Движение материальной точки по окружности

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ

Положение частицы, движущейся по окружности, можно задать углом . который образует радиус-вектор с каким-либо неизменным направлением, например, осью X.

Введем для движения частицы по окружности по аналогии с линейной скоростью угловую скорость и ускорение. Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота радиус-вектора, поэтому угловой скоростью называется производная угла поворота радиус-вектора, определяющего положение материальной точки, по времени. Пусть за время точка М повернулась на угол (рис. 1.18), тогда угловая скорость

Направление вектора угловой скорости определяется по правилу правого винта. Если рукоятку винта поворачивать по направлению движения точки, то его поступательное движение покажет направление вектора угловой скорости.

При вращении частицы с постоянной по модулю скоростью угловую скорость называют также угловой частотой вращения. Она показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор, определяющий положение материальной точки, за единицу времени. Величина дает число оборотов в единицу времени и называется частотой. Время, за которое частица совершает полный оборот, называется периодом вращения .

Вектор угловой скорости может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела, так и за счет поворота оси вращения в пространстве. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. Пусть за время вектор получает приращение . Тогда угловое ускорение определится как

Вектор углового ускорения частицы при неизменной ориентации оси вращения параллелен этой оси и направлен вдоль вектора или против него в зависимости от того, увеличивается или уменьшается угловая скорость.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . при этом скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Можно показать, что модуль линейной скорости точки зависит от угловой скорости и от расстояния от этой точки до оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол . Точка, находящаяся на расстоянии от оси вращения, проходит при этом путь . Модуль линейной скорости точки равен

Таким образом, модули линейной и угловой скорости связаны соотношением

2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение материальной точки по окружности

«Ньютон был первым, кто попытался сформулировать элементарные законы, которые определяют временной ход широкого класса процессов в природе с высокой степенью полноты и точности, и оказал своими трудами глубокое и сильное влияние на всё мировоззрение в целом.Самой судьбой Ньютон был поставлен на поворотном пункте умственного развития человечества».А. Эйнштейн

Движение материальной точки по окружности

Исаак Ньютон (Isaak Newton), 1643–1727

Выдающийся английский учёный, заложивший основы современного естествознания, создатель классической физики, член Лондонского королевского общества и его президент с 1703г. Работы Ньютона относятся к механике, оптике, астрономии, математике. В двадцать с небольшим лет Ньютон сумел заложить фундамент почти для всего существенного, что кем когда-либо было сделано.

Ньютону было свойственно исключительное трудолюбие. Отрешившись от всего, что происходит вокруг, порой без сна и отдыха, он трудился с невероятной интенсивностью. Ему понадобилось всего 18 месяцев, чтобы завершить большую часть одной из самых выдающихся книг в истории науки «Математические начала натуральной философии», которую теперь обычно называют просто «Начала». Это сочинение было написано в 1687 г. Именно в «Началах» Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения, заложил основы классической механики и сформулировал её основные законы. Он одним из первых построил теорию движения небесных тел, создав, таким образом, основы небесной механики. Много лет спустя А. Эйнштейн, обращаясь к Ньютону, писал: «Прости меня, Ньютон: ты нашёл единственный путь, возможный в твоё время для человека величайшей научной творческой способности и силы мысли. Понятия, созданные тобой, и сейчас остаются ведущими в нашем физическом мышлении, хотя мы теперь и знаем, что если будем стремиться к более глубокому пониманию взаимосвязей, то мы должны будем заменить эти понятия другими, стоящими дальше от сферы непосредственного опыта».

Кинематика дает описание движения, не задавая вопроса о том, почему тело движется именно так, а не иначе. Динамика изучает движение тел в связи с причинами, которые обусловливают тот или иной характер движения. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны, то есть выбор любой из них допустим для описания движения. Иначе обстоит дело в динамике – разделе механики, изучающем движение, основываясь на анализе его причин.

В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном. Законы Ньютона, как и все остальные физические законы, возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.

Движение материальной точки по окружности

Движения Материальной Точки по Окружности

Движение точки по окружности может быть очень сложным (рис. 17).

Рассмотрим подробно движение точки по окружности, при котором v = const. Такое движение называется равномерным движением по окружности. Естественно, вектор скорости не может быть неизменным ( v не равно const), так как направление скорости постоянно меняется.

Время, за которое траектория точки опишет окружность, называется периодом обращения точки (Т). Число оборотов точки в одну секунду называется частотой обращения (v). Период обращения можно найти по формуле:

Естественно, перемещение точки за один оборот будет равно нулю. Однако пройденный путь будет равен 2ПиR. а при числе оборотов п путь будет равен 2ПиRn или 2ПиRt/T. где t — время движения.

Ускорение при равномерном движении точки по окружности направлено к ее центру и численно равно а = v 2 /R.

Это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Вывод этого равенства может быть следующим. Приведем векторы скорости к одной точке хотя бы за — Т (можно и за Т/2 или Т) (рис. 18).

Движение материальной точки по окружности

Тогда сумма изменений векторов скоростей за малые промежутки времени будет равна длине дуги АВ, которая равна модулю | v 2 — v 1 | за время t = 1/4*Т.

Определим длину дуги. Поскольку радиусом для дуги будет модуль вектора v 1 =v 2 =v. то длина дуги l может быть вычислена как длина четверти окружности с радиусом v:

После сокращения получим: Движение материальной точки по окружности

Если же движение равнопеременное, то v Ф const, тогда рассматривают другую составляющую ускорения, обеспечивающую изменение модуля скорости. Это ускорение называется тангенциальным:

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, оно может совпадать по направлению со скоростью (движение равноускоренное) или быть противоположно направленным (движение равнозамедленное).

Движение материальной точки по окружности

Враща́тельное движе́ — ние вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй. ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Движение материальной точки по окружности,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика. то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Углово́е ускоре́ — ние псевдовекторная физическая величина. характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела .

При вращении тела вокруг неподвижной оси. угловое ускорение по модулю равно [1] :

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторонуДвижение материальной точки по окружностипри ускоренном вращении и противоположноДвижение материальной точки по окружности— при замедленном).

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

Движение материальной точки по окружности,

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/сек 2 .

Движение материальной точки по окружности

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная

точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения. этот закон можно записать в виде формулы:

где Движение материальной точки по окружности— ускорение материальной точки;

Движение материальной точки по окружности— сила. приложенная к материальной точке; m — масса материальной точки.

Или в более известном виде:

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс :

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной

точки равна равнодействующей всех приложенных к ней сил.

где Движение материальной точки по окружности— импульс точки,

где Движение материальной точки по окружности— скорость точки;

Движение материальной точки по окружности— производная импульса по времени.

Когда на тело действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается:

Движение материальной точки по окружности

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности .

Нельзя рассматривать частный случай (при Движение материальной точки по окружности) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Движение материальной точки по окружности

Инерциа́льная систе́ма отсчёта (ИСО) — система отсчёта. в которой справедлив закон инерции. все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся [1]. Эквивалентной является следующая формулировка, удобная для использования в теоретической механике [2] :

Инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным. а время — однородным .

В классической механике справедлив механический принцип относительности: законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x, y, z), условно будем считать неподвижной, и систему К’ (с координатами x’, y’, z’), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью υ 0 (υ 0 =const)

Координата точки А по отношению к системе К: х = х’ + 00′, за промежуток времени t от начала отсчета будет:

Уравнения (3.19) носят название преобразования координат и времени Галилея. Отсчет времени начат с момента, когда начало координат обеих систем совпадают. Продифференцировав по времени t, получим выражение правила сложения скоростей в классической механике: υ=υ’+υ 0 (3.20)

Ускорения в обеих системах отсчета одинаковы, а это означает, что поведение тел в обеих системах одинаково: a=a’ (3.21), т.е. из соотношения (3.21) вытекает подтверждение механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея. Механический принцип относительности можно сформулировать еще следующим образом: никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли

Движение материальной точки по окружности

она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

Преобразова́ния Галиле — ́я в классической механике ( механике Ньютона ) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой [1]. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году. [2] Преобразования Галилея подразумевают одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время» [3] ) и выполнение принципа относительности ( принцип относительности Галилея (см. ниже) ).

• Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.

Если ИСО S движется относительно ИСО S’ с постоянной скоростьюДвижение материальной точки по окружностивдоль осиДвижение материальной точки по окружности, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

• Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:

• Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростейДвижение материальной точки по окружности(много меньше скорости света).

Движение материальной точки по окружности

Зако́н сохране́ния и́мпульсаЗако́ ( н сохране́ния количества движения ) утверждает,

что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения. закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий. — однородность пространства .

Рассмотрим выражение определения силы

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n -ю частицу со стороны m -ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы видаДвижение материальной точки по окружностииДвижение материальной точки по окружностибудут равны по абсолютному

значению и противоположны по направлению, то есть Движение материальной точки по окружностиТогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

Движение материальной точки по окружности

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы .

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса Движение материальной точки по окружностизависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Движение материальной точки по окружности

Движение материальной точки по окружности При движении материальной точки по окружности (см. рис.2) можно описывать движение аналогично поступательному движению в декартовых координатах. Но поскольку окружность – кривая центрально симметричная, образованная вращением постоянного радиуса-вектора относительно его начала, то удобнее пользоваться полярными координатами с оговоркой того, что траектория движения – окружность радиуса R .

Движение материальной точки по окружностиДвижение материальной точки по окружностиДвижение материальной точки по окружностиДвижение материальной точки по окружности

Движение материальной точки по окружностиДвижение материальной точки по окружностиДвижение материальной точки по окружности

Движение материальной точки по окружности

Движение материальной точки по окружности

Рис. 2. Пример плоского вращательного движения.

Тогда, для описания движения достаточно фиксировать закон изменения угла поворота со временем Движение материальной точки по окружности. Углы поворота измеряются в радианах ([&#&66;] – рад). Понятно, что угол поворота величина векторная. Положительные направления угла поворота принято считать в направлении поворота от оси x к оси у как показано на рис.3.

Аналогично поступательному движению определяется угловая скорость, как первая производная угла поворота по времени:

Движение материальной точки по окружности

Направление вектора угловой скорости выбирается по следующим правилам:

1. Вектор угловой скорости лежит на оси вращения z ;

2. Направления вектора выбираем туда, куда закручивается правый винт по направлению движения тела (см. рис.3).

В дальнейшем ось вращения всегда будет определяться как ось z .

Если в результате исследования обнаруживается, что угловая скорость остается постоянной ( Движение материальной точки по окружности ), то движение тела по окружности называется равномерным.

Рис. 3. Пояснение к выбору направления угловых скоростей и ускорений.

Для равномерного движения по окружности вводят понятия периода обращения тела по окружности и частоты (линейной) вращения. Периодом обращения тела по окружности (T) называют время одного полного оборота. Частотой вращения называют число оборотов за одну секунду, или величину обратную периоду:

Движение материальной точки по окружности

Размерность периода обращения секунда ([T ] – c), а частоты – обратная секунда или Герц ([f ] – c -1 =Гц). Угловую скорость движения тела по окружности, только при равномерном движении, называют циклической частотой вращения тела. Связь между линейной частотой и циклической следующая: Движение материальной точки по окружности .

Аналогично поступательному движению определяют угловое ускорение, как первая производная угловой скорости по времени, или вторая производная от угла поворота по времени:

Движение материальной точки по окружности.

Направление вектора углового ускорения определяется аналогично направлению угловой скорости (см. рис.3). Если тело разгоняется, то угловое ускорение совпадает с угловой скоростью, а если тело тормозиться, то угловое ускорение направлено против угловой скорости (см. рис.3).

Получим соотношения между линейными скоростями и ускорениями и угловыми. Линейная скорость связана с угловой соотношением:

Движение материальной точки по окружности.

Для вывода формулы (7) достаточно рассмотреть малое перемещение dS от точки 1 к точке 2 (см. рис.2),которое видно из начала координат под углом d &#&66;. Треугольник, образованный векторами Движение материальной точки по окружности прямоугольный, так как вектор перемещения Движение материальной точки по окружности. образующий хорду окружности бесконечно мал. Поэтому Движение материальной точки по окружности. как известно Движение материальной точки по окружности. поэтому Движение материальной точки по окружности .

Для вывода формулы линейного ускорения продифференцируем формулу (6):

Движение материальной точки по окружности.

Получили, что полное ускорение определяется суммой двух векторов Движение материальной точки по окружности и Движение материальной точки по окружности. Рассмотрим, куда направлены эти вектора. Вектор Движение материальной точки по окружности направлен туда же куда и линейная скорость, по касательной к окружности, его называют тангенциальным ускорением и обозначают Движение материальной точки по окружности. Тангенциальным по тому, что направлен по касательной к окружности, то есть туда же куда и скорость. Второй вектор Движение материальной точки по окружности направлен к центру окружности, его называют нормальным, радиальным или центростремительным ускорением, и обозначают Движение материальной точки по окружности. По модулю нормальное и тангенциальное ускорения равны произведению соответствующих скаляров векторов, входящих в векторные произведения:

Движение материальной точки по окружности.

Динамика. Энергия и импульс

Пока для описания движения определяли только величины, такие как перемещение, скорость и ускорение. Если тело движется с ускорением, то постулируется, что на тело действует сила, обеспечивающая разгон или торможение. Сила, векторная величина, определяемая как:

Движение материальной точки по окружности.

где m – масса тела. Размерность силы – Ньютон ([F ] – кг·м/с 2 =Н). Сила, радиус-вектор, скорость и ускорение являются фундаментальными физическими величинами, определяющими характер движения. Масса тела, определяется как коэффициент пропорциональности между силой и ускорением. Для того, чтобы измерить массу тела необходимо два тела, эталонное и измеряемое, привести в движение с одинаковой силой и сравнить их ускорения.

После определения силы, можно постулировать три закона механики (законы Ньютона).

1. Если на тело не действуют ни какие силы, или сумма всех сил, действующих на тело равна нулю (равнодействующая сила), то тело или покоится или движется равномерно.

2. Сила, действующая на тело, или равнодействующая сила, равна произведению массы тела на его ускорение.

3. Если два тела приведены во взаимодействие с постоянной силой, то сила, действующая на первое тело, равна по модулю и противоположна по направлению, силе противодействия второго тела на первое.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах координат. Инерциальными называют системы координат, которые ии покоятся или движутся с постоянной скоростью.

Если на тело действует сила, то помимо того, что тело приобретает ускорение под действием этой силы, – то сила совершает работу. Работа силы определяется как интеграл по пути действия силы:

Движение материальной точки по окружности.

На математическом жаргоне: работа силы – сила, размазанная по пути ее действия. Размерность работы силы – Джоуль ([A ] – кг·м/с 2 ·м=Н·м=Дж). Из определения работы силы (11), силу, действующую на тело, можно определить как скорость нарастания работы силы по расстоянию. Очевидно, что если сила постоянна, то работа силы A=F·l. где l – расстояние, на котором сила действовала.

Силы, действующие на тело, классифицируются по трем признакам: по природе действия, виду и работе силы.

По природе действия силы разделяются на внешние и внутренние. По виду силы разделяют на:

1. Силы прямого действия.

2. Силы сопротивления (трения).

4. Силу Кулона (электростатического взаимодействия).

5. Силу магнитного взаимодействия.

По характеру работы, совершаемой силой, силы делят на консервативные и диссипативные. Консервативными называют силы, работа которых не зависит от пути действия. Диссипативными называют силы, работа которых зависит от пути.

Если тело движется с некоторой скоростью, то говорят, что оно обладает кинетической энергией. Кинетической энергией тела называют величину:

Движение материальной точки по окружности.

Кинетическая энергия определяет работу, которую может совершить тело с массой m и обладающее скоростью v. Кроме кинетической энергии в механике определяют потенциальную энергию тела (U ). Потенциальной энергией, называют энергию, которой тело может обладать и при предоставлении телу свободы эта энергия перейдет в кинетическую. Связь между потенциальной энергией и силой, действующей на тело, готовой совершить работу:

Движение материальной точки по окружности.

Размерность энергии – Джоуль.

Прямым следствием первого закона Ньютона является определение импульса тела. Импульсом или количеством движения, называется векторная величина:

Движение материальной точки по окружности.

Движение материальной точки по окружностиДвижение материальной точки по окружности.

Векторное произведение Движение материальной точки по окружности. т.к. вектора скорости и импульса колинеарны.

Первый закон Ньютона не дает однозначного ответа на вопрос о равновесии системы тел. Из него только лишь следует достаточное условия равновесия – сумма всех сил, действующих на тело равна нулю. Необходимым условием равновесия является равенство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к телу.

Из условия равновесия тел можно определить точку в теле, относительно которую сумма всех моментов сил других точек будет равна нулю. Эта точка называется центром масс тела. Положение центра масс тела определяется соотношением:

Движение материальной точки по окружности.

где &#&61; – плотность тела; начало координат ставится на центр масс, и интеграл берется по всему объему тела. Для описания движения в рамках модели материальной точки необходимым условием решения основной задачи механики является построение зависимости Движение материальной точки по окружности в котоой координатами радиус-вектора будут координаты центра масс тела. Величину Движение материальной точки по окружности. вычисленную относительно начала координат называют механическим моментом тела первого порядка.

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. В случае нарушения авторского права напишите сюда.

Движение материальной точки по окружности

Все темы данного раздела:

И ТЕРМОДИНАМИКА
Курс лекций по физике для студентов инженерно-технических специальностей &n

Механика. Система отчета
Механика – раздел физики, изучающий закономерности механического движения и причины, вызывающие и изменяющие это движение. Механическое движение, заключается в изменении с течением

Перемещение и путь
Для изучения закономерностей физических процессов используют физические модели. Физической моделью, используемой для изучения законов механического движения является материальная точ

Скорость и ускорение
Рассмотрим движение материальной точки из положения А в положение В вдоль произвольной траектории

Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчета
Как уже отмечалось выше, динамика, как раздел классической механики, изучает движение тел в зависимости от приложенных к ним сил. В основе динамики лежат три закона Ньютона. В качестве I з

Масса. Импульс. Закон сохранения импульса
Движущаяся материальная точка характеризуется импульсом (количеством движения). Вектор импульса материальной точки сонаправлен вектору скорости, а величина импульса пропорциональна величине скорост

Сила. Второй и третий законы Ньютона
При взаимодействии материальной точки с внешними телами ее импульс со временем изменяется. За меру изменения импульса принимается величина

Сила трения
При движении тела по горизонтальной поверхности на него действует сила, препятствующая движению – сила трения, то есть сила сопротивления, направленная в сторону противоположную перемещению.

Сила упругости
Как уже было отмечено выше, сила вызывает либо ускорение, либо деформацию тела. Деформация – это всякое изменение размеров или формы тела под действием внешних сил. Если после прекращения де

Сила тяготения
Ньютон, изучая движения планет на основании законов Кеплера[4] и законов динамики, установил закон всемирного тяготения. Этот закон сначала был сформулирован для планет, которые рассматривались как

Основное уравнение вращательного движения. Момент инерции
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.3). Разобьём мысленно это тело на элементы массами &#&16;m1, &#&16;m2

Кинетическая энергия вращения
Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси ОО с угловой скоростью &#&69; (рис. 3.7). Разобьем твердое тело на n элементарных масс ∆mi

Аналогия между поступательным и вращательным движением
Если сопоставить соотношения между величинами, характеризующими поступательное движение, с такими же соотношениями для вращательного движения вокруг оси, увидим аналогию между ними. Достаточно запо

Работа переменной силы. Мощность.
Если под действием силы F происходит движение и тело перемещается на величину S, то говорят, что сила совершает работу. Работа – скалярная физическая величина, равная произведению про

Энергия. Кинетическая и потенциальная энергии
Тот факт, что тела могут совершать работу над другими телами, означает, что данные тела обладают энергией. Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу наз

Закон сохранения энергии в механике
Полная механическая энергия Е тела равна сумме кинетической Ек и потенциальной Еn энергий: Е = Ек + Еn (4.20)

Основные характеристики колебательного движения
Процессы точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени называются колебаниями.В зависимости от физической природы различают механические, электр

Кинетическая, потенциальная и полная энергии гармонических колебаний
Полная энергия Е колеблющейся материальной точки равна сумме кинетической Ек и потенциальной Еп энергий Е = Ек + Еп

Уравнение гармонических колебаний. Маятники
На колеблющуюся материальную точку массой m действует возвращающая сила F = — kx. Эта сила вызывает ускорение

Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг оси, не проходящей через центр масс. При отклонении маятника относительно оси О

Математический маятник
Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, которая колеблется под действием си

Сложение гармонических колебаний одного направления
Если точка одновременно участвует в двух или нескольких колебаниях, то происходит сложение этих колебаний. Рассмотрим два случая: сложение гармонических колебаний, направленных по одной пр

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Изучим результирующее колебание при сложении двух колебаний с одинаковыми циклическими частотами &#&69;, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Х и Y.

Возникновение волны. Продольные и поперечные волны
Если в среде колеблется частица, то она приводит в колебание соседние частицы. Процесс распространения колебаний называется волной. Направление распространения коле

Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение
Уравнение бегущей волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от координаты и времени. Рассмотрим вывод уравнения плоской синусоидальной волны. Пусть упругая волна распростран

Фазовая и групповая скорости
Скорость распространения фазы колебания называется фазовой скоростью. Если в линейной среде распространяются несколько волн, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн. Каждая в

Волны в упругих средах
Фазовая скорость распространения механических волн зависит от макроскопических свойств среды, таких, как плотность и упругость. Рассмотрим распространение механической

Звук и его характеристики
Распространяющиеся в среде упругие волны с частотами в пределах 16 – 20000 Гц называются звуковыми волнами. Волны указанного диапазона, воздействуя на слуховой аппарат, вызывают ощущение зву

Принцип относительности Галилея
Рассмотрим инерциальные системы координат К (х,у,z) и К’ (х’,у’,z’). Пусть система К’ движется относительно системы К с постоянной скоростью &#&65;0

Постулаты специальной теории относительности.
Относительность времени Специальная теория относительности (СТО) представляет собой современную теорию пространства и времени. СТО иначе называется релятивис

Молекулярно-кинетический и термодинамический методы
При изучении строения веществ и их свойств используют два метода: – молекулярно-кинетический (молекулярно-статистический); – термодинамический. Молекулярно-кинети

Термодинамические параметры
При изучение свойств вещества термодинамическим методом используют понятие термодинамической системы, под которой понимается совокупность макроскопических тел (или составляющих тело

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории устанавливает связь между давлением, объемом и кинетической энергией поступательного движения молекул.

Скорости молекул. Распределение молекул по скоростям
Для характеристики скорости теплового движения выразим среднюю квадратичную скорость молекулы через температуру газа Т. Средняя кинетическая энергия ‹&#&49;0›

Идеальный газ во внешнем поле
Если идеальный газ находится в силовом поле, то давление будет меняться от точки к точке, так как на молекулы газа действуют внешние силы. Рассмотрим наиболее простой случай, когда силы поля направ

Число соударений между молекулами и средняя длина свободного пробега молекул
В результате хаотического движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом. Вычислим число соударений между молекулами для идеального газа. Для этого будем рассматривать молекулы, как у

Явления переноса. Коэффициент переноса. Ультраразреженные газы
Переход идеального газа из неравновесных состояний в равновесное происходит благодаря явлениям переноса: — теплопроводности или переноса энергии; — диффузии или переноса ма

Первое начало термодинамики
В термодинамике закон сохранения энергии выражается в виде I начала термодинамики, который формулируется следующим образом: теплота dQ, подведенная к замкнутой системе, расходуется на увелич

Теплоемкости газов
Удельной теплоемкостью вещества С называется количество теплоты dQ, необходимое для нагревания газа массой m = 1 кг на 1 градус

Работа газа при изопроцессах
В термодинамике изопроцессами называют процессы, при которых один из основных параметров сохраняется неизменным. В термодинамике работа расширения газа от объема V1 до

Адиабатический процесс
Адиабатическим называется такой процесс, когда между системой и окружающей средой отсутствует теплообмен (dQ = 0). Если dQ = 0, то из уравнения (10.22) следует, что

Круговые процессы (циклы)
Первое начало термодинамики, являющееся законом сохранения энергии, не указывает направления возможного протекания процессов. Любой процесс, при котором не нарушается закон сохранения энергии, возм

Второе начало термодинамики
Термодинамические процессы нельзя описать только первым началом термодинамики, который выражает закон сохранения и превращения энергии. Второе начало термодинамики определяет направление процесса и

Приведенное количество теплоты. Энтропия
Как уже говорилось выше, термический к.п.д. для обратимого цикла (11.1

Уравнение Ван-дер-Ваальса
Уравнение Менделеева-Клапейрона для одного моля идеального газа имеет вид

Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ
После соответствующих преобразований уравнение (12.4) примет вид (12.6

Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля-Томсона
Как уже говорилось выше, для реального газа необходимо учитывать силы взаимодействия между молекулами. Силы притяжения между ними приводят к внутреннему давлению

§ 9. Равномерное движение материальной точки по окружности

При равномерном движении т. М по окружности (рис. 33):

– модуль скорости не изменяется

– направление вектора скорости изменяется

Полное ускорение в этом движении (§ 6, 2а) равно нормальному ускорению (или центростремительному): = n и направлено перпендикулярно к направлению вектора скорости. по радиусу к центру окружности. При этом движении радиусвектор т. М поворачивается на угол = – 0 за интервал времени t = t – t0. а его конец описывает дугу окружности .

При вращении угол поворота изменяется с течением времени, тогда уравнение = (t) – это уравнение вращения. Угол (или ) аналогичен величине линейного пути S при поступательном движении, и его называют углом поворота или угловым путем. Элементарное угловое перемещение – это вектор, направленный вдоль оси по правилу правого винта и численно равный углу (рис. 34). Введем угловые кинематические характеристики: угловую скорость и угловое ускорение при вращении вокруг неподвижной оси (§ 1, рис. 3).

Средняя угловая скоростьcp – это физическая величина, равная отношению угла поворота к интервалу времени, за который оно произошло.

Единицы угловой скорости в СИ и в системе СГС

Мгновенная угловая скорость мгн – это физическая величина, равная пределу отношения углового перемещения к интервалу времени, за который оно произошло (при t 0).

Угловая скорость – производная от угла поворота по времени.

При равномерном движении по окружности вокруг закрепленной оси, при котором за любые равные промежутки времени радиус-вектор точки поворачивается на одинаковые углы, угловая скорость может рассматриваться как скаляр:

Линейная скорость (мгновенная скорость при движении по окружности):

При t = Т, S = 2 R

Угловая скорость (34) при t = Т равна:

Угловой путь при равномерном движении материальной точки по окружности:

Уравнение равномерного движения материальной точки по окружности:

При t = Т, = 2p

Связь линейной и угловой скорости

Из формул (39) и (40) следует, что

Связь тангенциального ускорения аt и углового ускорения

Примечание. Угловая скорость и угловое ускорение – векторные величины. Направления векторов угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны плоскости окружности (рис. 34). Вектор мгновенной скорости материальной точки при движении по окружности связан с вектором угловой скорости по правилу векторного произведения (§ 18.6):

Формула нормального ускорения (вывод)

Рассмотрим равномерное движение по окружности:| 1 | = | 2 | v (рис. 35). Перенесем вектор в точку В и построим вектор – изменение скорости за время t. Треугольники BCD и OAB подобны как равнобедренные с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

При t 0 угол между 1 и 2 стремится к нулю ( 0), а угол между 2 и – к прямому. Значит, направление вектора и ( ) приближается к направлению нормали к траектории, т.е. к направлению радиуса. Следовательно, ускорение – нормальное (центростремительное):

Учитывая, что при t 0 длина хорды АВ приближается к длине дуги S, получим:

и формула нормального ускорения:

Формулы равномерного движения материальной точки по окружности

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *