Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение

Рассмотрим дискретную случайную величину Числовые характеристики случайных величин. имеющую возможные значения Числовые характеристики случайных величин с вероятностями Числовые характеристики случайных величин. Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений Числовые характеристики случайных величин. причем каждое значение Числовые характеристики случайных величин при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднееслучайной величины Числовые характеристики случайных величин. которое мы обозначим Числовые характеристики случайных величин :

Числовые характеристики случайных величин

или, учитывая, что Числовые характеристики случайных величин ,

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрении одно из важнейших понятий теории вероятностей – понятие математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Формула (5.6.1) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины Числовые характеристики случайных величин математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

где Числовые характеристики случайных величин — плотность распределения величины Числовые характеристики случайных величин .

Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, — употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Числовые характеристики случайных величин называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

Можно написать общее определение начального момента Числовые характеристики случайных величин -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

т.е. начальным моментом Числовые характеристики случайных величин -го порядка случайной величины Числовые характеристики случайных величин называется математическое ожидание Числовые характеристики случайных величин -й степени этой случайной величины.

Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина Числовые характеристики случайных величин с математическим ожиданием Числовые характеристики случайных величин. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Числовые характеристики случайных величин. называется отклонение случайной величины Числовые характеристики случайных величин от её математического ожидания:

Согласно определению центрального момента

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (5.7.13) величину Числовые характеристики случайных величин её выражением, имеем также:

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

— соответственно для прерывных и непрерывных величин.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины Числовые характеристики случайных величин. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать Числовые характеристики случайных величин :

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её Числовые характеристики случайных величин :

Числовые характеристики случайных величин

Для решения многих практических задач вовсе не нужно знать распределение СВ, а достаточно знать лишь некоторые числа, характеризующие их распределение, так называемые числовые характеристики СВ.

1. Математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины X. называется величина

В случае ряда (n = ) и несобственного интеграла предполагается, что они абсолютно сходятся, в противном случае математическое ожидание не существует.

Смысл математического ожидания состоит в следующем: если проведено большое количество опытов и в каждом из них определено значение случайной величины, то среднее арифметическое полученных значений приближенно равно математическому ожиданию, чем больше число опытов, тем «ближе» среднее наблюдаемых значений к математическому ожиданию.

Так как математическое ожидание теоретическая величина, которую можно найти без проведения опытов, то тем самым можно указать среднее значение случайной величины в большом числе опытов без проведения самих опытов.

Поэтому математическое ожидание называют также средним значением, средним ожидаемым, центром рассеивания, центром распределения.

Обозначение: M , M (x ), M (X ), . Размерность математического ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины.

Примеры: 1) пусть Х дсв:

Свойства математического ожидания:

1) M(C)=C. где С — некоторая постоянная величина.

4) M(X&#872&;Y)=M(X)∙M(Y). если Х и Y независимые случайные величины.

5) Если Y=&#&66;(X) функция от случайной величины Х. то

Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание.

Однако характер распределения Х и Y существенно различен. Случайная величина Х принимает значения мало отличающиеся от ее математического ожидания, величина Y принимает значения значительно удаленные от ее математического ожидания. Поэтому вводится еще одна числовая характеристика для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной вокруг ее математического ожидания.

Центрированной случайной величиной или отклонением. называется случайная величина .

На основании свойств математического ожидания:

Дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения:

Используя определение математического ожидания, можно получить:

Размерность дисперсии равна квадрату размерности самой случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины это величина:

Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.

1) D (C )=0, где С — некоторая постоянная величина.

3) (дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания).

4) Если Х и Y независимые случайные величины, то

5) Если Х и Y зависимые случайные величины, то

Число M( называется корреляционным моментом случайных величин X и Y. и обозначается К ( , Y ). Зависимые случайные величины иногда называют скоррелированными друг с другом. Коэффициентом корреляции называется число r ( , Y )= .

Замечание: обратим внимание на интерпретацию математического ожидания и дисперсии в финансовом анализе. Пусть, например, известно распределение доходности некоторого актива. Тогда M ( ) выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а D ( ) или — меру отклонения, колеблемости доходности от ожидаемого среднего значения, то есть риск данного актива.

3. Моменты случайных величин.

Пусть случайная величина kN .

Величина M ( называется начальным моментом k -го порядка. Математическое ожидание – начальный момент первого порядка.

Величину M (( называют центральным моментом k -го порядка. Дисперсия – центральный момент второго порядка.

Величина M ( ) — абсолютный момент k -го порядка .

Замечание: моменты высших порядков служат для более подробного описания распределения. Так, например, третий центральный момент M (( характеризует ассиметрию распределения; четвертый центральный момент M (( характеризует крутость распределения…

4. Мода и медиана случайной величины .

Модой ( ) случайной величины называют её наиболее вероятное значение, для которого вероятность или плотность вероятности f (x ) достигают максимума.

Если вероятность или плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, то распределение называют полимодальным .

Медианой непрерывной случайной величиной называют такое её значение, для которого P( =P(

Пример: найти моду, медиану, математическое ожидание случайной величины , если f (x )=3 при x вне указанного отрезка f (x )=0.

Числовые характеристики случайных величин

Из рисунка видно, что функция f (x ) достигает максимума при х =1, следовательно,

Числовые характеристики случайных величин
Главная | О нас | Обратная связь

Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина может быть описана частично с помощью числовых характеристик.

Числовые характеристики – наиболее существенные особенности распределения.

1) Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Математическим ожиданием (МО) или случайной величины называется ее среднее значение. имеет размерность СВ.

МО обладает свойствами:

1. МО постоянной величины равно самой постоянной: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: .

3. МО произведения двух независимых случайных величин равна произведению их МО .

МО произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех СВ .

Произведение двух независимых случайных величин и — это случайная величина . возможные значения которой равны произведениям возможных значений СВ на возможные значения СВ .

Две случайные величины называются независимыми. если закон распределения одной из них не зависим от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимые.

Несколько СВ взаимно независимы. если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.

4. МО суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых .

МО суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Например, для трех СВ .

Суммой случайных величин и называют СВ . возможные значения которой равны суммам возможных значений СВ с возможными значениями СВ .

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого . т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше .

2) Характеристики рассеяния (разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания): дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия или случайной величины — это математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Разность между СВ и ее МО называется отклонением или центрированной СВ .

МО отклонения равно 0. .

Размерность равна квадрату СВ.

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводим его в квадрат

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин. Например, для трех СВ

Дисперсия суммы постоянной величины и СВ равна дисперсии СВ

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии

Среднее квадратическое отклонение или случайной величины — это положительное значение корня квадратного из дисперсии. Предназначена для более наглядного представления характеристики «рассеяния», т.к. имеет размерность случайной величины в отличие от дисперсии. Может быть также использована для ориентировочной оценки диапазона возможных значений СВ. Диапазон практически возможных значений СВ не выходит за пределы

3) Начальный теоретический момент -го порядка или случайной величины — математическое ожидание -ой степени этой случайной величины. Начальный момент нулевого порядка равен . Начальный момент первого порядка (первый момент) есть, МО

4) Центральный теоретический момент -го порядка или случайной величины — математическое ожидание -ой степени отклонения (разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием).

Центральный момент 0-го порядка равен 1.

Центральный момент 1-го порядка равен 0.

Центральный момент 2-го порядка есть дисперсия.

Центральный момент 3-го порядка служит для характеристики ассиметрии относительно МО (или «скошенности» распределения) и используется в формуле для расчета коэффициента ассиметрии (или просто ассиметрии).

Центральный момент 4-го порядка служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. «островершинности» или «плосковершинности» распределения, который называется эксцесс

Центральные моменты выражаются через начальные

Числовые характеристики случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако иногда можно охарактеризовать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков, выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще и нагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.

В большинстве руководств по теории вероятностей и математической статистике при рассмотрении вопроса о статистических аналогиях для характеристик случайных величин применяется терминология, несколько отличная от принятой в настоящей книге, а именно, статистическое среднее именуется «выборочным средним», статистическая дисперсия — «выборочной дисперсией» и т.д.

Происхождение этих терминов следующее. В статистике, особенно сельскохозяйственной и биологической, часто приходится исследовать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес того же зерна, длина или вес тела какого-либо из группы животных и т.д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того, чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или об ее важнейших характеристиках, нет необходимости обследовать каждый индивидуум данной обширной совокупности; можно обследовать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения. Та обширная совокупность, из которой производится выборка, носит в статистике название генеральной совокупности. При этом предполагается, что число членов (индивидуумов) в генеральной совокупности весьма велико, а число членов в выборке ограничено. При достаточно большом оказывается, что свойства выборочных (статистических) распределений и характеристик практически не зависят от ; отсюда естественно вытекает математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная совокупность, из которой осуществляется выбор, имеет бесконечный объем. При этом отличают точные характеристики (закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и т.д.), относящиеся к генеральной совокупности, от аналогичных им «выборочных» характеристик. Выборочные характеристики отличаются от соответствующих характеристик генеральной совокупности за счет ограниченности объема выборки ; при неограниченном увеличении. естественно, все выборочные характеристики приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим характеристикам генеральной совокупности. Часто возникает вопрос о том, каков должен быть объем выборки для того, чтобы по выборочным характеристикам можно было с достаточной точностью судить о неизвестных характеристиках генеральной совокупности или о том, с какой степенью точности при заданном объеме выборки можно судить о характеристиках генеральной совокупности. Такой методический прием, состоящий в параллельном рассмотрении бесконечной генеральной совокупности, из которой осуществляется выбор, и ограниченной по объему выборки, является совершенно естественным в тех областях статистики, где фактически приходится осуществлять выбор из весьма многочисленных совокупностей индивидуумов. Для практических задач, связанных с вопросами стрельбы и вооружения, гораздо более характерно другое положение, когда над исследуемой случайной величиной (или системой случайных величин) производится ограниченное число опытов с целью определить те или иные характеристики этой величины, например, когда с целью исследования закона рассеивания при стрельбе производится некоторое количество выстрелов, или с целью исследования ошибки наводки производится серия опытов, в каждом из которых ошибка наводки регистрируется с помощью фогопулемета, и т.д. При этом ограниченное число опытов связано не с трудностью регистрации и обработки, а со сложностью и дороговизной каждого отдельного опыта. В этом случае с известной натяжкой можно также произведенные опытов мысленно рассматривать как «выборку» из некоторой чисто условной «генеральной совокупности», состоящей из бесконечного числа возможных или мыслимых опытов, которые можно было бы произвести в данных условиях. Однако искусственное введение такой гипотетической «генеральной совокупности» при данной постановке вопроса не вызвано необходимостью и вносит в рассмотрение вопроса, по существу, излишний элемент идеализации, не вытекающий из непосредственной реальности задачи.

Поэтому мы в данном курсе не пользуемся терминами «выборочное среднее», «выборочная дисперсия», «выборочные характеристики» и т.д. заменяя их терминами «статистическое среднее», «статистическая дисперсия», «статистические характеристики».

Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.

Случайной величиной о называется действительная функция о = о (щ), щ принадлежит у, такую что при любом x<щ: о(щ) < x > принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой — конечное или счетное множество (определение с пар) — ДСВ — если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием Д.С.В.называется число M [X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины о не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В.называется число M [X ], определяемое равенством

(Если не сходится то — не существует.)

1) Для любой случайной величины о имеем Dо>=0

2) Если c -постоянная, то Dc=0

3) Если c -постоянная, то D(cо)=c2

4) Для любых величин о1 и о2, D (о1 + о2)= Dо1 + Dо2

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины.

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, т.к.

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

Числовые характеристики системы случайных величин составляют числовые характеристики каждой из величин, входящих в систему, и числовые характеристики, дающие представление о характере связи между величинами. Числовые характеристики каждой из величин по отдельности определяются как числовые характеристики обычных случайных величин. Из числовых характеристик зависимости между величинами назовем лишь наиболее употребимую.

Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения соответствующих центрированных величин

Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Обратное утверждение верно не всегда. Равенство нулю ковариации независимых случайных величин следует из теоремы о математическом ожидании произведения независимых случайных величин

дисперсия корреляционный математический

часто силу зависимости между случайными величинами характеризуют безразмерным коэффициентом

Таким образом, главное назначение числовых характеристик состоит в том, чтобы в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распре-

деления исследуемой случайной величины. В теории вероятностей числовые характеристики и операции с ними играют огромную роль. С помощью числовых характеристик существенно удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.

лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010

Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013

События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.

контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015

Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015

Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.

реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015

Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.

контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013

Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.

контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010

Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.

курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012

Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.

реферат [56,1 K], добавлен 24.01.2011

Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако он часто неизвестен. В ряде случаев даже удобнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайней величины.

Рассмотрим основные числовые характеристики случайных величин.

1. Математическое ожидание случайной величины X — это ее среднее значение, которое вычисляется по формулам (для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно):

Числовые характеристики случайных величин

2. Модаслучайной величины (Мо) — ее наиболее вероятное значение для дискретной величины, а для непрерывной величины это то значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна.

3. Медиана случайной величины Х (Me) — такое ее значение Me, для которого Р(Х<Ме)=Р(Х >Me) = 0.5, то есть одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me.

3. Дисперсиейслучайной величины называется математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием:

Числовые характеристики случайных величин

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно имеем:

Числовые характеристики случайных величин

5. Средним квадратическим отклонениемслучайной величины Х называется корень из дисперсии &#&63;х = √Dх. Эта величинахарактеризует разброс значений случайной величины вокруг среднего значения (рис 2.1) и имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Числовые характеристики случайных величин

6. Коэффициент вариации случайной величины Х характеризует относительную изменчивость величины:

7. Начальным моментом k -го порядкаслучайной величины Х называется математическое ожидание k –й степени этой случайной величины:

Числовые характеристики случайных величин

Для дискретной и непрерывной случайных величин этот момент вычисляется соответственно по формулам:

Числовые характеристики случайных величин

8. Центральным моментом k -го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k –й степени разности между случайной величиной Х и её математическим ожиданием:

Числовые характеристики случайных величин

Этот момент вычисляется по следующим формулам для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно:

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание случайной величины Х есть первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный.

Второй и третий центральные моменты выражаются через начальные моменты зависимостями:

Числовые характеристики случайных величин

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или скошенности) распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Коэффициент асимметрии (или просто асимметрия) определяется по формуле (рис 2.2):

Числовые характеристики случайных величин

Четвертый центральный момент служит для характеристики «крутости», то есть островершинности или плосковершинности распределения.

Это свойство распределения описывается с помощью так называемого эксцесса:

Числовые характеристики случайных величин

Пример. Вероятность того, что произвольный посетитель страхо­вой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,4. Определить математическое, ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне­ние числа клиентов (из трех посетителей), заключивших договор со стра­ховой компанией.

Решение. Возможные значения случайной величины Х — числа клиентов (из трех посетителей), заключивших договор со страховой компанией, равны 0, 1, 2, З.

Используя формулу Бернулли, вычислим вероятности различного числа клиентов (из трех), заключивших договор со страховой компанией.

Числовые характеристики случайных величин

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Вычислим числовые характеристики величины Х.

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

Пример. Непрерывная случайная величина Х подчинена законy распределения с плотностью f(x) = ae -/ x/

Числовые характеристики случайных величин

Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс величины X .

Решение. Определим коэффициент а .

Для этого воспользуемся свойством плотности распределения

Числовые характеристики случайных величин

Так как функция хe -/ x/ нечетная, то математическое ожидание величины Х равно нулю.

Числовые характеристики случайных величин

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение, соответственно, равны:

Числовые характеристики случайных величин

Так как распределение симметрично, то Аs = 0.

Для вычисления эксцесса находим

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

Вопросы для повторения

Что является полной количественной характеристикой описания экономического показателя как случайной величины?

Сравните различные формы законов распределения, их особенности использования.

Экономические показатели, как правило, являются случайными величинами.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта (испытания) может принять одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретной называют случайную величину, принимающую отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, которые можно пронумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Случайная величина полностью описывается своим законом распределения. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан таблично (рядом распределения для дискретной величины), графически и аналитически (функцией распределения или функцией плотности распределения для непрерывной величины).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *