу изломов на длине пути, равной , так как путь, пройденный молекулой за 1 секунду, равен в среднем :

Н айдём выражения для и для . При этом примем следующую модель: молекулы считаем упругими шариками диаметром d. При столкновениях таких молекул их центры могут сблизиться на минимальное расстояние, равное d (рис. 7.1). Молекулы – не шарики, однако понятие эффективного диаметра для них можно ввести: эффективный диаметр молекулы– это минимальное расстояние, на которое могут сблизиться при столкновении центры двух молекул . Эффективный диаметр имеет порядок величины 10 -10 м. Он немного зависит от температуры: при увеличении температуры кинетическая энергия сталкивающихся молекул больше, и приблизиться они друг к другу могут на более короткое расстояние.

Введём ещё одно определение. Эффективное сечение молекулы равно

то есть площадь круга с радиусом, равным эффективному диаметру молекулы, называется эффективным сечением . Если описать вокруг молекулы сферу радиусом , то внутрь этой сферы не сможет попасть центр другой молекулы (рис.7.3). Сечение такой сферы и есть эффективное сечение .

Чтобы определить среднее число столкновений молекулы с другими в единицу времени , сначала рассмотрим движение одной молекулы среди неподвижных молекул. Траектория нашей движущейся молекулы – ломаная линия. Опишем вокруг траектории цилиндр так, что ось цилиндра совпадает с траекторией молекулы, а радиус равен . Площадь его основания равна . Цилиндр – тоже ломаный (рис.7.4).

Столкновение произойдёт, если центр какой-либо молекулы попадёт в этот ломаный цилиндр. За время путь молекулы равен ; это – длина цилиндра. Объём цилиндра равен . Число молекул, центры которых попали в цилиндр, равно ; это и есть число столкновений нашей молекулы с другими за время . За единицу времени число столкновений будет равно

Если молекулы движутся . в (7.4) надо заменить среднюю скорость на среднюю относительную скорость, тогда:

Относительная скорость – скорость первой молекулы относительно второй – равна:

где и – скорости первой и второй молекул соответственно. Возведём (7.6) в квадрат и усредним:

Здесь – угол между векторами и ; , поскольку угол может принимать любые значения с равной вероятностью из-за хаотичности движения молекул. Кроме того, , тогда , и среднеквадратичная относительная скорость

Аналогично, для средних арифметических скоростей . Из (7.5) и (7.3) получим:

Наконец, средняя длина свободного пробега из (7.2):

Поскольку для идеального газа , то из (7.8)

Отсюда видно, что с повышением температуры при постоянном давлении длина свободного пробега молекул растёт.

Вакуум. Если уменьшать давление при постоянной температуре (уменьшать концентрацию молекул), то длина свободного пробега увеличивается, и при каком-то давлении становится равной размерам сосуда. При дальнейшем откачивании сосуда длина свободного пробега, формально рассчитанная по (7.8), должна продолжать расти, но фактически она остаётся постоянной и равной размерам сосуда, так как молекулы пролетают от стенки до стенки, не сталкиваясь друг с другом, но сталкиваются со стенками. Такое состояние достаточно разреженного газа, когда длина свободного пробега становится сравнимой с размерами сосуда, будем называть вакуумом.

^ 2. Явления переноса в неравновесных системах.

Если какая-либо физическая характеристика вещества имеет разные значения в разных точках системы, то система будет неравновесной. В таких системах происходят необратимые процессы, называемые явлениями переноса. Следствия этих процессов – выравнивание характеристик вещества по всему объёму.

1) Если неодинакова концентрация частиц, происходит перенос массы вещества; это – диффузия.

2) Если неодинакова скорость направленного движения частиц, происходит перенос импульса; это – вязкость (внутренне трение).

3) Если неодинакова температура, происходит перенос энергии (теплоты). Это – теплопроводность.

Здесь будут рассмотрены только стационарные процессы переноса. Они возникают, если условия на границе системы не меняются достаточно долго. В этом случае в каждой точке системы в конце концов устанавливаются некоторые различающиеся от точки к точке, но не изменяющиеся со временем значения параметров, — это стационарное, но не равновесное состояние. Например, будем поддерживать два конца металлического стержня при разных, но постоянных температурах, а боковую поверхность хорошо теплоизолируем. Тогда по длине стержня установится некоторое стационарное распределение температуры, но через сечение стержня будет переноситься теплота.

Законы, описывающие явления переноса, были открыты экспериментально. Все три явления имеют много общего и могут быть описаны похожими соотношениями.

Пусть концентрация частиц n изменяется только вдоль оси OZ (рис.7.5), тогда вдоль этой оси возникнет перенос частиц из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией. Опыт показывает, что по закону Фика плотность потока частиц IN пропорциональна градиенту концентрации :

где плотность потока частиц, по определению,

это – число частиц, перенесённых за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса. Или:

Понятно, что число частиц, перенесённых за время через малую площадку , пропорционально и промежутку времени, и величине площадки, а также градиенту концентрации, показывающему, как быстро изменяется концентрация вдоль оси OZ. Знак «минус» в (7.9) и (7.11) показывает, что направление переноса происходит в точки с меньшей концентрацией: если производная положительна (концентрация возрастает в положительном направлении оси OZ), то перенос вещества идёт в отрицательном направлении оси OZ. Коэффициент пропорциональности D в (7.9) и (7.11) называется коэффициентом диффузии .

Умножим обе части (7.11) на массу молекулы :

Здесь – плотность, а – масса перенесённого через площадку вещества, тогда закон Фика можно записать в виде:

Отсюда физический смысл коэффициента диффузии можно сформулировать так: коэффициент диффузии численно равен массе вещества, перенесённого за единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте плотности. Размерность коэффициента диффузии

Закон (7.12) можно записать в виде, аналогичном (7.9), через плотность потока массы , который равен, по определению, :

Вязкость (внутреннее трение) (см. лекцию №5 «Элементы механики жидкостей и газов ») возникает между слоями газа или жидкости, движущимися с разными скоростями. Если скорость направленного движения слоёв газа изменяется вдоль оси OZ (рис.7.6), то по закону Ньютона . импульс, перенесённый через малую площадку за время , пропорционален градиенту скорости направленного движения слоёв :

где – динамическая вязкость. Быстрый слой при этом тормозится, медленный – ускоряется в результате действия силы вязкого трения:

Из (7.13) физический смысл динамической вязкости: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесённому из слоя в слой через единичную площадку за единицу времени при единичном градиенте скорости направленного движения слоёв. Размерность коэффициента вязкости:

Плотность потока импульса (импульс, перенесённый за единицу времени через единичную площадку) равна

Пусть вдоль оси OZ изменяется температура (рис.7.7). Опыт показывает, что количество теплоты, перенесённой через малую площадку за время в результате теплопроводности, пропорционально градиенту температуры :

Здесь – коэффициент теплопроводности. Его физический смысл: численно равен количеству теплоты, перенесённой через единичную площадку за единицу времени при единичном градиенте температуры. Размерность

Знак «минус» в уравнении теплопроводности (7.15) означает, теплота переносится из области с большей температурой в область с меньшей температурой. Введём плотность потока тепловой энергии: – количество теплоты, перенесённой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса. Так же как для двух предыдущих явлений переноса, для теплопроводности можно записать уравнение переноса через плотность потока тепловой энергии:

Уравнение теплопроводности (7.15), (7.16) – это закон Фурье .

^ 6. Явления переноса в твёрдых и жидких телах также имеют место. Однако диффузия в жидкостях протекает медленнее, чем в газах, а для некоторых твёрдых тел при комнатной температуре практически не заметна. Это объясняется меньшей подвижностью частиц в конденсированной фазе, более плотной упаковкой частиц, а также тем, что частицы взаимодействуют друг с другом. Молекула жидкости некоторое время колеблется около своего положения равновесия, и изменяет его, перескакивая в соседнее положение, если затратит энергию, равную энергии активации. С ростом температуры число молекул жидкости, имеющих энергию, достаточную для преодоления этого потенциального барьера, возрастает, и подвижность молекул растёт. Это приводит к увеличению коэффициента диффузии жидкости. Коэффициент вязкости жидкости, напротив, с ростом температуры уменьшается, так как молекулы легче меняют своё положение и, например, при движении тела в жидкости легче «пропускают» его, перестраиваясь в другое положение. Сами же коэффициенты вязкости для жидкостей на несколько порядков больше, чем для газов.

Теплопроводность жидких и твёрдых тел больше, чем газов. Это объясняется взаимодействием частиц, в результате которого тепловая энергия передаётся быстрее. У металлов теплопроводность большая за счёт очень подвижных электронов.

Пористые твёрдые тела являются хорошими теплоизоляторами – за счёт пор, заполненных воздухом.

^ 7. Коэффициенты переноса в газах .

Молекулярно-кинетическая теория идеального газа позволяет получить уравнения переноса теоретическим путём и дать выражение для коэффициентов переноса. Молекулы газа, двигаясь хаотически, переходят в другие части системы и переносят массу, импульс, связанный с направленным движением слоёв газа, либо тепловую энергию.

а) Коэффициент диффузии

П
усть концентрация уменьшается с координатой Z по какому-либо закону (рис.7.5). Пусть слева от площадки концентрация больше, чем справа: .

Выберем малую площадку , перпендикулярную оси OZ. Будем считать, что все молекулы могут двигаться только параллельно координатным осям и имеют одинаковые скорости теплового движения, равные средней арифметической . Площадку могут пересечь молекулы, которые летели по направлению к ней, а это часть всех молекул: ещё летит от площадки тоже параллельно оси OZ, и ещё по движутся параллельно двум другим осям. За время до площадки дойдут те молекулы, которые были от площадки на расстоянии не больше, чем , то есть находились в объёме . Концентрация молекул слева от площадки , поэтому число молекул, пересекающих площадку слева направо за время , равно:

Аналогично, число молекул, пересекающих площадку справа налево тот же промежуток времени, равно:

Результирующий перенос будет в положительном направлении оси OZ:

Возникает вопрос: где именно, как далеко от площадки, нужно взять концентрации и ? Последний раз перед пересечением площадки молекулы сталкиваются с другими молекулами и изменяют направление движения на расстоянии от площадки, равном длине свободного пробега; следовательно, они перенесут через неё информацию о концентрации, сложившуюся на расстоянии от площадки. Тогда, если функция достаточно гладкая, можно записать производную её по координате как отношение конечных приращений (см. рис.7.5):

В (7.20) учтено, что производная убывающей функции отрицательна, а . Далее, из (7.19) и (7.20) получим:

Сравнив (7.21) с (7.11), получим, что коэффициент диффузии равен

б) Коэффициент вязкости

При выводе формулы для коэффициента вязкости рассуждения аналогичны. Пусть скорость направленного движения слоёв газа убывает с координатой Z (рис.7.6). Концентрации молекул слева и справа одинаковы, и за время площадку пересечёт одинаковое число молекул, равное

Импульс молекул, находящихся слева от площадки, связанный с направленным движением слоёв газа, равен . Эти молекулы перенесут слева направо импульс суммарный :

Аналогично, в обратном направлении будет перенесён импульс

М
олекулы, переходя из более быстрого слоя, движущегося со скоростью , в более медленный слой, движущийся со скоростью , переносят свой импульс, связанный с направленным движением слоёв, и медленный слой в целом ускоряется. Наоборот, более медленные молекулы переходят в быстрый слой и в целом его притормаживают. Это и проявляется как вязкость: скорости направленного движения слоёв выравниваются.

Аналогично (7.20) выразим производную (градиент скорости направленного движения):

Молекулы, переходя через площадку, переносят через неё импульсы, связанные с теми скоростями направленного движения, которые сложились на расстоянии от площадки. Из (7.24) и (7.25):

Сравнив (7.26) и (7.13), получим коэффициент динамической вязкости:

так как плотность .

Коэффициент вязкости газа с ростом температуры при постоянном давлении растёт: и за счёт увеличения скорости хаотического движения:

и за счёт увеличения длины свободного пробега (7.8б): .

в) Коэффициент теплопроводности

Пусть вдоль оси OZ изменяется температура (рис.7.7).

В результате теплового движения молекулы переносят через площадку свои средние тепловые энергии, которые сложились на расстоянии от площадки в точках с координатами и . Средняя энергия молекулы равна ; здесь – число степеней свободы молекулы (см. предыдущую лекцию). Тогда тепловая энергия, перенесённая слева направо, равна

а в обратную сторону

Результирующий перенос с учётом (7.23):

Г
радиент температуры равен:

Сравнивая (7.29) и (7.15), получим коэффициент теплопроводности:

Преобразуем его, учтя, что

где – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме; – его удельная теплоёмкость (подробнее теплоёмкостях в лекции «Термодинамика»).

Коэффициент теплопроводности при постоянной температуре не зависит от давления: из (7.8) и (7.31) следует:

то есть не меняется, потому что плотность и концентрация изменяются синхронно; уменьшение плотности компенсируется увеличением . Но если газ достиг состояния вакуума, то в качестве длины свободного пробега нужно брать расстояние между стенками сосуда, и . Уменьшение плотности ничем не компенсируется, и теплопроводность разреженного газа уменьшается. Это используется практически в обычных бытовых термосах, имеющих двойные стенки, между которыми вакуум – разреженный воздух. За счёт вакуума достигнута малая теплопроводность стенок термоса.

^ 8. Общность механизма явлений переноса в газах.

Все явления переноса в газах обусловлены хаотическим движением молекул: в результате теплового движения молекулы переносят по всему объёму массу; импульс, связанный с направленным движением; тепловую энергию. Вследствие этого коэффициенты переноса связаны друг с другом. Из (7.22), (7.28) и (7.31) следует:

В таблице 7.1 обобщена информация о явлениях переноса. Ещё раз стоит подчеркнуть, что законы Ньютона, Фика, Фурье – экспериментальные. Они описывают явления переноса не только в газах, но и в жидкостях и твёрдых телах. Выражения для коэффициентов переноса можно использовать только для идеального газа . – они получены в рамках этой модели.

Явление переноса

1 Внешние признаки явления. Условия при которых протекает явление
Сущность явления и механизма его протекания, т е необходимо объяснить явление на основе современных научных теорий

Явление переноса

Новые подходы к организации количественного химического эксперимента Апухтина Надежда Валерьевна
Эксперимент это изучение явления в особых, специально созданных условиях, которые могут варьироваться экспериментатором, чтобы полнее.

Явление переноса

Явление переноса

Явление переноса

Духовно-нравственный потенциал программы «Социокультурные истоки» в контексте фгос
Зитивные перемены, так и негативные явления, неизбежные в период крупных социально-политических изменений. Эти явления оказали отрицательное.

Явление переноса

Явление переноса

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *