Формула де бройля

Фотоэффект. эффект Комптона. законы теплового излучения совершенно определенно указывают на корпускулярную природу электромагнитных волн, в частности, видимого света. Интерференция. дифракция и особенно поляризация столь же определенно свидетельствуют о волновой природе света. Отсюда следует вывод, что свет (и вообще любая электромагнитная волна) сочетает как волновые, так и корпускулярные свойства, т.е. обладает корпускулярно – волновым дуализмом .

Найдем связь между волновыми и корпускулярными характеристиками света. По формуле Планка энергия фотона равна

С другой стороны, по формуле Эйнштейна, выражающей эквивалентность массы и энергии, эта же энергия может быть связана с массой фотона:

Приравнивая значения энергии и выражая длину волны фотона, получим:

где p = mc – импульс фотона.

В 1924 г. Луи де Бройль (L. de Broglie) в своей диссертации “Исследования по теории квантов” предположил, что двойственная корпускулярно – волновая природа присуща не только свету, но и всем материальным частицам. Соотношение

аналогичное уравнению (14), где p = mv – импульс частицы, определяет длину волны любой частицы, движущейся со скоростью v. Волна, длина которой определяется уравнением (15), называется волной де Бройля.

Хотя в своих ранних работах Л. де Бройль рассматривал электроны, формула (15) справедлива для любых материальных тел. Почему же мы не наблюдаем их для макроскопических объектов, например, для летящей хоккейной шайбы? Рассчитаем соответствующую длину волны де Бройля. Хоккейная шайба, пущенная сильным ударом, имеет скорость около 40 м/с, масса ее 0,2 кг, откуда длина волны де Бройля по формуле (15) l = 8,25. 10 -35 м. Волновые свойства шайбы не проявляются просто потому, что их невозможно зарегистрировать. Вычисленная длина волны намного меньше не только размеров атома (диаметр атома порядка 10 -10 м), но и размеров атомного ядра (диаметр ядра порядка 10 -15 м)!

Однако движущийся с такой же скоростью электрон будет иметь длину волны l = 1,8. 10 -5 м, которая уже может быть легко обнаружена и измерена экспериментально. Для электронов, ускоренных разностью потенциалов 100 – 10000 В, для тепловых нейтронов, для молекул водорода при комнатной температуре и других “медленных” микрочастиц длины волн де Бройля такого же порядка, что и длины волн мягких рентгеновских лучей. Поэтому волновые свойства таких частиц можно наблюдать, например, с помощью дифракции, аналогично дифракции рентгеновских лучей.

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера.

Впервые гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах по дифракции электронов американскими физиками К. Дэвиссоном (C.Devisson) и Л. Джермером (L. Germer). Схема опыта представлена на рис.2. Параллельный моноэнергетический пучок электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направляется на мишень 2 (монокристалл никеля). Отраженные электроны улавливаются коллектором 3, соединенным с гальванометром. Коллектор можно устанавливать под любым углом относительно падающего луча.

Рассмотрим результаты опытов Дэвиссона и Джермера. Например, в одном из опытов наблюдалась дифракция электронов с энергией 54 эВ. Первый дифракционный максимум наблюдался под углом j = 50 о (см. рис.2). Импульс электрона связан с его кинетической энергией формулой . Из формулы де Бройля определяем длину волны электронов:

В то же время по формуле Брегга для максимума первого порядка при дифракции на кристалле никеля с периодом решетки d = 0,091 нм получаем:

Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.

Экспериментальная проверка волновой природы частиц продолжалась и в последующие годы. В 1928 — 30 гг. О. Штерн (O. Stern) и И. Эстерман (I. Estermann) провели опыты по дифракции атомов гелия, неона, молекул водорода и дейтерия на кристаллах.

Дифракция электронов на двух щелях

Наиболее наглядные экспериментальные результаты, подтверждающие волновую природу электронов, получены в опытах по дифракции электронов на двух щелях, выполненных впервые в 1961 г. К. Йёнсоном. Эти опыты — прямая аналогия опыта Юнга для видимого света. Схема опыта представлена на рис. 3. Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов 40 кВ, после прохождения двойной щели в диафрагме попадал на экран (фотопластинку). В тех местах, где электроны попадают на фотопластинку, образуются черные пятна. В результате попадания большого числа электронов на фотопластинке наблюдается типичная интерференционная картина в виде чередующихся максимумов и минимумов, полностью аналогичная интерференционной картине для видимого света.

Характерно, что все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку «поодиночке». Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. На рис. 4 показаны фотопластинки после попадания различного числа электронов (экспозиция возрастает от рис. 4а к рис. 4в). Последовательное попадание на фотопластинку все бóльшего и бóльшего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.

Физический смысл волн де Бройля

Что же представляет собой электрон — волну или частицу? Ответ на этот вопрос таков — ни то, ни другое. В одних случаях электрон ведет себя как волна соответствующей длины (например, в опытах по дифракции ), в других — как обычная частица (например, электроны в электронно — лучевой трубке). В отличие от механических волн, волна де Бройля не является распространением колебаний в какой-то упругой среде. Волна де Бройля — это математическая модель, описывающая поведение электронов в соответствующих условиях. После долгих дискуссий физики пришли к следующей интерпретации физического смысла волн де Бройля. Поведение микрочастиц носит вероятностный характер. а волна де Бройля — математический инструмент для расчета этой вероятности. В опытах по дифракции микрочастиц там, где интенсивность волн де Бройля максимальна, там вероятность обнаружить микрочастицу максимальна (дифракционный максимум). Наоборот, там, где интенсивность волн де Бройля минимальна, вероятность обнаружить микрочастицу минимальна (дифракционный минимум). Например, на рис. 3 показано распределение вероятности P12 попадания электронов в различные участки экрана на расстоянии x от центра. Максимальная вероятность соответствует дифракционному максимуму, нулевая вероятность — дифракционному минимуму. Более строго вероятность попадания микрочастицы в ту или иную область пространства рассчитывается с помощью так называемой волновой, или пси-функции ( y — функции).

Формула де Бройля;

Элементы квантовой механики

Выяснилось, что излучение обладает двойственной природой света. Наряду с такими свойствами света, как интерференция и дифракция, которые свидетельствуют о его волновой природе имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу: фотоэффект, эффект Комптона.

Несмотря на то, что излучение обладает такой двойственной природой, оно никогда не проявляет обоих своих качеств в условиях одного и того же опыта.

В каждом данном опыте оно ведет себя либо как волна, либо как частица.

В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что этот двойственный характер присущ не только излучению, но он характерен и для всех материальных частиц.

По этой гипотезе с электронами, протонами. атомами и молекулами должен быть связан некоторый тип волнового движения.

Де Бройль пришел к этой гипотезе из рассмотрения положений специальной теории относительности и квантовой теории

Из теории вероятности следует, что энергия фотона , отсюда

Из квантовой теории известно, что энергия фотона , импульс фотона P=mc

Полагая получим где

— волновое число = k, причем можно считать, что k – вектор, совпадающий с направлением световых волн длиной .

Де Бройл перенес эти представления в динамику частицы. Согласно гипотезе де Бройля длина волны частицы связана с импульсом частицы соотношением , учитывая m – масса, — скорость P=m

для любой частицы, движение частицы определяется особыми волнами, которые были названы волнами де Бройля.

Существование этих волн обнаружено экспериментально Девиссоном, Джермером и Томсоном. Длина волны, связанная с любой частицей массы m, движущейся со скоростью будет

Если эта частица электрон, который приобрел свою скорость под действием разности потенциалов U, то его кинетическая энергия ( в случае, если скорость мала по сравнению со скоростью света c) будет , a

Длина волны, связанная с ним, может быть представлена в виде

Например, для разности потенциалов в 100 В = 0,12 мм = 0,12 м.

Эта длина волны имеет порядок расстояний между атомными плоскостями в кристаллах, значит возможно экспериментально доказать существование этих волн

В 1927 году Девиссон и Джеемер исследовали отражение электронов от монокристалла никеля. Они показали, что при рассеянии электронов от поверхности монокристалла никеля получается отчетливая дифракционная картина. Оказалось, что дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа-Брэггов

, найденная длина волны = 0,165 мм соответствовала де Бройлевской длине волны, вычисленной при ускоряющей разности потенциалов U = 54B. При этом =0,167 мм, что подтверждает, что волновые свойства присущи не только потоку электронов, но и каждому электрону в отдельности.

Дифракция пучка электронов при прохождении через тонкие слои различных металлов была обнаружена Д.Томсоном и П. Тартаковским. Позднее было доказано, что не только электроны, но и протоны и нейтроны и даже молекулы водорода обладают волновыми свойствами, т.е. при их попадании на кристалл то же обнаруживается явление дифракции. В.А. Фабрикант доказал, что не только потоку частиц, но и каждому отдельному электрону присущи волновые свойства.

В настоящее время опыты по дифракции электронов и нейтронов и основанные на них приборы получили широкое распространение в науке и технике.

Дифракция электронов применяется при исследовании структуры поверхности ( метод электронографии). Электрон сильно взаимодействуюет с веществом, поэтому проникающая способность электронов много меньше чем у рентгеновских лучей, что и делает электронографию особенно ценной при исследованиях структур поверхностей. Дифракция нейтронов используется в нейтронографии для изучения структур, особенно органических кристаллов, содержащих водород.

Нейтроны сильно взаимодействуют с веществом и дают эффективную картину дифракции. Открытие волновых свойств электронов вызвало появление новой отрасли науки электронной оптики. Волны де Бройля в принципе сопутствуют движению и любых макроскопических тел. Однако эти волны настолько малы. Их длина волны лежит за пределами доступной для наблюдения области. Например, для теннисного мяча с массой 100 г и летящего со скоростью 20 м/с .

Поэтому считают, что макроскопические тела проявляют только одну сторону своих свойств – корпускулярную и не проявляют волновую.

Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма свойств вещества. Формула де Бройля

Глава 26. Элементы квантовой механики

Теория Бора явилась промежуточной между классическими представлениями и новыми идеями квантовой механики, которые сформировались к 1923 г.

В 1923 году произошло примечательное событие, которое в значительной степени ускорило развитие квантовой физики. Французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота &#&57; и длина волны &#&55;.

Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона:

Любой частице, обладающей импульсом р, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны

Основываясь на гипотезе де Бройля, можно объяснить первый постулат Бора. Подставляя в выражение m&#&65;r=nh значение m&#&65;, выраженное из формулы (7.15), получаем

2&#&60;r = n&#&55; (26.2)

Это соотношение показывает, что с точки зрения гипотезы де Бройля стационарными являются лишь те орбиты, на которых укладывается целое число волн де Бройля.

Так как частицы вещества обладают волновыми свойствами, то можно наблюдать их интерференцию и дифракцию. Именно с этой сто­роны гипотеза де Бройля и получила экспериментальное подтверждение в целом ряде опытов, обнаруживших дифракцию электронов, протонов, нейтронов, атомов.

В 1927 г. Девиссон и Джермер изучали рассеяние электронов на монокристалле никеля с помощью установки, изображенной на рис. 26.2. Установка состоит из электронной пушки S, служившей источником узкого пучка моноэнергетических электронов. Пучок электронов направляется на никелевую пластинку C, отражаясь от нее в разных направлениях. Электроны 3 улавливались с помощью подвижного цилиндрического электрода D, соединенного с гальванометром. Интенсивность отраженного пучка определялась по силе тока, текущего через гальванометр. Опы­ты показали, что при заданном угле падения электроны отражаются от поверхности кристалла под различными углами, причем в одних направлениях наблюдаются максимумы числа отраженных электронов, в других — минимумы, т. е. наблюдалась дифракционная картина Направляя пучок рентгеновских лучей на кристалл, можно получить дифракционную картину. Исходя из этого можно было ожидать, что аналогичное явление будет наблюдаться и для электронов. Так как структура различных кристаллов, в частности никеля, была изучена, то по формуле Вульфа — Брэггов 2d·sin&#&52; = k&#&55; можно определить брэгговскую длину волны и сравнить ее с длиной волны де Бройля.

Опыты Девиссона и Джермера установили, что электроны дифрагировали как волны, длина этих волн в точности совпадает с длиной волны, которую дают формулы волновой механики, т. е. брэгговская и дебройлевская длины волн равны. Так же как и для электронов, явление дифракции наблю­дается для протонов и атомов.

Волновые свойства характерны не только для пучка движущихся частиц, но и для отдельной движущейся частицы. Опытным путем Фаб­рикант, Биберман и Сушкин обнаружили явление дифракции одиночных электронов. При обстреле металлической пленки одиночными электро­нами наблюдалась такая же дифракционная картина, как при прохожде­нии пучка электронов.

Таким образом, электроны, подобно фотонам, имеют двойственную корпускулярно-волновую природу. Корпускулярные и волновые характеристики связаны между собой постоянной Планка:

Физический смысл волн де Бройля можно понять, анализируя связь между волновыми и корпускулярными свойствами частиц и света. Дифракционные максимумы соответствуют тем точкам пространства, куда попадает наибольшее число частиц. Эти точки характеризуются максимальной амплитудой волны.

Таким образом, квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности обнаружить частицы в этой точке пространства.

Формула де бройля

ФОРМУЛА ДЕ БРОЙЛЯ

В 1924 г. Луи де Бройль высказал предположение, что корпускулярно-волновой дуализм (т. е. одновременное наличие корпускулярных и волновых свойств), возможно, существует и у частиц вещества, в частности у электронов. Предложенная им формула, связывающая эти свойства, была аналогична формуле (2.19), написанной для фотонов:

Существенное различие между формулами (2.19) и (2.20) заключается в том, что:

1) у фотонов нет инертной массы покоя приравнивается на основании общего соотношения между массой и энергией, установленного в теории относительности, т. е. характеризует «запас энергии» в фотоне). Электроны же имеют массу покоя причем в формуле

2) екороеть фотонов (в Еакууме) является постоянной величиной, тогда как скорость электронов может иметь различные значения.

Первое подтверждение формулы де Бройля (2.20) было получено Девиссоном и его сотрудниками (1927) при исследовании отражения пучка электронов от поверхности металлов: были обнаружены чередующиеся максимумы и минимумы по-видимому, обусловленные дифракцией некоторой волны, отраженной от плоскостей кристаллической

решетки облучаемого металла. Расчеты длины этой волны оказались в полном согласии с формулой де Бройля. Это совпадение было подтверждено также и другими опытами, поставленными по аналогии оптическими опытами по дифракиии. Впоследствии выяснилось, что волновыми свойствами обладают также и другие частицы вещества — протоны, нейтроны и т. д.; для них также была подтверждена формула де Бройля (2.20).

Гипотеза и формула де Бройля. Экспериментальное подтверждение гипотезы

В 1924 г. французский физик де Бройль высказал смелую гипотезу о сходстве между светом и частицами вещества, что если свет обладает корпускулярными свойствами, то и материальные частицы, в свою очередь, должны обладать волновыми свойствами. Движению любой частицы, обладающей импульсом Формула де бройля. сопоставляется волновой процесс с длиной волны:

Это выражение называется длиной волны де Бройля для материальной частицы.

Существование волн де Бройля может быть установлено лишь на основе опытов, в которых проявляется волновая природа частиц. Так как волновая природа света проявляется в явлениях дифракции и интерференции, то для частиц, обладающих по гипотезе де Бройля волновыми свойствами, должны также обнаруживаться эти явления.

Трудности наблюдения волновых свойств частиц были связаны с тем, что в макроскопических явлениях эти свойства не проявляются.

Зафиксировать такую короткую длину волны не удается ни в одном из опытов. Однако если рассматривать электроны, масса которых очень мала, то длина волны станет достаточной для ее экспериментального обнаружения. В 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах американских физиков Дэвиссона и Джермера.

Простые расчеты показывают, что длины волн, связанных с частицами, должны быть очень малы, т.е. значительно меньше длин волн видимого света. Поэтому дифракцию частиц можно было обнаружить не на обычной дифракционной решетке для видимого света (с постоянной решетки Формула де бройля ), а на кристаллах, атомы в которых расположены в определенном порядке на расстояниях друг от друга ≈ Формула де бройля .

Вот почему в своих опытах Дэвиссон и Джермер изучали отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе.

Схема опыта представлена на рис. 20.1. В вакууме узкий пучок моноэнергетических электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направлялся на мишень 2 (поверхность монокристалла никеля, сошлифованная перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки). Отраженные электроны улавливались детектором 3, соединенным с гальванометром. Детектором, который можно было устанавливать под любым углом относительно падающего луча, улавливались только те электроны, которые испытывали упругое отражение от кристалла.

По силе электрического тока в гальванометре судили о количестве электронов, зарегистрированных детектором. Оказалось, что при отражении электронных пучков от поверхности металла наблюдается картина, которую невозможно предсказать на основе классической теории. Число электронов, отраженных в некоторых направлениях, оказалось больше, а в некоторых меньше, чем следовало ожидать. То есть возникало избирательное отражение в определенных направлениях. Особенно интенсивно рассеяние электронов происходило под углом Формула де бройля при ускоряющем напряжении Формула де бройля .

Формула де бройля

Объяснить результаты эксперимента оказалось возможным лишь на основе волновых представлений об электронах. Атомы никеля, расположенные на шлифованной поверхности, образуют регулярную отражательную дифракционную решетку. Ряды атомов перпендикулярны плоскости падения. Расстояние между рядами d = 0,091 нм. Эта величина была известна из рентгенографических исследований. Энергия электронов невелика и они не проникают глубоко в кристалл, поэтому рассеяние электронных волн происходит на поверхностных атомах никеля. В некоторых направлениях рассеянные от каждого атома волны усиливают друг друга, в других – происходит их гашение. Усиление волн произойдет в тех направлениях, в которых разность расстояний от каждого атома до точки наблюдения равняется целому числу длин волн (рис. 20.2).

Действие электронов на фотопластинку аналогично действию быстрых фотонов рентгеновского диапазона при прохождения их через фольгу из алюминия.

Другое доказательство дифракции электронов в кристаллах дают сходные снимки электронограммы и рентгенограммы одного и того же кристалла. С помощью этих снимков можно определить постоянную кристаллической решетки. Вычисления, проведенные с помощью двух различных методов, приводят к одинаковым результатам.После продолжительной бомбардировки фольги электронами на фотопластинке образовывалось центральное пятно, окруженное дифракционными кольцами. Происхождение дифракционных колец такое же, как и в случае дифракции рентгеновских лучей.

Наиболее наглядные экспериментальные результаты, подтверждающие волновую природу электронов, получены в опытах по дифракции электронов

на двух щелях (рис. 20.4), выполненных впервые в 1961 г. К. Йёнсоном. Эти опыты – прямая аналогия опыта Юнга для видимого света.

Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов 40 кВ, после прохождения двойной щели в диафрагме попадал на экран (фотопластинку). В местах попадания электронов на фотопластинке образуются темные пятна. При большом числе электронов на фотопластинке наблюдается типичная интерференционная картина в виде чередующихся максимумов и минимумов интенсивности электронов, полностью аналогичная интерференционной картине для видимого света. Р12 − вероятность попадания электронов в различные участки экрана на расстоянии x от центра. Максимальная вероятность соответствует дифракционному максимуму, нулевая вероятность – дифракционному минимуму

Характерно, что все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку “поодиночке9rdquo;. Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. На рис. 20.5 показаны фотопластинки после попадания различного числа электронов (экспозиция возрастает от рис. 20.5а к рис. 20.5в).

Последовательное попадание на фотопластинку все возрастающего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.

В 1929 г. Штерн и Эстерман показали, что и атомы гелия ( Формула де бройля ) и молекулы водорода ( Формула де бройля ) также претерпевают дифракцию. Для тяжелых химических элементов длина волны де Бройля очень мала, поэтому дифракционные картины либо совсем не получались, либо были весьма расплывчатыми. Для легких атомов гелия и молекул водорода средняя длина волны при комнатной температуре порядка 0,1 нм, то есть того же порядка, что и постоянная кристаллической решетки. Пучки этих атомов не проникали вглубь кристалла, поэтому дифракция молекул осуществлялась на плоских двумерных решетках поверхности кристалла, аналогично дифракции медленных электронов на плоской поверхности кристалла никеля ( Формула де бройля ) в опытах Дэвиссона и Джермера. В результате наблюдались четкие дифракционные картины. Позднее была обнаружена дифракция на решетках кристаллов очень медленных нейтронов.

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *