Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Система сил, линии действия которых параллельны, называется системой параллельных сил.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены приблизительно к центру Земли. Если размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть сила тяжести тела, по модулю равная его весу.

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.

Так как силу можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку твердого тела, то принято считать, что сила тяжести тела приложена в его центре тяжести. При решении многих технических задач важно уметь определять положение центра тяжести, часто это можно сделать весьма простыми методами.

Иногда представляется возможность разбить тело на такие части, веса и положения центров тяжести которых известны. Задав положение Центров тяжести всех частей тела в декартовой системе координат, положение центра тяжести тела можно определить по формулам:

Если тело изготовлено из однородного материала, то выражения (1.57) можно преобразовать к более удобному виду:

где Vi – объем i -й части тела; V – объем тела.

Если тело однородное и плоское, то выражения (1.57) преобразуются
к виду

где Si – площадь i- части тела; S – площадь всего тела.

Если тело состоит из однородных стержней, вес единицы длины которых одинаков для всего тела, то выражения (1.57) преобразуются к виду

l – суммарная длина всех стержней.

Используя формулы (1.57)-(1.60), легко показать, что если тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси, если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит на их пересечении.

Иногда, если тело состоит из частей, содержащих пустоты, удобно применить прием «отрицательного веса». Суть его заключается в том, что координаты центров тяжести, веса (объемы, площади) частей тел с пустотами задаются такими, как будто бы пустот нет. А пустоты считаются частями тела, но с отрицательными знаками веса (объема, площади), причем такими, как если бы пустота была заполнена материалом той же плотности, что и данная часть тела.

В таблице приведены положения центров тяжести и площади наиболее часто встречающихся геометрических фигур.

Таким образом, задачи на определение положения центра тяжести тела решаются в следующей последовательности:

а) вводится система координат (если она не задана в условии задачи);

б) определяются веса (площади, объемы, длины) всех частей тела,
включая пустоты, и координаты их центров тяжести;

в) по формулам (1.57) — (1.60) определяются координаты центра
тяжести тела, причем веса (объемы, площади) пустот подставляются в эти формулы со знаком «минус».

Центр тяжести тела

Пример 1.11. Определить положение центра тяжести тела, изображенного на рис. 1.45, состоящего из двух параллелепипедов и цилиндра радиусом R= 0,5 м, причем а = 4 м, b = 2 м, с = 2 м, h = 2 м.

Центр тяжести тела

Положение центров тяжести каждой из частей тела легко определяется, так как они имеют по две оси симметрии, и, следовательно, центры тяжести будут лежать на пересечении этих осей.

Введем систему координат Oxyz, как показано на рис. 1.45. Начало ее разместим в точке пересечения ребер большого параллелепипеда, оси направим по ребрам этого параллелепипеда. Определим координаты центров тяжести и объемы всех трех частей тела:

Используя формулы (1.58), для изучаемого тела найдем

Пример 1.12. Для плоского тела, представляющего собой равносторонний треугольник с отверстиями радиусов R=0,16 см и
r=0,05 см, изображенный на рис. 1.46, определить положение центра тяжести. Положения и формы отверстий показаны на рис 1.46, а = 0,3 м. Для подсчета положения центра тяжести используем прием «отрицательного веса». Для этого при использовании формул (1.59) площади отверстий будем считать отрицательными.

Центр тяжести тела

Введем систему координат Оху, как показано на рис. 1.46. Определим, используя справочную таблицу, координаты центра тяжести треугольника, как если бы он был сплошной, и координаты центров тяжестей отверстий, а также площади треугольников и отверстий:

Используя формулы (1.59), подсчитаем координаты центра тяжести тела.

Пример 1.13. Определить положение центра тяжести стержневой конструкции, изображенной на рис. 1.47, если а=1 м.

Введем систему координат, как показано на рис. 1.47.

Центр тяжести тела

Используя элементарные тригонометрические формулы, определим координаты центров стержней и их длины. Стержни 2 и 7. 4 и 5, так как они лежат на одной прямой, будем считать едиными стержнями. Получим

13. Центр тяжести твердого тела; центр тяжести объема, площади и линии. Способы определения положения центров тяжести тел.

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ . вес элементарной частицы тела

Центр тяжести тела

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Центр тяжести тела

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)

Центр тяжести тела

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Центры тяжести простейших фигур

Центр тяжести тела

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

2 Дуга окружности

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

3 Круговой сектор

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox . на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :

Центр тяжести тела

14. Способы задания движения точки.

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

Центр тяжести тела

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Центр тяжести тела

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

15. 1.2 Скорость точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Центр тяжести тела
Главная | О нас | Обратная связь

Центр тяжести твердого тела

Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела.

Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц, слагающих тело. Иными словами, центр тяжести – это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести частиц тела, которая остаётся неизменной при любых поворотах тела.

Таким образом, для определения положения центра тяжести можно использовать формулы для координат центра параллельных сил.

Центр тяжести тела

Обозначим силы веса отдельных частиц тела Центр тяжести тела. вес тела Центр тяжести тела. координаты его центра тяжести Центр тяжести тела. а координаты любой частицы твердого тела Центр тяжести тела (рис. 47).

Тогда формулы для определения координат центра тяжести принимают вид:

Центр тяжести тела. Центр тяжести тела. Центр тяжести тела .

Определим положение центра тяжести однородных тел.

1. Центр тяжести объема

Вес однородного тела определяется по формуле Центр тяжести тела. где Центр тяжести тела – объём тела, Центр тяжести тела –вес единицы объема. Аналогично, вес каждой частицы Центр тяжести тела. где Центр тяжести тела – объем Центр тяжести тела – ой частицы тела. Обозначим Центр тяжести тела координаты центра тяжести этой частицы. Тогда

Центр тяжести тела. Центр тяжести тела. Центр тяжести тела .

Центр тяжести тела2. Центр тяжести плоской фигуры

Однородное тело, имеющее форму тонкой пластинки, можно рассматривать как плоскую фигуру.

Положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами Центр тяжести тела и Центр тяжести тела (рис. 48). Вес однородной пластинки Центр тяжести тела. где Центр тяжести тела – площадь плоской фигуры, Центр тяжести тела – вес единицы ее площади. Разобьем площадь фигуры на элементарные площадки, вес каждой из которых Центр тяжести тела. где Центр тяжести тела – площадь Центр тяжести тела – ой площадки. Тогда:

Центр тяжести тела. Центр тяжести тела .

Центр тяжести тела

3. Центр тяжести линии

Пусть Центр тяжести тела – вес единицы длины линии, Центр тяжести тела – длина линии (рис. 49).

Центр тяжести тела. Центр тяжести тела. Центр тяжести тела .

Статическими моментами называются выражения, стоящие в числителях формул для радиус- вектора центра тяжести. Например, из формулы

Центр тяжести тела

получаем статический момент относительно полюса:

Центр тяжести тела .

Статическим моментом плоской фигуры относительно оси Центр тяжести тела ( Центр тяжести тела ) называется сумма произведений площадей элементарных площадок этой фигуры на их ординаты (абсциссы)

Центр тяжести тела. Центр тяжести тела .

Статический момент площади плоской фигуры относительно оси измеряется в кубических метрах – Центр тяжести тела .

Если известны статические моменты площади плоской фигуры относительно координатных осей, то координаты ее центра тяжести можно определить по формулам

Центр тяжести тела. Центр тяжести тела .

Очевидно, что если статический момент плоской фигуры относительно некоторой оси равен нулю, то центр тяжести этой фигуры лежит на этой оси.

Центр тяжести и центр масс тела

Центр тяжести тела

Центр тяжести — это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести. действующих на все части тела, которая не изменяет своего положения при любых переворотах тела.

Положение центра тяжести тела можно определить экспериментально. Для этого достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Пересечение этих линий — линий действия сил тяжести — и определяет положение центра тяжести тела.

Центр масс тела

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле.

Координаты центра масс определяются формулами:

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

У однородных симметричных тел центр масс располагается в геометрическом центре тела: у круга (сферы) в его центре, у треугольника — в точке пересечения медиан, у прямоугольника — в точке пересечения диагоналей.

Механическая система всегда находится в равновесии относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс.

В отличие от центра тяжести центр масс имеет смысл для любого тела или механической системы в то время, как центр тяжести — только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле.

Примеры решения задач

Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс системы, если радиус первого шара 5 см, радиус второго шара 7 см, а длина стержня 30 см.

Центр тяжести тела

Запишем условие равновесия системы относительно оси, проходящей через ее центр масс Центр тяжести тела :

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Подставим значения моментов в условие равновесия:

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Центр тяжести тела

Переведем единицы в систему СИ: Центр тяжести тела см Центр тяжести тела м; Центр тяжести тела см Центр тяжести тела м.

Центр тяжести тела

Центр тяжести системы находится на расстоянии 5 см от середины стержня в сторону большего шара.

48) Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует направленная вертикально вниз сила, которая называется силой тяжести. Силы тяжести каждой частицы тела, строго говоря, направлены по радиусам к центру Земли и не являются параллельными. Но для тел, размеры которых малы по сравнению с размерами Земли, непараллельность настолько незначительна, что в расчетах с большой точностью силы тяжести их частиц можно считать параллельными, сохраняющими свои значения, точки приложения и параллельность при любых поворотах тела. Поэтому, обозначив силу тяжести частицы через Рк. можно, согласно формулам Центр тяжести тела и Центр тяжести тела, найти точку С, которая неизменно связана с телом и называется центром системы параллельных сил тяжести. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется центр системы параллельных сил тяжести частиц данного тела. Точка С — это геометрическая точка, она может и не принадлежать телу, но она всегда с ним связана, например центр тяжести баскетбольного мяча, кольца и др. Выразим силу тяжести (вес) частицы тела через ее объем V. Тогда величина Центр тяжести тела называется удельным весом. а величина Центр тяжести тела — плотностью тела в данной точке. («гамма9quot;-Н/м3) («ро9quot;-Н*с2/м4)

Методы нахождения центра тяжести.

Покажем, что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр материальной симметрии, то его центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или
в центре симметрии.

а. Пусть тело симметрично относительно плоскости Оху

Центр тяжести тела

Тогда вследствие симметрии каждому элементу К тела объемом Центр тяжести тела(Центр тяжести тела, Центр тяжести тела, Центр тяжести тела) будет соответствовать элемент К’ того же объема с координатами (Центр тяжести тела, Центр тяжести тела,-Центр тяжести тела). Поэтому статический момент объема Центр тяжести тела и координата Центр тяжести тела. Следовательно, центр тяжести тела будет лежать в плоскости симметрии Оху.

б. Пусть тело симметрично относительно оси Oz.

Центр тяжести тела

Тогда всякому элементу К тела объемом Центр тяжести тела с координатами (Центр тяжести тела, Центр тяжести тела, Центр тяжести тела) будет соответствовать такой же по объему элемент К’, расположенный симметрично относительно оси Oz и имеющий координаты (-Центр тяжести тела,- Центр тяжести тела, Центр тяжести тела). Поэтому статические моменты Центр тяжести телаи, следовательно, координаты Центр тяжести тела. Таким образом, центр тяжести будет находится на оси симметрии.

в. Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за начало координат. Тогда всякой частице тела объемом Центр тяжести тела, определяемой радиус-вектором rк, будет соответствовать частица такого же объема с радиус-вектором (-rк), симметричная ей относительно центра О. Поэтому Центр тяжести тела. Следовательно, центр тяжести будет находиться в центре симметрии. Например, центры тяжести однородных куба, сферы, кольца, прямоугольной
или круглой пластины лежат в геометрическом центре этих тел.

Этот метод основан на применении формул Центр тяжести тела и Центр тяжести тела. Его используют, когда тело можно разбить на ряд частей, центры тяжести которых известны из условий симметрии. Метод разбиения можно наглядно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Центр тяжести тела

Расположив тело в системе координат, разделив его мысленно на отдельные части, веса которых Р1, Р2, Р3, Р4, а центры тяжести известны, вычислим вес тела и, согласно формулам Центр тяжести тела, координаты центра тяжести С всего тела. Если тело имеет вырез, причем известны центр тяжести тела без выреза и центр тяжести вырезанного тела, то для определения координат центра тяжести используют метод отрицательных масс (частный случай метода разбиения).

Центр тяжести тела

На рисунке изображена квадратная пластина, сторона которой а. В пластине выполнено круглое отверстие с радиусом r=0,2а и координатами центра x2=-0,3а; у2=0. Координаты центра тяжести С, пластины без отверстия x1=0, у1=0. Рассмотрим два тела: пластину без отверстия и диск, соответствующий вырезанному отверстию. При использовании формул Центр тяжести тела вес диска будем считать отрицательным. ТогдаЦентр тяжести тела, где р — вес единицы площади пластины.

3) Метод интегрирования.

Когда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют метод интегрирования, являющийся универсальным.

Используются технологии uCoz

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *